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[개정판] 아빠마음 중학수학 3·상
초등학생이 혼자 선행학습해도 충분히 이해할 수 있는 중학수학 개념서

누구보다도 가장 쉽게 수학을 가르쳐 주는 책, 스스로 생각하는 힘을 길러주는 혁신적인 중학수학 학습서이다. 수학, 이제 가장 쉬운 과목이 된다.
중학교 수학은 고등학교 수학으로 가기 위한 중요한 기초이다. 수학은 기초부터 탄탄히 공부해두지 않으면 점점 따라잡기 어려워지는 대표적인 과목이다. 눈으로 읽기만 해도 개념이 쏙쏙 들어오는 친절한 설명, 꼭 필요한 핵심 예제만 엄선하여 다양한 풀이 과정 소개, 실전에 꼭 필요한 영양 만점의 Tip 수록 등이 ‘[개정판]아빠마음 중학수학 3(상권)’의 가장 큰 장점이다.

‘[개정판]아빠마음 중학수학 3(상권), 누구보다도 가장 쉽게 수학을 가르쳐 주는 책
-스스로 생각하는 힘을 길러주는 혁신적인 중학수학 설명서

세상을 살아가면서 우리는 전혀 해답이 없을 거 같은 어려움에 부딪히기도 한다. 하지만 포기하는 일 없이 끈질기게 찾다 보면 해답은 반드시 있다. 중학교 수학은 단순한 수식과 법칙, 공식 등을 통해 문제를 풀고 답을 찾는 데만 있는 게 아니라 앞으로 인생을 살아가며 맞닥뜨릴지도 모를 난해한 문제의 해답을 찾는 인생 기초 수련이기도 하다. 주로 미시적 생각으로만 대하면 흥미 없고 어려운 과목이 될 수밖에 없다.
수학은 집중력과 끈기와 의지, 생각의 깊이와 정확성을 키워주는 학문이다. 수학은 이처럼 우리 삶의 자세와도 밀접한 관련이 있는 터라 흥미를 잃거나 포기해서는 안 되는 과목이다.

‘[개정판]아빠마음 중학수학 3(상권)’은, 저자가 자신의 딸에게 수학 공부를 좀 더 쉽게 가르쳐줄 수 있는 방법을 연구하다가 ‘쉬우면서도 가장 공부하기 재미있는 과목’이 되도록 만들었다.
중학교 수학은 고등학교 수학으로 가기 위한 중요한 기초이다. 수학은 기초부터 탄탄히 공부해두지 않으면 점점 따라잡기 어려워지는 대표적인 과목이다. 저자는 중학생 딸에게 수학 공부를 도와주면서, 처음에는 자상히 설명해주다가도 금세 화를 내거나 윽박지르는 자신을 발견하게 되면서, 혼자 힘으로도 충분히 이해하도록 이 책을 쓰게 된 것이다. 눈으로 읽기만 해도 개념이 쏙쏙 들어오는 친절한 설명, 꼭 필요한 핵심 예제만 엄선하여 다양한 풀이 과정 소개, 실전에 꼭 필요한 영양 만점의 Tip 수록 등이 ‘아빠마음 중학수학’의 가장 큰 장점이다.

