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과학도를 꿈꾸는 청소년들에게 도움을 주는 풍부한 수학정보!

『페렐만의 살아있는 수학』제4권 「기하학」편. 기하학이란 공간의 성질과 공간 안의 물체에 대한 성질을 다루는 수학의 가장 주요한 분야 중 하나이다. 「기하학」편은 수학적인 지식을 단순한 이론으로 나타내는 것이 아니라 생활에서 느끼고 볼 수 있게 하며, 실생활에서 수학을 이용해 판단하고 다양한 물체를 측정할 수 있는 측정 방법을 소개한다. 또 청소년들이 수학과 친숙해 지게 도움을 주는 수학적인 질문들과 과학적인 창의력을 키우고 일상생활에서 사용할 수 있는 수학의 활용에 대해 설명한다.

‘페렐만의 살아있는 수학 시리즈’ 최종편
페렐만은 1916년 그의 첫 번째 교양 과학 책인 <교양 물리>에서 시작하여서 일련의 교양과학 책을 내기 시작하였다. 그가 낸 교양 과학책은 당시뿐만 아니라 현대에도 세계에서 읽히고 있는 책이다.
그가 2차 세계대전 때 굶어 죽지만 않았어도 세계의 교양 과학의 역사는 크게 변하였을 것이다. 물론 그렇게 세상을 떠났어도 교양 과학의 역사에 큰 획을 그었다는 것에 이견을 제시할 사람은 아무도 없을 것이다.
그의 책은 1913년 이후 러시아에서만 300회 이상 발간이 되었고, 전세계 24개국어로 번역이 되어 천오백만 부 이상 판매가 되었다.
페렐만 교양 과학의 가장 중요한 자리를 차지하고 있는 것이 바로 수학이며, 우리는 이미 <<페렐만의 살아있는 수학1,2,3>>을 통해 그 훌륭한 내용을 접할 수 있었다.
페렐만의 살아있는 수학의 4번째 책은 기하학이다. 가장 어려우면서도 가장 접하기 쉬운 수학의 분야가 바로 기하학이다. 그리고 기하학이야 말로 우리의 생활과 가장 밀접하게 연관되어 있으며 그러한 밀접성을 가지고 이 책은 편집이 되었다.

생활 속의 기하학
기하학은 공간의 성질과 공간 안의 물체에 대한 성질을 다루는 수학의 가장 주요한 분야로서 가장 오래 된 분야 가운데 하나이다.
기하학의 기원은 고대 이집트와 메소포타미아까지 거슬러올라가며, 측량을 포함한 ‘실제문제’들을 해결하기 위한 노력에서 유래되었다고 한다. 이미BC 1000년 그리스인들이 기하학에 대해 확고한 기초를 세웠으며 이후 평면기하학(평평한 면에 관한 연구)과 입체기하학(3차원 입체에 관한 연구)으로 발전되었고, 추상적인 관념과 상(image)이 기하학 용어로 표현•발전되었다. 해석 기하학, 대수 기하학, 유클리드 기하학, 비(非)유클리드 기하학, 쌍곡 기하학, 타원 기하학 등 세분화된 기하학으로 발전하였다.
물론 <<페렐만의 살아있는 수학4-기하학>>은 세분화된 어려운 기하학에 대해서 이야기를 하지는 않는다. 이 책은 그동안의 ‘페렐만의 살아있는 수학 시리즈’를 통해서 이미 독자 여러분들이 잘 알고 있듯이 생활과 밀접한 수학 특히 기하학에 대해서 쓰여진 책이다. 그러므로 전혀 어려운 기하학이 아니다. 중학교 수준의 수학의 이해를 하고 있다면 누구나 쉽게 읽을 수 있는 책이다. 그리고 여기에 나와 있는 기하학적 이해를 바탕으로 한다면 위에 언급한 세분화되고 어려운 학문으로써의 기하학도 단숨에 정복할 수 있을 것이다.

