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수학 이야기만 나오면 쩔쩔매는 당신을 위한 쉽고 재미있는 숫자 이야기!

한 권으로 읽는 숫자의 문화사『보통 사람들을 위한 특별한 수학책』. 숫자가 인간과 문화, 세계사의 진보에 미친 다양한 일화를 소개하고 있는 책이다. 빈 공대 교수이자 2011년 빈의 ‘성인교육상’을 수상한 저자 루돌프 타슈너는수학을 어려워하는 보통사람들도 복잡한 분수의 개념을 이해하고 나눗셈의 비밀을 엿보며, 스파이들의 암호 전쟁에도 쉽게 참여할 수 있도록 재미있게 서술했다.

이 책은 각 장마다 흥미로운 숫자에 관한 일화를 소개를 통해 수가 우리 삶과 인류의 진보에 얼마나 큰 영향을 끼쳤는지 이야기한다. 고대 국가의 권력측이 그들의 기득권을 유지하기 위해 수를 어떻게 정치에 이용했는지, 지구와 달의 거리를 찾는 노력을 통해 자연 속에서 가장 큰 수를 찾는 천재들의 노력, 태양신의 소를 죽인 오디세우스의 일행의 사례, π의 소수점 이하 값을 찾기 위한 천재들의 기록 경쟁과 비밀요원들의 암호 전쟁, 수학자들의 삶 등 수에 담긴 놀라운 비밀을 알려준다.

오디세우스 일행이 죽인 태양신의 소는 몇 마리일까?
투탕카멘은 나일 강 범람의 수수께끼를 어떻게 알았을까?
아르키메데스가 로마 함대를 물리친 비결은?
지구 표면적의 잘못된 계산이 콜럼버스의 대항해를 가능케 했다
계몽주의의 가장 성공한 프로젝트는 10진법의 보급이다
존 스마일리의 암호 007을 찾아라
체스 게임에서 1800경의 쌀을 얻은 현자의 한 수
페르마가 찾은 소수의 비밀

세계의 놀라운 비밀이 ‘수’에 들어 있다
잔돈을 세고 집 크기와 땅 면적을 헤아리는 일상의 작은 일부터, 일식과 월식을 계산하고 스파이들의 암호 전쟁에 이겨 승리자가 된 세계사의 주인공 옆에는 ‘수’가 있었다. 투탕카멘은 나일 강 범람의 수수께끼를 알고 백성을 다스렸으며, 바빌로니아의 학자들은 일식과 월식을 계산하여 기득권을 누렸고, 아르키메데스는 수학으로 로마 함대를 물리쳤으며, 냉전 시대 각국의 비밀정보부는 숫자로 메시지를 암호화하여 두뇌 싸움을 벌였다.
이 책에는 숫자가 인간과 문화, 세계사의 진보에 미친 다양한 일화들이 소개돼 있다. 저자는 아라비아의 10진법의 보급이 유럽에 계몽주의를 전파했고, 콜럼버스의 대항해는 지구 표면적을 잘못 계산한 덕분이라고 말한다. 또한 파스칼이 왜 계산기를 발명했는지, 뉴턴이 숫자에 어떻게 생각을 담았는지, 힐베르트가 왜 수학에 무한의 개념을 도입했는지에 대한 질문을 통해 수학이 단순히 ‘수’를 세는 도구가 아니라 ‘생각’을 담아내는 것이라고 주장하고 있다. 논리와 수학은 불가분의 관계에 있고, 그 논리에 따라 인간은 진화를 거듭했으며 문명의 진보와 수 개념의 발달은 어떤 비례관계에 있다는 저자의 주장은 설득력이 있다.
이 책을 읽다 보면 ‘수’는 인간과 사회의 질서와 이해를 위해 ‘발견’된 것이며, 인간의 특징을 잘 이해하는 데 ‘수’만큼 강력한 것이 없다는 것을 깨닫게 된다. 인간을 이해하려면 ‘수’의 마법을 이해하라.

