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4차 산업혁명 시대의 이산수학

날로 발전하는 과학기술과 공학적 응용의 핵심은 수학일 것이다. 우리는 수학을 통하여 해결하고자 하는 복잡한 문제들을 추상화(abstraction)하며, 논리적으로 엄밀하게 판단하고, 정확한 방법으로 모델링(modeling) 할 수 있다.

특히 이산수학은 컴퓨터 관련 학문이나 공학을 전공하는 학생들에게 기초적인 이해의 폭을 넓혀주고, 실제 문제에서 어떻게 응용되는지를 직관적으로 이해하게 하는 등 매우 유용한 학문적 기반을 마련해 준다.

이산수학(Discrete mathematics, 離散數學)은 연속의 개념을 사용하지 않고 이산적인 수학 구조에 대해 연구하는 학문인데, 주로 집합, 정수, 관계, 그래프, 형식 언어와 같은 개념을 다루는 학문 분야이다. 즉, 이산적인 대상물들을 분석하여 응용의 기반으로 삼는 분야이다.

이산수학의 개념은 이산이라는 개념과 수학이라는 개념이 결합된 개념이다. 따라서 이산수학에서는 논리, 명제, 집합과 디지털적인 수의 세계, 증명법, 관계, 함수, 그래프, 트리, 순열, 이산적 확률, 재귀법, 행렬과 행렬식, 부울대수, 오토마타, 형식언어 등을 다루는데, 이런 논제들을 공학적으로 응용하는 분야로 볼 수 있다.

이 책을 통하여 이산적인 구조를 가진 여러 가지 이산수학의 영역들을 탐구함으로써 다양한 공학 분야의 핵심 이론과 응용에 보다 효율적으로 접근할 수 있는 바탕을 마련할 수 있기를 기대한다.

미국과 국내에서 이산수학과 관련된 저자의 오랜 경험과 상당 기간의 준비 과정을 통하여, 많은 대학생들이 보다 쉽게 이산수학을 익히고 응용할 수 있도록 자세한 기본 개념과 보충설명을 통하여 기초부터 차근차근 설명하였다.

개정판의 주요 특징

첫째, 각 장의 주제와 관련하여 다양하게 응용되는 분야들을 살펴보았고,최근 들어 세계적인 이슈로 부각되고 있는 4차 산업혁명에서의 역할과 응용 관계를 설명하여 다가오는 시대가 요청하는 최신의 이산수학이 되도록하였다.

둘째, 적절한 난이도 조절을 위해 다소 어려운 예제들을 삭제하고, 비교적 간단한 ‘강 건너기’와 ‘6개의 공’예제들과 인공지능 문제 트리 등 적절하게 이해될 수 있는 예제들을 신설하여 전반적인 이해의 폭을 넓혔다.

셋째, 제3장의 집합론에다‘디지털적인 수의 세계’를 추가로 다루었다. 이산수학의 영역에 있는 디지털적인 수의 표현과 진법의 변화, 그리고 2진수의 연산 등 핵심적인 사항들을 예제와 함께 상세하게 설명하였다.

넷째, 각 장의 뒤에 있는 연습문제를 대폭 보강하여 활용할 수 있도록 하였다. 문제은행과 같이 다양한 문제들을 접함으로써 본문의 내용과 관련된 이해의 폭을 넓힐 수 있도록 하였다.

이 책의 주요 내용

제1장에서는 이산수학의 개념과 이산적 개념, 수학적 모델링을 통하여 실세계 문제를 수학적으로 매핑하는 개념, 문제 해결을 위한 효과적인 모델링 방법과 다양한 응용 분야를 다루었다. 제2장에서는 논리와 명제를 정의하고, 주요 논리 연산, 항진 명제와 모순 명제, 논리적 동치 관계, 추론과 술어 논리, 전체 한정자와 존재 한정자를 다루었다. 제3장에서는 집합의 정의, 집합의 표현, 합집합, 교집합 등의 집합의 연산과 집합의 분할 등을 다루었다.

제4장에서는 주어진 문제를 해결하기 위한 단계적 접근 방법, 수학적 귀납법, 모순 증명법, 직접 증명법 등의 증명법과 프로그램의 입증을 다루었다. 제5장에서는 관계와 이항 관계의 기본 개념, 관계의 표현법, 합성 관계, 관계의 성질, 동치 관계와 분할, 부분 순서 관계 등을 다루었다. 제6장에서는 함수의 정의, 함수의 그래프, 전사 함수, 단사 함수, 전단사 함수의 개념, 합성 함수 등 여러 함수들과 컴퓨터 언어에서의 함수의 역할을 다루었다.