추천사

과학자를 꿈꾸는 청소년들에게

최근 우리나라에 알려지기 시작한 <발명문제 해결 이론>이라는 것이 있습니다. 이것은 러시아의 알츠 슐러 라는 사람이 개발한 이론으로써 <발명문제 해결이론>이라는 말을 러시아 알파벳으로 줄여서 트리즈(TRIZ)라고 합니다.
이 트리즈 이론은 우리나라뿐만 아니라 세계의 대기업들이 신제품 개발 또는 기존의 기술 문제 해결을 하는데 적용을 하면서 많은 효과를 보고 있다고 합니다. 즉, 생산 현장이나 기술 현장에서의 문제들을 훨씬 더 빠른 시일에 해결하거나 불가능할 것 같은 문제점들을 풀어나가고 있다고 합니다. 그런데 재미있는 것은 이 트리즈 이론이라는 것이 수학적으로 따지면 확률과 패턴으로 만들어져 있다는 것입니다. 알츠 슐러는 특허를 정리하다가 특허가 가지고 있는 일반적인 특성을 연구하였고 그것을 패턴으로 나누었으며 확률적으로 어떤 것이 얼마나 더 많이 응용될까를 가지고 살펴본 뒤 트리즈라는 독창적인 이론을 만든 것입니다. 다시 말해서 그는 발명을 하는데 있어서 필요한 수학적인 지식을 정확하게 이해를 했으며 그 수학적인 지식을 이용해서 21세기에 가장 어렵다고 하는 과학과 기술의 문제를 푸는 열쇠를 제공한 것입니다.
만약 그에게 수학적인 이해력이 없었다면 그것이 가능했을까요?
이렇듯 수학은 모든 과학의 시작이며 기본입니다. 만약에 수학적인 지식이 없다면 과학은 있을 수도 없고 우리가 지금 편하게 쓰고 있는 모든 것들이 아마도 만들어지지 않았을 것입니다.
독자 여러분들도 잘 알겠지만 현재 과학문명을 가장 잘 표현해주는 모든 컴퓨터, 휴대폰 등을 하나씩 하나씩 나누어 들어가면 바로 수학이, 그것도 가장 간단한 수학이 나오게 됩니다.
게다가 기하학은 그 자체가 과학이라고 해도 과언이 아닐 것입니다. 연구소나 작업 현장에서 일하는 연구원이나 엔지니어가 기하학을 얼마나 잘 이해하고 있느냐에 따라서 문제를 해결하는 시간을 눈에 뜨이게 줄일 수 있기 때문입니다.
『페렐만의 살아있는 수학4-기하학』은 수학적인 지식을 단순한 이론으로 나타내준 책이 아니라 실생활에서 느끼고 볼 수 있는 것들을 어떻게 판단하고 측정할 수 있는지를 나타내주면서 청소년 여러분들에게 수학을 친숙하게 만들어주며 아울러 과학적인 창의력을 키울 수 있도록 도와주는 책입니다.
『페렐만의 살아있는 수학4-기하학』은 늘 수학자들과 과학자들이 만들어 놓은 결과물들을 가지고 생활하는 청소년들에게 그 결과물을 만들 수 있는 능력을 키워주는 책입니다. 진정한 과학도가 되고자 하는 청소년들에게 『페렐만의 살아있는 수학4-기하학』은 커다란 도움을 줄 것입니다.

┃강수석(공학박사, 전 국방과학연구소 책임연구원)┃

과학자를 꿈꾸는 청소년들에게

1장 숲의 기하학
1. 그림자 길이로 나무 높이 재기
2. 간단한 도구를 이용하여 나무 높이 재기
3. 절벽의 높이 재기
4. 어느 군인이 생각한 방법
5. 수첩을 이용하여 나무 높이 재기
6. 나무 가까이 가지 않고 나무 높이 재기
7. 거울을 이용하여 나무 높이 재기
8. 소나무 두 그루
9. 잎사귀의 기하학
체중과 근력의 기하학
개미는 정말 천하장사일까?

2장 강변의 기하학
1. 강폭의 측정
2. 섬의 길이
3. 건너편 강가에서 걷고 있는 사람
4. 가장 간단한 거리계
5. 강물 흐름의 속도
6. 연못의 깊이
7. 강 속에 있는 별빛 하늘
8. 강을 가로지르는 길
9. 두 개의 다리를 놓는 일
별의 기하학
'신비의 섬' 의 위도

3장 노천의 기하학
1. 달의 크기
2. 시각
3. 접시와 달과 동전
4. 살아있는 각도기
5. 야곱의 지팡이
6. 당신의 시력
7. 시력의 한계
태양의 기하학
'신비한 섬' 의 경도

4장 도로의 기하학
1. 걸음으로 측정하는 기술
2. 눈짐작(目測)
3. 벽돌더미
4. 웅장한 언덕
5. 커브 길
6. 대양의 밑바닥
물의 기하학
물로 만든 산(water mountain)이 있을까?

5장 하늘과 땅이 만나는 곳
1. 지평선
2. 수평선 위의 배
3. 지평선까지 거리
4. 고골의 망루
5. 레일들은 어디에서 만날까?
6. 등대에 관한 문제
7. 번개
8. 달에서의 수평선
9. 달의 크레이터(분화구)안에서
10. 목성에서
별밤 하늘의 기하학
북극성을 어떻게 찾을까?