수학은 스스로 생각하는 능력을 키우기 위한 과목

현재 수학 참고서 대부분 책은 중학생이 혼자서 수학을 공부하기에는 불친절한 점들이 적잖다. 하지만 ‘[개정판]아빠마음 중학수학 3(상권)’은 술술 읽기만 하여도 고개가 끄덕여지고 개념이 금세 잡히도록 하였다. 요즘은 인터넷 강의가 흔하지만 인터넷 강의는 학생을 수동적으로 만들기 십상이다. 정해진 시간 동안 교사가 일방적으로 주입하는 대로 받아들여야 것이다. 하지만 수학은 스스로 생각하는 능력을 키우기 위한 과목이다. 따라서 자신만의 속도로 자신만이 이해하는 방식으로 수학을 이해하고 깨우쳐야 한다. 반드시 스스로 책을 보면서 곰곰이 생각하는 시간이 필요한 것이다.
수학 문제를 풀어가다 보면 딱 한 줄이 이해가 안 되는 때가 있다. 이 책은 되도록 문제를 한 줄 한 줄 상세하게 풀어가는 과정을 적어 두었다. 풀이 과정에서 왜 그렇게 푸는지도 설명을 곁들였다. 아빠와 함께 공부한다는 마음으로 차근차근 이 책의 과정을 따라오다 보면 혼자서도 수학을 충분히 잘할 수 있구나 하는 자신감이 붙게 될 것이다.
어떤 과목에서든 내용을 가슴으로 이해하지 못하면 그 내용은 결국 자신을 떠나게 되어 있다. 수학 역시 마찬가지다. 마음을 열고 친구를 사귀듯이 한 발짝씩 다가가야 한다. 그래야만 오래도록 친구로 남을 수 있다.

이 책에서 저자가 바라는 두 가지

특히 이 책에서 저자가 바라는 것은 첫째 ‘설명해 보기’이다. 한 단원이 끝날 때마다 부모나 친구 혹은 누구에게든 책에서 배운 단원을 설명해보라는 것이다. 만약 설명하다 어디선가 막힌다면 그 부분이 바로 개념을 제대로 이해하지 못하고 있다는 방증이다. 비록 대상이 없이 혼자일지라도 여러 번 설명하다 보면 어느 새 개념을 파악하는 수준이 일취월장 업그레이드 될 것이다.
다음으로는 ‘천천히 스스로 생각하기’이다. 수학을 빠르게 푸는 데만 관심을 두어서는 안 된다. 수학은 결코 빨리 푸는 데 목적이 있는 것이 아니다. 어려운 문제와 맞닥뜨렸을 때 쉽게 항복(=조금 생각해보다가 집어치우고 해답 보기)하기보다는, 문제가 풀릴 때까지 끝까지 싸워봐야 한다. 한 시간 두 시간 동안 붙잡으란 얘기가 아니라, 풀리지 않는다고 하여 바로 포기하지 말고 일단 표시를 해 둔 다음 며칠이 걸려도 좋으니 시시때때로 그 문제를 곱씹어 보라는 뜻이다. 그러다 보면 한순간 번쩍하고 머릿속에서 번개가 치는 때가 온다. ‘아 이렇게 풀면 되는 거였지’ 하고 갑자기 풀이 방법이 생각날 것이다. 이런 경험을 한 번 하고 나면 수학이 왜 재미있는 과목인지 새삼 깨달을 것이다.

‘[개정판]아빠마음 중학수학 3(상권)’을 효과적으로 공부하기

1. 책을 읽으면서 개념 익히기
이 책은 무엇보다 쉬운 말과 쉬운 예를 들어 설명하였다. 처음부터 머릿속에 집어넣으려는 자세보다, 편한 마음으로 책을 여러 번 읽어보면서(읽기 편안하게 짜여있다.) 어느 정도 친근해진 후 연필을 들고 문제를 풀어보면 더 효과적이다.

2. 예제를 풀고 난 다음에는 반드시 풀이 과정을 읽어보기
이 책은 많은 문제를 던져 주고 빨리 풀어내기를 재촉하지 않는다. 대신 개념을 이해하는 데 꼭 필요한 문제들을 자신의 힘으로 풀어낼 수 있도록 도와준다. 따라서 이 책에는 단원마다 최소한의 예제들만 실려 있다.
수학을 마치 암기 과목처럼 한 가지 풀이 방법만 외우듯이 익혀서 답을 구하려다 보면 스스로 생각하는 연습을 할 수 없다. 이 책에서는 예제를 푸는 방법이 여러 가지가 있다면 되도록 모든 방법을 다 안내하고자 하였다. 따라서 정답이라는 결과는 같더라도 반드시 풀이 과정을 읽어보는 것이 좋다.