제7장에서는 그래프의 기본 개념, 그래프의 표현, 특수 형태의 그래프, 관계와 그래프, 그래프의 응용, 그래프의 탐색, 그래프와 색칠 문제를 다루었다. 제8장에서는 트리의 개념, 방향 트리, 이진 트리, 이진 트리의 표현, 생성 트리와 최소 비용, 문법의 파싱, 게임 등 트리의 다양한 응용 문제를 고찰하였다. 제9장에서는 순열 및 조합과 관련된 기본적인 개념, 이산적 확률과 통계, 비둘기 집 원리, 재귀적 정의, 피보나치 수와 하노이 탑 문제를 살펴보았다.

제10장에서는 행렬을 정의하고 행렬의 연산, 특수한 행렬, 행렬의 기본 연산, 행렬식의 개념과 성질, 역행렬, 선형 방정식의 해법을 고찰하였다. 제11장에서는 부울식의 기본 연산, 부울식의 표현, 카노우 맵을 통한 부울 함수의 간소화, 논리 회로의 설계, 논리 회로의 3가지 응용들을 살펴보았다. 제12장에서는 알고리즘의 정의와 효율성, 알고리즘 분석과 복잡성, 재귀 함수의 복잡성, 탐색 알고리즘, 정렬 알고리즘 등을 살펴보았다. 제13장에서는 오토마타의 기본 개념과 필요성, 유한 상태 시스템, 유한 오토마타, 형식 언어와 문법, 튜링 머신, 촘스키 포함 관계를 살펴보았다.

Chapter 01 이산수학의 개요
1.1 이산수학이란 무엇인가?
1.2 이산적 개념과 연속적 개념
1.3 수학적 모델링
1.4 문제 해결을 위한 모델링
1.5 이산수학의 응용 분야
1.6 4차 산업혁명 시대와 이산수학
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 02 논리와 명제
2.1 논리와 명제
2.2 논리 연산
2.3 항진 명제와 모순 명제
2.4 논리적 동치 관계
2.5 추론
2.6 술어 논리
2.7 논리용 언어-Prolog
2.8 논리와 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제


Chapter 03 집합론과 디지털적인 수의 세계
3.1 집합의 표현
3.2 집합의 연산
3.3 집합류와 멱집합
3.4 집합의 분할
3.5 수의 표현과 진법의 변환
3.6 2진수의 덧셈과 뺄셈
3.7 집합론의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 04 증명법
4.1 증명의 방법론
4.2 여러 가지 증명 방법
4.3 프로그램의 입증
4.4 증명법의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 05 관계
5.1 관계와 이항 관계
5.2 관계의 표현
5.3 합성 관계
5.4 관계의 성질
5.5 동치 관계와 분할
5.6 부분 순서 관계
5.7 관계의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 06 함수
6.1 함수의 정의
6.2 함수의 그래프
6.3 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수
6.4 여러 가지 함수들
6.5 컴퓨터 언어에서의 함수의 역할
6.6 함수의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 07 그래프
7.1 그래프의 기본 개념
7.2 그래프의 용어
7.3 그래프의 표현
7.4 특수 형태의 그래프
7.5 관계와 그래프
7.6 그래프의 응용
7.7 그래프의 탐색
7.8 그래프와 색칠 문제
7.9 그래프의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 08 트리
8.1 트리의 기본 개념
8.2 방향 트리
8.3 이진 트리
8.4 이진 트리의 표현
8.5 이진 트리의 탐방
8.6 생성 트리와 최소비용 생성 트리
8.7 트리의 활용
8.8 트리의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 09 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계
9.1 경우의 수
9.2 순열
9.3 조합
9.4 이산적 확률과 통계
9.5 비둘기 집 원리
9.6 재귀적 정의
9.7 피보나치 수와 하노이 탑
9.8 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 10 행렬과 행렬식
10.1 행렬과 행렬의 연산
10.2 특수한 행렬
10.3 행렬의 기본 연산과 사다리꼴
10.4 행렬식의 개념
10.5 행렬식의 일반적인 성질
10.6 역행렬
10.7 선형방정식의 해법
10.8 행렬과 행렬식의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 11 부울 대수
11.1 부울식
11.2 부울식의 표현
11.3 부울 함수의 간소화
11.4 논리 회로 설계
11.5 논리 회로의 응용
11.6 부울 대수의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 12 알고리즘을 통한 문제 해결
12.1 알고리즘이란 무엇인가?
12.2 알고리즘의 표현과 효율성
12.3 알고리즘 분석
12.4 알고리즘의 복잡성
12.5 재귀 함수의 복잡성
12.6 탐색 알고리즘
12.7 정렬 알고리즘
12.8 알고리즘의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제

Chapter 13 오토마타, 형식 언어, 문법
13.1 오토마타란 무엇인가?
13.2 오토마타 학습의 필요성과 유한 상태 시스템
13.3 유한 오토마타
13.4 형식언어와 문법
13.5 튜링머신
13.6 촘스키 포함 관계
13.7 오토마타의 응용과 4차 산업혁명과의 관계
■ 요약 및 생활 속의 응용
■ 연습문제