6장 원에 대한 과거 및 현재 지식
1. 난 그걸 알아요, 잘 기억하고 있어요
2. 잭 런던의 실수
3. 바늘 떨어뜨리기
4. 원주 곧게 펴기
5. 머리 혹은 발
6. 적도를 따라 감긴 철사
7. 사실과 계산
8. 줄 타는 소녀
9. 북극 경유의 코스
10. 전동벨트 길이
11. 현명한 까마귀
π의 기하학
이집트와 로마의 실용기하학

7장 기하학에서 큰 것과 작은 것
1. 골무 속에 있는 27,000,000,000,000,000,000
2. 체적과 압력
3. 두 개의 캔
4. 거인 담배
5. 타조 알
6. 에피오르니스 알
7. 알을 깨지 않은 채 껍질 무게를 알아내는 방법
8. 명료한 그림
9. 우리의 표준체중
10. 거인과 난쟁이
11. 왜 먼지와 구름은 공중에 떠다닐까?
거인과 난쟁이의 기하학
걸리버의 기하학

8장 기하학으로 푸는 경제학
1. 파홈과 땅
2. 사다리꼴 혹은 직사각형
3. 다른 형태의 땅 면적
4. 못
5. 최대 체적의 물체
6. 같은 인수들을 곱하기
7. 최대면적의 삼각형
8. 가장 무거운 각목
9. 마분지 삼각형
10. 고민에 빠진 양철공
11. 곤경에 빠진 선반공
12. 판자를 길게 만드는 방법
13. 가장 짧은 코스
정사각형과 기하학
정사각형의 뛰어난 특성

그림자 길이로 나무 높이 재기

거대한 소나무 옆에서 자그마한 휴대용 도구로 나무 높이를 재던 백발의 노인을 보았을 때 나는 깜짝 놀랐다. 그 기억은 아직도 생생하다. 그 노인이 가지고 있던 조그마한 네모 판으로 나무의 꼭대기를 겨누었을 때 나는 이제 노인이 줄자를 가지고 나무를 타고 꼭대기까지 올라갈 것이라고 생각했다. 하지만 노인은 도구를 바로 접어서 주머니에 다시 넣고는 작업이 끝났다고 했다. 나는 이제 시작도 하지 않았다고 생각을 했는데……. 그 때 나는 너무 어렸다. 그렇기 때문에 나무 위로 올라가지도 않고 나무를 베어서 넘어뜨리지도 않고 그렇게 나무 높이를 재는 것이 내게는 자그마한 기적처럼 느껴졌다. 나중에 기하학에 대해서 조금 공부를 했을 때에야 나는 그런 기적이 아주 간단한 원리에 의해서 그리고 아주 사소해 보이는 도구의 도움으로 만들어진다는 것을 알게 되었다.
이러한 방법 중 가장 간단하면서도 가장 오래된 방법은 말할 것도 없이 기원전 6세기 경의 그리스의 현자 탈레스가 이집트의 피라미드 높이를 재었던 방법이다. 그는 그림자를 이용했다. 파라오와 신관들은 피라미드 아래 모여서 그림자를 이용해서 커다란 피라미드를 재고 있는 북에서 온 손님을 신기한 듯 바라보았다. 전설에 의하면 탈레스는 자신의 키와 자신의 그림자의 길이가 같아지는 시각을 골랐다고 한다. 왜냐하면 이 순간에 마찬가지로 피라미드의 그림자의 길이와 피라미드의 높이가 같게 되기 때문이다. 아마 이것은 인간이 자신의 그림자를 유용하게 사용한 그 첫 번째 예가 될 것이다.
그리스 현인이 사용한 방법은 현대의 어린아이도 간단하게 응용할 수 있는 것이다. 하지만 이렇게 간단하게 응용하는 것은 탈레스 이후에 기하학의 발전이 거듭되었기 때문에 가능하게 되었다는 것을 잊지 말자.
탈레스는 유클리드보다 더 오래 전에 살았던 인물이다. 유클리드는 그가 죽은 후 2,000년이 넘도록 읽혀지고 있는 기하학 책을 썼다. 책 속에 있는 이론들을 지금은 누구나 알고 있지만 탈레스가 살던 시대에는 그렇지 못했다. 피라미드의 높이를 그림자의 길이로 재기 위해서는 삼각형의 기하학적 특성을 알고 있어야만 했다. 그것은 바로 다음과 같다. 둘 중에서 첫 번째 것은 탈레스가 밝혀낸 것이다.
1) 이등변삼각형의 밑각은 서로 같다. 다시 말해서 밑각이 서로 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.
2) 모든 삼각형의 내각의 합은 직각의 두 배(즉 180°)이다.
위와 같은 사실을 알고 있는 상태에서 탈레스는 자신의 그림자 길이와 키가 같아질 때에 태양빛이 평평한 지면에 직각의 반(즉 45°)으로 비치므로 피라미드의 정점과 밑변의 중심과 그림자의 끝을 연결한 삼각형이 이등변삼각형이 된다는 결론을 낼 수 있었다.