3. 계산을 정확하게 하다 보면 속도는 자연스럽게 는다.
이 책은 문제 풀이 과정의 처음부터 끝까지, 계산 과정조차도 최대한 빠지는 과정 없이 차근차근 설명하고 있다. 계산에 조금 익숙한 학생이라면 굳이 연필을 들 필요 없이 눈으로 만도 충분히 책을 넘기고 공부할 수 있다. 그리고 계산 과정에서 설명이 있어야 할 경우에는 계산 과정 바로 옆에 설명을 따로 달아 두었으니 한 줄, 한 줄 계산이 왜 이렇게 넘어가는지 막힘없이 이해할 것이다.
수학에서 대부분 실수는 한 줄에서 다음 줄을 넘어가는 너무나 당연한 풀이 과정 중에 생긴다. 빠르게 풀면서 실수를 하는 것보다는 조금 천천히 풀더라도 차근차근 정확하게 푸는 것이 더 중요하다. 천천히 실수 없이 푸는 습관이 들다 보면, 자연스럽게 속도는 빨라지게 된다.

4. 개념 체크와 연습 문제로 복습하기
어느 정도 단원 공부가 끝나면 단원 마지막 부분의 개념 체크 풀어보기를 한다. 반드시 알아 두어야 할 개념들을 한곳에 모아 놓고 군데군데 빈칸을 쳐 놓았으니, 빈칸에 들어가야 할 내용이 무엇일지 쭉 채워보는 것이다. 막히는 부분이 있거나 틀린 부분은 아직 그 개념을 이해하고 있지 못하다는 증거이므로 다시 그 부분으로 돌아가서 책을 읽고 생각해본다. 개념 체크가 완벽하게 되었다 싶으면, 마지막으로 연습 문제의 복습을 한다. 여기 있는 문제들은 새로운 문제들이 아니라 단원 중간 중간 풀어 보았던 문제들이다. 복습 삼아 가벼운 마음으로 풀어보고, 풀이 방법이 생각이 나지 않거나 답이 틀린 문제들은 체크해두고 다시 뒤로 돌아가서 복습을 한다. 그리고 시간이 흐른 뒤에 틀렸던 문제들을 다시 또 풀어 본다. 모든 문제를 완벽하게 풀어냈다면 단원 학습이 이제 끝이 난 것이다.

Ⅰ 제곱근과 실수

1. 제곱근과 그 성질
제곱근의 뜻과 표현 16
제곱근의 성질 26
제곱근의 크기 비교 39
무리수와 실수 45
실수와 수직선 51
실수의 크기 비교 60

2. 제곱근의 계산
제곱근의 곱셈 74
제곱근의 나눗셈 85
분모의 유리화 92
도형에서의 제곱근의 곱셈, 나눗셈 98
제곱근의 덧셈과 뺄셈 111
제곱근 식의 계산 116

Ⅱ 인수분해와 이차방정식

1. 다항식의 곱셈
다항식과 다항식의 곱셈 146
곱셈 공식 151
곱셈 공식을 이용한 분모의 유리화 164
곱셈 공식의 활용 172
교과서 바깥의 얘기들 복잡한 다항식의 곱셈 풀기 186

2. 인수분해
공통인수를 이용한 인수분해 188
곱셈공식을 이용한 인수분해 - 제곱 공식 196
완전제곱식이 되기 위한 조건 203
곱셈공식을 이용한 인수분해 - 합과 차의 곱셈 208
곱셈공식을 이용한 인수분해 - x2의 계수가 1인 이차식 212
곱셈공식을 이용한 인수분해 - x2의 계수가 1이 아닌 이차식 220

3. 이차방정식
이차방정식의 해 238
이차방정식의 풀이 241
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 247
제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이 253
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 258
이차방정식의 근의 공식 264
복잡한 형태의 이차방정식 풀이 273
이차방정식의 근과 계수의 관계 276
이차방정식의 활용 - 넓이, 부피 282
이차방정식의 활용 - 숫자, 속력과 높이 287

Ⅲ 이차함수

1. 이차함수와 그래프
이차함수의 뜻 304
이차함수 y=x2 310
이차함수 y=-x2 316
이차함수 y=ax2 320
이차함수 y=ax2+q 330
이차함수의 y절편, x절편 338
이차함수 y=a(x-p)2 340
유용한 팁 평행이동 352
이차함수 y=a(x-p)2+q 354
이차함수 y=ax2+bx+c 367
이차함수의 식 구하기 383

복잡한 다항식의 곱셈 풀기
_교과서 바깥의 얘기들

몰라도 좋지만 알아두면 더 좋은 참고사항들이다. 물론 건너뛰어도 좋다.

