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위상수학의 기본 원리를 엄밀하면서도 쉽게 알려주는 입문서

위상수학은 학부생이 고급 수학을 배울 때 학습하기 좋은 과목으로, 자연스럽고 기하학적이며 직관적으로 봐도 매력적이다. 이 책은 한 학기 동안 위상수학 입문 강의를 들을 수 있도록 구성하였으며, 위상수학 주제마다 어떤 기하학적 원리가 있는지, 위상수학적 발상이 기하학과 해석학에 어떻게 활용되었는지 소개한다. 이 책은 점-집합 위상수학을 주로 다루며, 기하 위상수학이나 미분 위상수학, 대수적 위상수학을 간략하게 소개한다.

쉬운 예부터 다루고 위상수학의 발전사까지 알 수 있는 위상수학 입문서

위상수학은 어떠한 객체를 연속적으로 변환해도 유지되는 성질을 다루는 학문이다. 위상수학 입문 강의에서는 주로 일반 위상수학(점-집합 위상수학)을 다루는데, 어떠한 공간에서 연결성이나 연속성 등에 초점을 맞춘다. 이러한 개념은 ‘거리’를 배제하면 다소 추상적이므로, 이 책에서는 우리에게 익숙한 직선과 평면에서부터 시작하여 위상수학적 개념을 차근차근 다룸으로써 위상수학 초심자도 재미있게 학습할 수 있도록 하였다. 각 장의 [간단한 수학사]를 통해 어떠한 위상수학자가 1900년대 수학계에 발자취를 남겼는지, 어떠한 시대적 상황에 맞물려 있었는지 살펴볼 수도 있다.

1장 위상수학 소개
1.1 위상수학의 특성
1.2 위상수학의 기원
1.3 위상수학을 이해하기 위한 사전지식 : 집합론
1.4 집합 연산 : 합집합, 교집합, 차집합
1.5 데카르트 곱
1.6 함수
1.7 동치관계

2장 직선과 평면
2.1 상계와 하계
2.2 유한집합과 무한집합
2.3 실직선에서의 열린집합과 닫힌집합
2.4 축소구간 정리
2.5 평면
간단한 수학사

3장 거리공간
3.1 거리공간의 정의와 예
3.2 거리공간에서의 열린집합과 닫힌집합
3.3 내부, 폐포, 경계
3.4 연속함수
3.5 거리공간의 동치
3.6 기존 공간에서 파생되는 새로운 공간
3.7 완비거리공간
간단한 수학사

4장 위상공간
4.1 정의와 예
4.2 내부, 폐포, 경계
4.3 기저와 부분기저
4.4 연속성과 위상적 동치
4.5 부분공간
간단한 수학사

5장 연결성
5.1 연결공간과 비연결공간
5.2 연결성을 다루는 정리
5.3 실직선에서의 연결 부분집합
5.4 연결성의 응용
5.5 경로연결공간
5.6 국소연결공간과 국소경로연결공간
간단한 수학사

6장 콤팩트성
6.1 콤팩트 공간과 그 부분공간
6.2 콤팩트성과 연속성
6.3 콤팩트성과 관련 있는 성질
6.4 한점콤팩트화
6.5 칸토어 집합
간단한 수학사

7장 곱공간과 상공간
7.1 유한 곱공간
7.2 곱공간의 확장
7.3 위상 간의 비교
7.4 상공간
7.5 곡면과 다양체
간단한 수학사

8장 분리 성질과 거리화
8.1 T_0, T_1, T_2 공간
8.2 정칙공간
8.3 정규공간
8.4 연속함수를 이용한 분리
8.5 거리화
8.6 스톤-체흐 콤팩트화
간단한 수학사

9장 기본군
9.1 대수적 위상수학의 본질
9.2 기본군
9.3 S^1의 기본군
9.4 기본군의 추가 예
9.5 브라우어 고정점 정리와 관련 결과
9.6 범주와 함자
간단한 수학사

부록 A 군
부록 B 기호목록
부록 C 추천도서
부록 D 참고문헌