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우리는 왜 수학을 공부해야 할까?
어지러운 숫자 속에 숨어 있는 수학의 본질을 탐구하다!

컴퓨터, 계산기가 존재하는데도 왜 수학을 공부해야 할까? 수학을 꺼리는 많은 학생들이 수학 문제를 풀 때마다 느끼는 의문일 것이다. 수학은 성적에 커다란 영향을 미치는 과목이지만, 수학에 얽힌 좋은 추억을 가진 사람은 많지 않다. 수학은 추상적이고 어렵기만 한 데다, 학교를 졸업하면 별달리 쓸 곳도 없는 어려운 지식만을 가르치는 학문처럼 보인다. 이과적 사고의 중요성이 커지고 수학, 공학에 대한 인기가 점점 높아지고 있는 지금도 이러한 고정관념은 크게 다를 바 없다.
하지만 수학은 단순히 학생들의 성적을 평가하기 위한 도구가 아니다. 계산기나 컴퓨터가 대신해 줄 수 있는 산수를 제외하더라도 수학이라는 학문 안에는 현대 사회를 살아가면서 반드시 알아두어야 할 지식이 숨어 있다. 수학은 우리가 누리는 생활의 근간을 이루는 과학을 이해하는 데 도움을 주고, 궁극적으로 우리가 세계를 더 잘 이해할 수 있게 돕는 학문이다.
오스트리아 빈 공과대학교 교수 루돌프 타슈너는 이 책을 통해 우리가 당연하게 지나치는 일상에서 수학이 어떤 역할을 하는지, 학생들이 왜 수학을 공부하다가 진절머리를 치는지, 그리고 수학을 공부해야 하는 이유를 알아본다.

단순 계산, 기계적인 문제 풀이는 진정한 수학이 아니다!
우리가 수학을 배워야 하는 진짜 이유

수학이라고 하면 학교에서 반복해서 풀던 연습문제와 까다로운 수학 시험을 떠올릴 것이다. 덕분에 수학은 짜증스러운 계산의 연속이자, 단 한 번의 실수로 잘못된 답이 나올 수도 있는 학문으로 여겨진다. 하지만 이는 수학의 일면에 불과하다. 물론 계산이 수학의 기본이기는 하다. 영어에 비유하자면 a, b, c를 먼저 익히고 그다음에 단어를 익히며 그 뒤에 문장으로 말하는 법과 쓰는 법을 배우는 것과 같다. 그러나 영어가 단순히 알파벳을 외우는 데서 끝나지 않는 것처럼, 수학도 단순 계산에서 끝나지 않는다.
수학은 세상을 이해하는 기반이 되어주는 국제적 언어다. 과학이나 경제 등 여러 학문을 설명하는 데 도움을 주는 도구이기도 하며, 가깝게는 일상적으로 물건을 사용할 때도 수학적 지식이 필요하다. 또한 디지털 기술의 기반이 되는 언어로, 앞으로 세상을 살아가는 데 꼭 필요한 지식이라고 할 수 있다. 따라서 수학 공부는 단순한 계산 훈련이 아니라, 다른 학문을 이해할 수 있는 창을 여는 일이라 할 수 있다.
오스트리아 빈 공과대학교의 교수 루돌프 타슈너는 ‘진정한 수학적 지식의 중요성’을 강조하면서 우리 삶과 일상의 어느 부분에 수학이 녹아들어 있는지, 수학이 얼마나 중요한 학문인지 알려준다.

물리학적 현상을 설명하고 디지털 기술의 기반이 되는,
우리 생활에 없어서는 안 될 수학의 개념을 알려주다!

수학은 처음부터 지금처럼 복잡한 학문이 아니었다. 지금은 숫자가 일상적으로 사용되어 당연하게 느껴지겠지만, 사실 숫자는 자연적으로 존재하는 연구 대상도 아니다. 숫자와 계산은 인류의 필요에 의해 발명되었다. 제대로 된 문자가 존재하지 않던 과거에도 사람들은 자신의 재산을 파악하기 위해 수를 알아야만 했다.
이 책은 인류 역사가 단순 계산, 산수의 단계를 거쳐 어떻게 지금처럼 복잡한 학문이 되었는지, 고대부터 수학이 인류의 삶을 변화시키는 데 어떤 영향을 주었는지 사례를 들어 자세히 설명한다. 고대 그리스의 수학자이자 공학자였던 아르키메데스가 고안한 도르래와 나사선이 어떤 어떤 원리로 발명되었는지, 17세기에 이르러 뉴턴이 수학적 언어를 어떻게 이용해 만유인력의 원리를 밝혀냈는지를 알아본다. 여기서 더 나아가 물체의 운동에너지와 위치에너지 사이의 수학적 관계, 핵분열에 담긴 지수적 증가 원리, 더 일상적으로는 우리가 매일 보는 달력에 숨어 있는 수학적 문제까지 고루 살펴본다.