쉽게 읽고 제대로 배우는 숫자의 모든 것
빈 공대 교수이자 2004년 ‘오스트리아 올해의 과학자’로 선정되고, 2011년 빈의 '성인교육상'을 수상한 저자 루돌프 타슈너는, 현재 오스트리아 교육과학기술부 및 재무부의 지원을 받는 문화 사업본부 ‘Math.space’를 이끌고 있다. 이 프로젝트의 목표 중 하나는 ‘수학의 대중화’ 사업이다. 이 책은 수학이라면 어려워하는 보통 사람들도 복잡한 분수의 개념을 이해하고, 나눗셈의 비밀을 엿보며, 스파이들의 암호 전쟁에 쉽게 참여할 수 있도록 쉽고 재미있게 쓰인 것이 특징이다. 또한 역사적인 수학자들의 삶을 추적하는 과정과 그들의 논문, 저서, 비평을 소개하는 백과사전식 자료를 덧붙여 수학에 흥미를 갖게 한다. 수학에 보다 관심이 있는 독자라면 이 책의 부록으로 실린 주석을 참고해도 좋다.
이 책은 각 장마다 흥미로운 주제와 다양한 일화를 통해, 수가 우리 삶과 인류의 진보에 얼마나 큰 영향을 끼쳤는지 소개하고 있다. 1장에서는 고대국가의 권력층이 그들의 기득권을 유지하기 위해 수를 어떻게 정치에 이용했는지, 그리고 아라비아 10진법이 유럽에 전파되기 전까지 수가 얼마나 민중의 삶과 떨어져 있었는지 소개하고 있으며, 2장에서는 우주의 최대수, 지구와 달의 거리를 찾는 노력을 통해 자연 속에서 가장 큰 수를 찾는 천재들의 노력을 보여주고 있다. 3장에서는 아르키메데스의 인식의 발견 과정, 호루스 신화를 통해 본 분수의 개념, 태양신의 소를 죽인 오디세우스의 일행의 사례를 통해 실생활에 수학을 어떻게 접목해야 하는지 알려준다. 4장에서는 기하학적 도형과 이자 계산을 위한 곱셈의 다양한 활용 방법을 제시하고, 5장에서는 π 의 소수점 이하 값을 찾기 위한 천재들의 기록 경쟁과 비밀요원들의 암호 전쟁, 그를 통해 나눗셈에 담긴 숫자의 비밀을 알려준다. 6장에서는 계산기의 발명과 컴퓨터의 태동까지 기계의 활약상을 보여주고, 7장과 8장에서는 역사적인 수학자들의 삶을 추적하는 과정과 그들의 논문, 저서, 비평을 소개하며, 수학의 전문가들이 수에 ‘생각’을 담아내는 과정을 보여주고 있다.
이 책을 통해 우리는 수는 단순히 숫자를 세는 도구가 아니라 인간의 성찰이나 합리적 능력의 결과라는 것을 알 수 있다. 또한 수의 매력을 알고, 수의 마법에 빠지게 된다. 믿겨지는가? 수에는 세계의 놀라운 비밀이 들어 있다.

책속으로 추가
제우스는 배를 향해 번개를 내리쳤고 헬리오스의 소를 건드리지 않은, 돛대에 매달려 있던 오디세우스를 빼고는 모두가 바닷물에 빠져 죽었다. 아르키메데스는 이 대목을 읽고 당시 햇살을 잔뜩 머금은 시칠리아의 초원에서 풀을 뜯던 헬리오스의 소가 몇 마리나 될지 학자 친구에게 문제를 냈다. 내용은 그가 꼼꼼하게 생각해낸 수학의 수수께끼였는데 한 줄씩 띄어 쓴 44행의 시로 표현된 것이었다. -p94

아트바쉬로 암호를 만드는 것이 아주 간단하다는 것은 한눈에 알 수 있다. 그러므로 이것은 사실 확실한 암호화로는 부적합한 방법이다. 비밀지령에 조금만 경험이 있다면 아트바쉬로 만들어진 암호문을 해독하는 것은 간단한 일이기 때문이다. 따라서 조지 스마일리가 비밀요원의 이름을 아트바쉬로 암호화하는 것은 논외이다. 또 다른 방법, 예컨대 모든 부호를 바로 그다음에 이어지는 부호로 대체하는 것도(이 또한 카이사르가 사용했던 방법) 간교한 동구 첩보원들에게는 식은 죽 먹기나 다름없다. 따라서 스마일리는 훨씬 더 정교한 방법을 이용하지 않으면 안 된다. 이런 일에 노련한 그는 런던의 서커스에 자신의 암호문을 위한 보조수단을 보내줄 것을 요청한다. 그가 런던의 본부에서 받아본 답은 계수 221과 지수 11 두 개의 숫자였다. -p140

