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현존하는 최고의 천재 수학자, Terence Tao가 제안하는 해석학 학습법

해석학은 학부생이 처음 맞닥뜨리는 수학과 전공이며 다른 수학과 전공의 기초 학문이기도 하다. 이 책은 한 학기 분량의 해석학 강의를 들을 수 있도록 구성되어 있다. 이 책은 자연수체계로 돌아가 개념을 차근차근 쌓아올리며 수학 증명을 자유자재로 다룰 수 있도록 철저히 준비한다. 〈TAO 해석학 Ⅰ(4판)〉은 수학기초론부터 리만 적분까지 다루며, 거리공간, 균등수렴, 멱급수, 다변수함수, 르베그 적분 등을 다루는 〈TAO 해석학 Ⅱ(4판)〉과 긴밀하게 연계된다.

기존 해석학 도서와 다르다! 수학 개념을 엄밀하게 깨우칠 수 있는 해석학 입문서

해석학을 주제로 한 도서는 시중에 많이 있다. 보통은 엡실론-델타(ε-δ) 논법으로 극한(limit)의 정의부터 다시 정립하며 미분적분학을 다시 살펴보는 순으로 구성되어 있는데, 수학과/수학교육과에서 처음으로 학습하는 전공 과목임에도 해석학 교재를 이해하는 학생은 그리 많지 않다. UCLA에서 해석학을 강의하던 Terence Tao는 이 부분에서 의문을 제기했다. 일반적인 강의에서는 학생들이 기초 개념을 이미 ‘알고 있다’고 가정하지만, 정말로 그 학생들이 개념을 명확히 알지 못함에 주목했다. 이러한 고찰에서 나온 책이 바로 〈TAO 해석학 Ⅰ(4판)〉이다. 낯익은 개념으로부터 엄밀한 논리를 이끌어내는 법을 저자만의 쉽고 친절한 스타일로 설명한다. 〈TAO 해석학 Ⅱ(4판)〉과 함께 학습한다면 수학기초론에서 시작하여 해석학의 전반적인 주제까지, 다양한 개념을 확실하게 깨우칠 수 있을 것이다.

1장 해석학 소개
1.1 해석학이란
1.2 왜 해석학을 공부해야 할까

2장 기초로 돌아가기 : 자연수
2.1 페아노 공리
2.2 덧셈
2.3 곱셈

3장 집합론
3.1 집합론 기초
3.2 러셀의 역설
3.3 함수
3.4 상과 역상
3.5 데카르트 곱
3.6 집합의 크기

4장 정수와 유리수
4.1 정수
4.2 유리수
4.3 절댓값과 거듭제곱
4.4 유리수 사이의 간격

5장 연결성
5.1 코시 수열
5.2 코시 수열과 동치인 것들
5.3 실수의 구성
5.4 실수의 순서
5.5 최소상계 성질
5.6 실수 거듭제곱 Ⅰ

6장 수열의 극한
6.1 수렴과 극한 규칙
6.2 확장된 실수체계
6.3 수열의 상한과 하한
6.4 상극한, 하극한, 집적점
6.5 여러 가지 극한의 예
6.6 부분수열
6.7 실수 거듭제곱 Ⅱ

7장 급수
7.1 유한급수
7.2 무한급수
7.3 음이 아닌 수의 합
7.4 재배열 급수
7.5 근 판정법과 비 판정법

8장 무한집합
8.1 가산성
8.2 무한집합의 합
8.3 비가산집합
8.4 선택공리
8.5 순서집합

9장 R에서의 연속함수
9.1 실선의 부분집합
9.2 실숫값함수의 연산
9.3 함수의 극한
9.4 연속함수
9.5 좌극한과 우극한
9.6 최대원리
9.7 중간값정리
9.8 단조함수
9.9 균등연속
9.10 무한에서의 극한

10장 함수의 미분
10.1 기본 정의
10.2 극대, 극소와 도함수
10.3 단조함수와 도함수
10.4 역함수와 도함수
10.5 로피탈 법칙

11장 리만 적분
11.1 분할
11.2 조각마다 상수인 함수
11.3 리만 상적분과 리만 하적분
11.4 리만 적분의 기본 성질
11.5 연속함수의 리만 적분가능성
11.6 단조함수의 리만 적분가능성
11.7 리만 적분할 수 없는 함수
11.8 리만-스틸체스 적분
11.9 미분적분학의 기본정리
11.10 미분적분학의 기본정리에 대한 응용

부록 A 수리논리학의 기초
A.1 수학 명제
A.2 함의
A.3 증명 구조
A.4 변수와 한정기호
A.5 중첩된 한정기호
A.6 증명과 한정기호의 예
A.7 등식


부록 B 십진법
B.1 자연수의 십진법 표현
B.2 실수인 십진수