이번 단원에서 가장 중요한 내용 중의 하나는 다항식의 곱셈 (a+b)(c+d)일 것이다. 다항식의 곱셈을 기초로 해서 합의 제곱, 차의 제곱, 합과 차의 곱 등등 다양한 공식이 만들어 졌다. 만약 다항식이 더 복잡한 경우에는 그 결과가 어떻게 될까? 예를 들어 (a+b+c)(d+e)를 전개하면 어떻게 될까? 한번 결과를 살펴보자.

다항식의 곱셈을 전개하는 방법은 하나의 다항식을 단항식처럼 간주하고 분배법칙을 잘 활용하면 된다. 우리는 뒤쪽의 (d+e)를 M이라고 놓고 풀어보기로 하자.

(a+b+c)(d+e)=(a+b+c)M=aM+bM+cM 이 되고,
원래대로 M을 돌려놓으면

aM+bM+cM=a(d+e)+b(d+e)+c(d+e)이 되니 각각을 다시 분배법칙을 써서 괄호 안과 바깥을 곱해준다.

a(d+e)+b(d+e)+c(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce 가 된다.
정리하면

(a+b+c)(d+e)=(a+b+c)M
=aM+bM+cM
=a(d+e)+b(d+e)+c(d+e)
=ad+ae+bd+be+cd+ce

전개 결과만 정리하면 다음과 같다.

(a+b+c)(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 와 비교해보자. 어떤 것들을 발견할 수 있는가?

(a+b)(c+d)에서 각 다항식은 항이 2개씩이므로 전개식의 항의 개수는 2×2=4가 된다. (a+b+c)(d+e)의 전개식은 3×2=6개의 항을 가지게 된다.

그리고 전개식의 각각의 항은 왼쪽 다항식 안에 있는 항들을 서로 차례차례 오른쪽 다항식의 항들하고 곱한 결과이다. 너무 당연한가?


제곱공식을 이용한 인수분해에서 양의 제곱근만 사용하는 이유

x2+6x+9=(x)2+2(x)(3)+(3)2

우리는 제곱공식을 이용한 인수분해를 할 때 위와 같이 식을 인수분해 했다.
여기서 잠깐, 위의 인수분해에서 한 가지 이상한 점이 있다는 것을 발견할 수 있다.
어떤 수를 제곱하면 9가 되는가? 즉, 9의 제곱근은 무엇인가?
9의 제곱근은 3과 -3이다. 마찬가지로 x2의 제곱근은 ±x이다.
그런데 왜 우리는

x2+6x+9=(x)2+2(x)(3)+(3)2

위와 같이 9의 제곱근 중에서는 3을 이용하고 x2의 제곱근 중에서는 x만을 사용해서 인수분해를 하는 것일까? (3)2대신에 (-3)2 또는 (x)2대신에 (-x)2이라고 생각하면 안 되는 것일까?

이 질문에 대해 잠시 생각해보고 넘어가기로 하자.

실제 x와 3의 부호에 따라 어떻게 인수분해가 달라지 게 되는지 살펴보자.

① x2=(x)2이고 9=(3)2이라고 할 경우
x2+6x+9=(x)2+2(x)(3)+(3)2 a2+2ab+b2=(a+b)2 이용
=(x+3)2
② x2=(-x)2이고 9=(-3)2이라고 할 경우
x2+6x+9=(-x)2+2(-x)(-3)+(-3)2 a2+2ab+b2=(a+b)2 이용
={(-x)+(-3)}2
={-(x+3)}2
=(x+3)2