가산적인 무한은 런던의 버스 정거장 앞에서 버스를 기다리며 장사진을 이룬 사람들에 비유할 수 있다. 영국인들은 줄 서는 일에 단련된 것으로 유명하니 말이다. 다만 이 정거장에 줄을 서면서 ‘힐베르트 버스 정거장’에 끝없이 많은 사람이 줄을 서 있는 것으로 생각하면 된다. 하지만 여기서도 첫 번째, 두 번째, 세 번째 하는 식으로 순서는 있다. 줄을 선 사람들은 모두 번호로서 숫자를 가지고 있는 셈이며 이들은 자신보다 작은 번호를 가진 사람이 모두 버스에 오르면 그 다음이 자신의 차례라는 것을 안다. 초가산적인 무한은 이와 달리 빈 뮤직홀에서 필하모니 관현악단의 공연이 끝났을 때, 옷 보관소 앞으로 몰려드는 청중에 비유할 수 있다. 모든 청중이 -‘힐베르트 옷 보관소’의 경우에는 끝없이 많은 청중이- 보관증을 손에 들고 맡긴 외투를 되찾기 위해 보관소 담당자 앞으로 물밀듯이 밀어닥친다. 이것은 해결이 어려운 절망적인 혼돈상태를 보여준다. 불쌍한 담당자는 완전히 절망에 빠진다. 이런 혼돈 속에서 그는 어떤 방법으로도 옷을 질서 있게 내어줄 수가 없다. -pp231~232

머리말 / 스릴러보다 더 재미있는 ‘수’ 이야기

1장 수를 알면 인간을 이해할 수 있다 - 모든 것의 시작은 0이다
투탕카멘과 ‘4년’의 비밀 - 나일 강 범람의 수수께끼
티아마트 용의 강력한 수 - 해와 달의 움직임으로 일식과 월식을 계산하다
수와 글자 - 고대인들의 숫자 표기
누구나 숫자를 쓰고 셈하게 되다 - 아라비아의 10진법의 전파
마하라자와 어마어마한 수 - 현자와의 체스 시합

2장 옛날 사람들은 어떻게 숫자를 셌을까 - 자연 속에서 가장 큰 수들
작은 수에서 큰 수까지 - 부유한 사람일수록 큰 숫자를 세다
지구의 크기를 측정하라 - 땅의 크기를 알려면 기하학이 필요하다
천문학적인 수 - 지구와 달의 거리
우주의 최대수 - 우주를 모래알로 채울 때
계산이 아니라 어림평가를 하라 ? 시카고에 피아노 조율사는 몇 명이나 될까

3장 수학은 현실의 놀라운 발견이다 - 최고의 수학자
수학의 순교자 - 아르키메데스의 기하학 원리
천재의 아이디어 - 천재는 어떻게 인식에 도달하는가
두 번째는 의미가 없다 - 뉴턴과 라이프니츠의 미적분 공방
이집트의 분수 -호루스 신화를 통해 본 이집트의 수 개념
태양신의 소 - 오디세우스 일행이 죽인 소는 몇 마리일까?

