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음수와 음수를 곱하면 왜 양수가 될까요?
유리수가 많을까요, 무리수가 많을까요?
내각의 합이 180도가 아닌 삼각형이 있다고요?

알면 알수록 재미있고 신기한 수학의 세계로 초대합니다

수학은 암기가 아니라 이해다

초1부터 고3까지 12년 동안 대한민국 학생들이 가장 많은 시간을 들여 공부하지만 가장 힘들어 하는 과목, 대입의 분수령이라 불리며 학부모들이 사교육 시장에서 가장 많은 비용을 들이는 과목. 수학이란 대체 어떤 학문일까요?

원론적으로 대답하면 수학은 숫자와 도형을 다루는 학문입니다. 우리 주변에 있는 것을 산술적으로 이해하고 계산하는 능력을 키우는 한편, 추상적인 수와 도형의 개념을 이해하는 능력을 키우는 것이 수학을 배우는 목적이지요. 그런데 방정식, 인수분해, 제곱근, 평면 도형과 입체 도형, 피타고라스의 정리, 함수… 듣기만 해도 머리가 지끈거리지 않나요? 이렇게 어렵고 다양한 내용으로 수학 교과과정이 짜여져 있기 때문에, 초중고 일선 학교에서는 각 주제별로 깊이 있게 탐구할 시간적 여유가 거의 없는 것이 현실입니다. 완벽한 이해 없이 설익은 지식과 암기 위주로 내달리다 보니 눈앞에 닥친 시험을 치르고 나면 수학 지식은 머릿속에 하나도 남아 있지 않습니다. 결국 이런 과정을 반복하며 엉성하게 쌓은 수학 지식은 골격이 없이 짓는 건축물과 같습니다. 조금만 다른 관점에서 물어봐도, 아이들은 금세 어려워하고, 혼란에 빠지고 말지요.

《중학교부터 시작하는 최상위 1% 수학 프로젝트》는 중학교 수준의 수학 실력이 있다면 누구나 이해할 수 있는 수준에서 시작해, 한 걸음 더 깊은 수학의 원리와 수학적 지식을 충실히 소개하고 있습니다. 학교에서 배우는 기본 공식이나 정리를 아는 것뿐만 아니라, 공식이나 정리가 도출되기까지의 과정에 대해 생각해 보고, 그 의미를 이해하기 위해 만들어졌습니다. 따라서 이 책에서는 학교 수업에서 다루지 않는 것과 ‘공식’이라고 정리된 내용에 대해 더욱 깊이 있게 살펴보고 있습니다. 토지의 면적을 구하고, 원기둥의 부피를 구하며, 미러볼을 통해 구의 겉넓이 등을 구하는 일은 실생활에서 얼마든지 궁금해하고 해결할 수 있는 문제들입니다. 수학은 세상에 존재하는 온갖 사물이나 사건으로부터 일반적인 공통의 규칙을 추출해 정리한 것이라 할 수 있습니다. 따라서 수학 공부는 최단 경로로 결과를 끌어내는 방법을 훈련시킬 뿐만 아니라, 공통의 규칙을 찾아내게 만듦으로써 세상을 바라보는 통찰력을 키워 줍니다. 보다 멀리 보려면 기본이 튼튼해야 합니다. 수학 공부도 마찬가지지요. 이 책은 그런 의미에서 독서하기 가장 좋은 수학 교양서라고 할 수 있습니다!

수학의 본질은 자유

“수학의 본질은 그것이 갖는 자유로움에 있다.”는 19세기 독일의 수학자 칸토어의 명언은 지금까지도 유명하게 남아 있습니다. 이 말과 같이 이 책에서는 한 가지 수학적 사실에 대한 다양한 접근 방법이 소개되어 있습니다. 한 가지 사실을 다양한 관점에서 자유롭게 증명하는 과정을 읽는 재미는 수학이라는 학문의 즐거움을 새삼 깨닫게 해 줄 것입니다.
그동안 교과과정에서 다루지 않은 ‘왜 0으로 나누면 안 되는 걸까요?’, ‘유리수의 개수가 많을까요, 무리수의 개수가 많을까요?’, ‘삼각형의 내각의 합이 180°가 되지 않는 경우가 있다고요?!’ 등의 재미있는 주제를 실어 수학적 사교의 지평을 넓혀 줄 것입니다.
각 장 마지막에 실린 칼럼에서는 일상생활에서 흔히 쓰는 A4 용지는 어떻게 해서 생겨났는지, 명함의 가로세로 사이즈는 어떻게 나오게 됐는지, ‘힐베르트의 무한 호텔’ 등 수학에 얽힌 재미있는 이야기들이 독자들의 호기심과 탐구심을 충족시켜 줄 것입니다. 무엇보다도 이 책의 미덕은 수학적인 증명과 원리를 알기 쉽게 단계별로 자세히 설명해 주어 어려운 내용을 쉽게 이해할 수 있도록 도와주고 있다는 점일 것입니다. 대한민국 초중고 교과과정을 반영한 꼼꼼한 감수와 함께 수학의 세계에 빠져 봅시다.

