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현존하는 최고의 천재 수학자, Terence Tao가 제안하는 해석학 학습법

해석학은 학부생이 처음 맞닥뜨리는 수학과 전공이며 다른 수학과 전공의 기초 학문이기도 하다. 이 책은 한 학기 분량의 해석학 강의를 들을 수 있도록 구성되어 있다. 이 책은 자연수체계로 돌아가 개념을 차근차근 쌓아올리며 수학 증명을 자유자재로 다룰 수 있도록 철저히 준비한다. [TAO 해석학 Ⅰ(4판)]은 수학기초론부터 리만 적분까지 다루며, [TAO 해석학 Ⅱ(4판)]은 거리공간, 균등수렴, 멱급수, 다변수함수, 르베그 적분 등을 다룬다.

기존 해석학 도서와 다르다! 수학 개념을 엄밀하게 깨우칠 수 있는 해석학 입문서

해석학을 주제로 한 도서는 시중에 많이 있다. 보통은 엡실론-델타(ε-δ) 논법으로 극한(limit)의 정의부터 다시 정립하며 미분적분학을 다시 살펴보는 순으로 구성되어 있는데, 수학과/수학교육과에서 처음으로 학습하는 전공 과목임에도 해석학 교재를 이해하는 학생은 그리 많지 않다. UCLA에서 해석학을 강의하던 Terence Tao는 이 부분에서 의문을 제기했다. 일반적인 강의에서는 학생들이 기초 개념을 이미 '알고 있다'고 가정하지만, 정말로 그 학생들이 개념을 명확히 알지 못함에 주목했다. 이러한 고찰에서 나온 책이 바로 [TAO 해석학(4판)] 이다. 낯익은 개념으로부터 엄밀한 논리를 이끌어내는 법을 저자만의 쉽고 친절한 스타일로 설명한다. [TAO 해석학 Ⅰ]으로 해석학의 기초를 탄탄히 다지고, [TAO 해석학 Ⅱ]로 거리공간, 균등수렴, 멱급수, 르베그 적분 등의 고급 개념을 학습한다면 수학기초론에서 시작하여 해석학의 전반적인 주제까지, 다양한 개념을 확실하게 깨우칠 수 있을 것이다.

1장 거리공간
1.1 정의와 예
1.2 거리공간에서의 일반 위상수학
1.3 상대위상
1.4 코시 수열과 완비거리공간
1.5 콤팩트 거리공간

2장 거리공간에서의 연속함수
2.1 연속함수
2.2 연속성과 곱공간
2.3 연속성과 콤팩트성
2.4 연속성과 연결성
2.5 위상공간

3장 균등수렴
3.1 함수의 극한값
3.2 점별수렴과 균등수렴
3.3 균등수렴과 연속성
3.4 균등수렴거리
3.5 함수항 급수 : 바이어슈트라스 M-판정법
3.6 균등수렴과 적분
3.7 균등수렴과 미분
3.8 다항식의 균등근사

4장 멱급수
4.1 형식적멱급수
4.2 실해석함수
4.3 아벨정리
4.4 멱급수의곱
4.5 지수함수와로그함수
4.6 복소수에관한 여담
4.7 삼각함수

5장 푸리에 급수
5.1 주기함수
5.2 주기함수의 내적
5.3 삼각다항식
5.4 주기적 합성곱
5.5 푸리에 정리와 플랑셰렐 공식

6장 다변수 미분적분학
6.1 선형변환
6.2 다변수 미분적분학에서의 도함수
6.3 편도함수와 방향도함수
6.4 다변수 미분적분학의 연쇄법칙
6.5 이계도함수와 클레로 정리
6.6 축약사상 정리
6.7 다변수 미분적분학의 역함수 정리
6.8 음함수 정리

7장 르베그 측도
7.1 목적 : 르베그 측도
7.2 첫 번째 시도 : 외측도
7.3 외측도는 가법성을 갖지 않는다
7.4 측도가능 집합
7.5 측도가능 함수

8장 르베그 적분
8.1 단순함수
8.2 음이 아닌 측도가능 함수의 적분
8.3 절대적분가능한 함수의 적분
8.4 리만 적분과의 비교
8.5 푸비니 정리