4장 곱하고 또 곱하면 - 수학의 최대수
연속수 - 평생 캔버스에 숫자를 그려 넣은 오팔카
제곱수와 세제곱수 - 기하학적 도형을 계산할 때
제곱과 백분율 - 곱셈을 몰랐던 농부의 비극
가장 중요한 계산과 어마어마한 돈 -퍼센트는 곱셈으로 계산하라
도널드 커누스와 수의 괴물 - 거듭제곱이란 무엇인가

5장 나눗셈에는 세계의 비밀이 담겨 있다 - 신비의 수
4,294,967,297 ? 페르마의 여섯 번째 수
소수를 찾아서 - 메르센과 페르마의 소수 연구
스파이 세계에서도 수는 중요하다 - 스파이와 암호
암호 작성과 해독 - 스마일리의 계수와 지수
거대한 소수들 - 암호에 사용된 비밀지수
환상과 현실 - 숫자의 비밀을 아는 사람이 이긴다
절대적으로 안전한 방법 - 안전한 OTP 암호화 방식
우연이 안전을 보장한다 - 자연보다 더 믿을 수 있는 것이 수학이다
정상적인 수 - 원주율 파이
창조적인 뒤죽박죽 - 나눗셈의 놀라운 비밀

6장 생각하는 것이 계산하는 것이다 - 수에 대한 인간의 생각
켄 제닝스와 브래드 러터의 낭패 - 인공지능과 인간의 대결
때를 못 맞춰 나온 파스칼의 계산기 ? 파스칼이 만든 계산기 파스칼린
라이프니츠의 수와 러브레이스의 프로그램 -인간의 사고를 반영한 2진수
전기 수산기의 탄생 - 패러데이가 인식하고 맥스웰이 토대를 갖춘 현대 문명
학습된 회의론과 튜링 테스트 - 기계는 인간의 ‘감정’을 흉내 낼 수 있을까

7장 수학의 한계는 어디까지인가 - 전지성에 대한 요구
괴팅겐의 거인 - 수학은 논리이자 생각이다
‘이그노라비무스’는 없다 - 여기 문제가 있다, 찾아라
기하학의 사고의 법칙 - 기하학은 인간이 ‘생각’할 수 있을 때 존재한다
무한 10진수 - 계산할 수 없는 것의 계산
모순으로 가득 찬 호텔 - 무한을 생각에 담다
끝없는 문답게임 - 가산적인 무한과 초가산적인 무한
힐베르트의 프로그램 - 수학에는 한계가 없는가

8장 수학은 무한에 대한 과학이다 - 전지 대신 전능
직관의 수학자 푸앵카레 - 직관이 논리에 앞선다
모래 위에 세운 과학 - 힐베르트에 반기를 든 두 수학자
20세기 최고의 논리학자 괴델 - 맞는지 틀리는지 결정할 수 없는 명제가 있다
프린스턴의 유령 - 모순의 여지가 없는 모든 것이 실제로 있을까
무한의 자리매김 - 수학은 무한에 대한 과학이다

옮긴이의 말 / 매혹적인 수의 세계
주석

이집트의 고문관들은 100이나 200, 300이 넘는 수까지 셀 수 있었다. 당시에 이 정도까지 수를 이해하는 사람은 극소수에 지나지 않았다. 글씨를 쓸 수 있는 사람이 거의 없는데다 365나 1460처럼 큰 숫자는 적는 법을 알아야만 다룰 수 있었기 때문이다. 무엇보다 두 숫자는 파라오의 고문관들이 권력을 얻는 데 큰 도움이 되었다. 365라는 수의 의미는 분명하다. 이집트의 고문관들은 시리우스가 한번 뜬 다음 다시 뜰 때까지 정확하게 365일이 걸린다는 사실을 알았다. 따라서 이집트력의 1년에는 이만큼의 날짜가 들어가게 되었다. 이들은 여기서 그치지 않고 수십 년 동안 아주 꼼꼼하게 천체를 관측하면서 한층 더 깊은 비밀을 알아냈다. 즉, 시리우스가 마치 늑장을 부리듯 4년마다 하루씩 늦게 뜬다는 사실이었다. 그래서 숫자에 정통한 이들은 파라오가 매번 신들로부터 나일 강이 범람하는 정확한 시점을 그때마다 새롭게 전달받는 것처럼 백성에게 믿게 했다. 고문관들은 이런 이치를 알고 있었지만 농부들에게는 수수께끼처럼 복잡한 것이었다. -pp16~17p