정동은(광양제철고 수학교사)
매년 많은 수학 도서를 읽는 수학 교사로서 이 책을 감수하면서 오랜만에 좋은 책을 발견해 매우 흐뭇했다. 기본적이고 핵심적인 수학 내용에 대해 왜 그렇게 되는지 이론적 배경부터 원리까지(필요하면 증명까지) 학생들의 눈높이에 맞게 자세히 설명해 주어서 매우 인상적이었다. 중고등학생이라면 교실 밖에서 풍부한 수학적 원리와 이론적 배경을 다지고, 대학생이나 일반인이라면 학창 시절을 떠올리며 재미있고 깊이 있는 수학의 아름다움에 빠져 보면 어떨까?

ㆍ들어가며_ 알면 알수록 재미있고 신기한 수학의 세계로 초대합니다…4

1장. 삼각형의 내각의 합은 왜 180°가 될까요?
ㆍ삼각형의 내각의 합이 180°가 되는 이유…12
ㆍ유클리드 기하학이란 무엇일까요?…18
ㆍ사각형의 내각의 합은 어떻게 계산해야 할까요?…27
ㆍ삼각형의 내각의 합이 180°가 되지 않는 경우가 있다고요?!…36
칼럼_ 제5공준…41

2장. 피타고라스의 정리에 대해 살펴봅시다
ㆍ피타고라스의 정리를 증명해 봅시다…46
ㆍ닮음비와 넓이비…52
ㆍ직각 삼각형이 아닌 경우에는 어떻게 될까요?…58
ㆍ피타고라스 수와 도형수…62
ㆍ입체적으로 생각해 봅시다…67
칼럼_ 페르마의 정리…71

3장. 왜 0으로 나누면 안 되는 걸까요?
ㆍ0을 사용한 계산…76
ㆍ불능과 부정…89
ㆍ한없이 0에 가까워진다는 것은 무엇을 의미할까요?…93
ㆍ0을 사용한 계산의 불가사의함…97
칼럼_ 미분…105

4장. 음수×음수는 왜 양수가 될까요?
ㆍ음수에 대해 알아봅시다…109
ㆍ음수×음수=양수가 되는 이유는 무엇일까요?…113
ㆍ음수를 사용한 나눗셈…118
ㆍ제곱해서 음수가 되는 수가 있을까요?…129
칼럼_ 다원수…140

5장. 원주율은 왜 일정한 값일까요?
ㆍ원주율을 계산해 봅시다…146
ㆍ원의 넓이가 πr²이 되는 이유는 무엇일까요?…156
ㆍ구에 대해 생각해 봅시다…159
ㆍ뿔꼴의 부피가 3분의 1이 되는 이유는 무엇일까요?…164
칼럼_ 원적문제…171

6장. 무리수는 어떻게 무한소수가 되는 것일까요?
ㆍ유리수와 무리수…175
ㆍ분수로 나타낼 수 있는 소수와 나타낼 수 없는 소수…178
ㆍ무리수는 닫혀 있지 않아요…188
ㆍ무리수를 분수로 나타내는 방법…193
ㆍ무리수를 작도해 봅시다…202
칼럼_ 황금비…204

7장.가 무리수라는 사실은 어떻게 알 수 있을까요?
ㆍ귀류법이란 무엇일까요?…209
ㆍ모순이 증명되면 안 되는 이유는 무엇일까요?…213
ㆍ존재하는 것과 존재하지 않는 것…221
ㆍ여러 가지 증명…228
ㆍ다중 근호…233
칼럼_ 일상생활 속의 …237

8장. 유리수의 개수가 많을까요, 무리수의 개수가 많을까요?
ㆍ유리수와 무리수는 무한개 존재합니다…241
ㆍ무한한 개수끼리 비교해 봅시다…248
ㆍ무리수는 셀 수 없어요!…256
ㆍ무한에 대해 생각해 봅시다…264
칼럼_ 힐베르트의 무한 호텔…270