-- 중력장에 대한 발상은 지극히 수학적이다. 볼 수도, 들을 수도, 냄새를 맡거나 맛을 느낄 수도 없기 때문이다. 우리는 중력장을 느낄 수 없으며, 문자 그대로 추상적으로 받아들일 수밖에 없다. 참고로 추상적이라는 의미의 독일어 ‘abstrakt’는 ‘떠나다, 밀어내다’를 의미하는 라틴어 ‘abstraher’에서 유래했다. 다시 말해 명확함에서 밀려나 멀리 떠나온 것이다. 한 물체가 지표면 위 어딘가에 위치할 때 중력, 즉 힘의 장은 오로지 물체의 무게를 통해서만 느낄 수 있다. _79~81p

수학은 인류가 지금까지 쌓아온 지식을 조망할 수 있는 망원경이 되어주기도 한다. 인류가 쌓아온 수많은 지식들은 수학을 바탕으로 하고 있다. 따라서 수학을 익히고 배우는 일은 긴 시간 동안 축적된 지식을 습득하고, 앞으로 나아가기 위한 밑거름이 된다.

-- 현대에 들어서자 수학의 의미는 더욱 명확해졌다. 수학을 기반으로 한 망원경과 현미경의 발명 - 여기에는 수학의 일종인 기하 광학이 활용된다 - 을 통해 완전히 새로운 세상을 발견할 수 있었기 때문이다. 또한 컴퍼스와 육분의(각도와 거리를 정확하게 재기 위해 사용하는 광학 기계 ? 옮긴이 주)를 사용한 측정을 통해 지도 제작 기술이 한층 정교해졌으며, 이는 전 지구로 향하는 항해로를 열어 주었다. 물리와 기술은 수학의 도움으로 성공을 거머쥘 수 있었다. 화학도 마찬가지다. 수학적 과정을 통해 물체의 특징과 화학적 반응 과정을 알아낼 수 있게 되면서 비로소 화학은 연금술의 수준을 벗어날 수 있었다. 다른 과학 분야도 마찬가지로 수식을 적용하기 시작하면서 정확성을 뽐낼 수 있게 되었다. _216~217p

수학이 문제가 아니라, 수학 시험이 문제다!
수학은 어렵고 까다로운 학문이라는 고정관념에서 벗어나자.

최근에는 이공계 관련 직종이 주목을 받기 시작하면서 수학이 실제로 유용한 학문이라는 사실은 입증된 것처럼 보인다. 하지만 그럼에도 수학은 공부하기 까다롭고 이해하기 어려운 학문이라는 인식은 사라지지 않는다. 수학이라고 하면 학교에서 고통스럽게 시험을 치르던 기억밖에 없는 이들이 대부분이기 때문이다.
이 책의 저자 루돌프 타슈너 교수는 진짜 수학적 지식과 실력을 판단하는 것이 아니라, 단순히 점수로 학생을 ‘평가하기 위한’ 수학 시험의 문제점을 지적하고, 올바른 수학 시험이란 어떤 형태여야 하는지 알려준다. 수학에서는 계산도 중요하지만 그보다는 수학적 사고 능력을 기르는 것이 우선시되어야 한다. 저자는 진정한 수학을 배우는 방법을 알려주면서, 학교에서 배우는 영어와 음악 과목을 수학과 비교한다. 음악 시간에 위대한 작곡가들의 음악을 감상하는 방법을 배우는 것처럼 수학을 배워야 한다는 것이다.
이 책을 통해 수학에 대한 인식을 바꾸고, 수학이라는 학문에 어떻게 접근해야 하는지 알 수 있다.

-- 수학은 언제나 우리 인류의 역사에 영향을 미쳐 왔으며, 나날이 그 영향력을 키워 나가고 있다. 수학 수업을 통해 우리는 위대한 수학자의 업적을 접할 수 있다. 그들이 고안해 낸 공식을 익히고 읽는 작업을 통해서 말이다. 천재적인 발상이 담겨 있는 공식은 음악의 거장이 만들어 낸, 심금을 울리는 선율을 담은 악보와 같다.
오늘날에도 스스로 공식을 세우고 전문적인 수학자나 수학 전공자처럼 공식을 활용해 보라는 시험 문제가 출제되기는 한다. 그러나 이는 학생들에게 지나치게 많은 것을 바라는 어른들의 욕심이다. 음악이나 미술과 마찬가지로, 엄청난 수학적 재능을 가지지 않은 아이들은 이러한 문제를 통해 배울 수 있는 지식이 한정되어 있다. 공식을 자유자재로 변형시키는 연습도 좋지만 그보다는 공식의 내용을 제대로 이해하는 것이 먼저다.
외국어와 문학에 대한 재능이 없다면 영어 시간에 엄청난 산문이나 시를 써낼 수는 없다. 하지만 글을 읽고 이해하며 줄리엣의 말에 젖어 드는 경험을 하는 것은 가능하다. _61~62p