아담 리스의 정신사적 업적은 아무리 강조해도 지나치지 않을 것이다. 사람들은 처음으로 탐욕스런 학자들에게 의존하지 않고 중요하면서도 일반 대중들에게는 베일에 가려져 있던 신비에 찬 계산을 직접 하는 경험을 했다. 더 이상 비밀은 없었다. 아무도 계산 전문가에게 돈을 줄 필요가 없었다. 누구나 쓰기와 읽기처럼 계산을 손쉽게 할 수 있었다. 아담 리스는 모든 남녀 시민을 미성숙 상태에서 해방시켰고 이들은 중세 이후 처음으로 계몽주의를 경험한 것이다. 학교에서 왜 수학을 가르치는지, 때로 도발적인 질문이 나올 때면, 이런 역사의 관점에서 대답할 수 있을 것이다. “수학이 계몽주의 최초의 가장 성공적인 프로젝트니까.” -pp32~33

인간은 정착 생활을 하자마자 아주 빠르게 기하학의 기본개념을 익혔다. 우선 자신이 경작하는 땅의 크기를 알고 싶어 했다. 가령 한 농부가 자신의 땅을 바라본다고 치자. 그 길이를 재려면 그는 길이 측정 단위, 예컨대 양팔을 쭉 뻗은 길이인 발과 비교할 수 있다. 그 농부의 밭이랑이 직사각형으로 폭이 한 발에 길이가 일곱 발이라면 그는 폭과 길이가 각 네 발인 정사각형의 밭이랑을 가진 이웃과 똑같은 수확을 할 수 있다고 생각할 것이다. 두 사람의 밭이랑은 모두 둘레가 16발이기 때문이다. 이웃이 자신보다 두 배 이상을 수확하는 것을 그 농부는 처음에는 이해하지 못할 것이다. 그러다가 수확은 둘레가 아니라 면적에 달려 있다는 것을 알게 되고 수확에 얽힌 수수께끼를 풀게 된다. 즉 자신의 좁은 직사각형의 밭이랑에는 각 변의 길이가 한 발인 정사각형이 7개밖에 못 들어가지만 이웃의 정사각형 밭이랑에는 4개씩 4줄, 즉 16개의 정사각형이 들어가는 것을 알게 되는 것이다.-pp49~50

크리스토퍼 콜럼버스(Christopher Kolumbus)도 지구의 적도 둘레가 2만 7000킬로미터라는 전제 아래 대항해에 나섰다. 그리하여 유럽과 아시아 대륙은 북반구의 많은 부분을 차지하게 되었다. 13세기 말에 베네치아의 마르코 폴로가 보고한 바에 따르면 리스본에서 중국의 천주( 泉州) 까지 거리가 1만 1000킬로미터가 넘기 때문이다. 이런 가정 하에 콜럼버스는 대서양을 지나 서쪽항로를 이용해 중국이나 인도에 이르려는 과감한 시도를 할 수 있었다. 포르투갈 왕실의 고문관들은 이 사업에 투자하지 말라고 권유했다. 이들은 옛날 에라토스테네스의 계산을 믿었기 때문이다. 하지만 콜럼버스는 끈질긴 협상 끝에 스페인 왕실의 후원을 받아냈고 1492년 8월 3일, 출항할 수 있었다. 잘못된 측정이 신대륙의 발견을 가능하게 해준 것이다. -p54

“시카고에 피아노 조율사는 몇 명이나 될까?” 어느 날 페르미가 이렇게 묻자 학생들은 어리둥절해 했다. 물론 그 답은 페르미도 몰랐다. 하지만 그는 답을 구하는 과정을 알고 있었다. 시카고의 인구가 400만이고 평균 가구는 4인 가족이며 5가구마다 1가구씩 피아노가 있다고 할 때, 시 전체에는 20만 대의 피아노가 있다고 할 수 있다. 모든 피아노는 4년마다 조율해야 한다는 것을 생각하면, 해마다 5만대의 피아노를 조율해야 한다. 조율사 한 명이 하루에 4대의 피아노를 조율하면, 1년 근무일을 250일로 치고 1명당 해마다 1000대의 피아노를 조율하는 셈이 된다. 결국 시카고에는 50명의 피아노 조율사가 있다고 볼 수 있다. -p64