제1장 수학은 어떻게 시작되었을까
최초의 계산법, 덧셈과 뺄셈
전체를 파악하는 기술, 곱셈
자유를 위한 기술, 나눗셈

제2장 수학을 꼭 배워야 할까
계산은 수학의 전부가 아니다
모두가 수학자가 될 필요는 없다
우리가 수학에서 배워야 하는 것들
자주적인 생각을 길러 주는 계산

제3장 세상의 이치를 설명하는 수학
중력장, 지극히 수학적인 발상
공학적 발명의 기반이 된 수학
수학으로 탐구한 하늘의 움직임
에너지의 크기를 계산하는 법
부를 축적하기 위해 알아야 할 지식

제4장 수학 시험의 치명적인 문제
수학 시험이 불러오는 악몽
훌륭한 수학 문제의 조건
학교에서 배워야 할 수학 지식

제5장 숫자 세기에 숨겨진 비밀
숫자를 셀 때 저지르기 쉬운 실수
손으로 셀 수 없는 숫자의 발명
무한, 끝이 없는 숫자들

제6장 수학에 대한 고정관념에서 벗어나기
세상을 측정하는 법
수학적 증명에 담긴 설득력
자연의 이치를 설명하는 언어, 수학
우리는 수학을 너무 조금 배운다

실제로 접근이 힘든 오지에 거주하는 원시인은 재산이나 소유 개념뿐만 아니라 숫자도 알지 못한다. 이들이 셀 수 있는 숫자는 최대 셋까지다. 브라질의 원주민인 바카이리Bakairi 족이나 보로로Bororo 족에게 셋 이상의 나무는 그저 ‘많은’ 나무에 불과하며, 이를 표현하기 위해 수북한 머리카락을 움켜잡곤 한다. _20p

하지만 명심하자. 수학은 지루한 계산 연습의 반복이 아니다. 계산은 단지 수학적인 지식을 얻기 위한 징검다리에 불과할 뿐이다. 지루하고 단조로운 계산 문제에 진절머리 치며 수학이라는 학문을 내던져서는 안 된다. _61p

이 ‘무한히 작은’ 삼각형을 계산하기 위해 뉴턴은 새로운 수학을 만들어 내야만 했다. 이것이 바로 오늘날 말하는 미분이다. 이 학문의 기이한 특성에 대해 전부 설명하기에는 여백이 부족하니, 간단하게 ‘ 17세기의 교육 세상에 전대미문의 돌풍을 불러왔다’고만 설명하겠다. 뉴턴은 미분을 통해 어떻게 달이 지구 중력장을 따라 지구를 초점으로 하는 타원형으로 움직이는지 밝혀냈다. _103p

분열 과정에 의해 튀어 나오는 중성자의 수를 알고 있다면 연쇄 반응에 따른 충격의 크기를 알 수 있다. 튀어 나오는 하나의 중성자로부터 두 개의 중성자가 만들어지고, 그다음엔 네 개, 그다음엔 여덟 개, 그리고는 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1,024와 같이 이어진다. 이러한 과정이 열 번 반복되면 날아다니는 중성자의 수는 1,000배 이상 많아진다. 스무 번 반복되면 10,000개, 서른 번 반복되면 10억 개, 마흔 번 반복되면 1조 개가 넘는다. _120p

복잡하기 짝이 없는 이름을 자랑하는 표준화 시험은 교육 전문가들이 지치지 않고 걸어온 샛길 속 어두운 덤불에 밝은 빛을 비추었다. 덕분에 수업의 목표를 명확하게 정할 수 있었다는 점을 고려하면 중앙에서 출제하는 졸업 시험 또한 수학 교육을 발전시켰다고 할 수 있다. 이러한 시험은 일종의 기준이 되어 학생들이 수학을 어디까지 배워야 하는지에 대한 질문에 답을 준다. ‘시험에 통과할 수 있을 만큼’ 말이다. _137p

처음부터 수학을 싫어하는 사람은 없다. 이 말이 낯설고 이상하게 느껴질 수도 있겠지만, 처음 숫자를 배우고 행복에 찬 아이들을 떠올려 보자. 아이들은 이제 막 계단이나 식탁 위 접시, 바닥에 떨어진 블록 같은 눈앞의 물건들을 셀 수 있게 되었다. 그러다 어느 순간 몇 번을 반복해서 오르내려도 계단의 수가 변하지 않는다는 사실을 깨닫는다. 그렇게 어떤 것들은 오랫동안 변하지 않는다는 사실을 알게 되는 것이다. 마치 숫자처럼 말이다. _164~165p