추가 적립 안내

이 책에서는 주어진 수학적 문제에 대해 컴퓨터를 이용하여 요구되는 수치적인 답을 효율적으로 얻기 위한 여러 가지 수치해법들을 설명하고자 한다. 이 책은 모두 10장으로 구성되어 있으며, 제1~5장까지는 수치해석의 기본도구들을 소개하였고, 제6~10장까지는 공학도들에게 중요한 미분방정식(상미분방정식 및 편미분방정식)과 관련된 수치해법을 다루었다.

머리말

오늘날 공학의 발전은 복잡한 물리적 현상을 기술하는 수학적 모델링과 이를 정확히 계산할 수 있는 수치적 능력에 의해서 이루어졌다고 해도 과언이 아니다. 1940년 후반에 출현한 컴퓨터는 그 성능이 비약적으로 향상되어 여러 분야에서 불가능한 것으로 여겨졌던 많은 문제들을 수치적으로 해결하는데 큰 도움을 주고 있다. 1980년대 후반부터 일상에 필수품이 된 개인용 컴퓨터의 등장으로 우리 모두가 막강한 계산능력을 십분 발휘할 수 있어, 문제의 모델링과 결과분석 및 문제의 흐름을 파악하는데 더 많은 시간을 할애할 수 있게 되었다. 따라서 이 책에서는 주어진 수학적 문제에 대해 컴퓨터를 이용하여 요구되는 수치적인 답을 효율적으로 얻기 위한 여러 가지 수치해법들을 설명하고자 한다.

이 책은 지난 30년간 본인이 재직하는 한양대학교에서 수치해석과 관련된 강의를 하면서 준비한 강의노트를 기초로 하여 학부 및 대학원생을 위해 수치해법의 광범위한 내용들을 정리한 것이다. 이 책은 모두 10장으로 구성되어 있으며, 제1~5장까지는 수치해석의 기본도구들을 소개하였고, 제6~10장까지는 공학도들에게 중요한 미분방정식(상미분방정식 및 편미분방정식)과 관련된 수치해법을 다루었다. 각 장에서는 수치해법의 기본적인 개념과 이론을 쉽게 파악할 수 있도록 매 절마다 기본적인 내용을 먼저 설명하고, 이와 관련된 적절한 예제를 다루어 본문의 내용을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 하였다. 각 장의 뒷부분에는 그 장에서 중요하다고 생각되는 한 두 개의 프로그램을 포함시켰다. 수치해석을 배우는 학생의 입장에서는 자신의 문제를 해결하기 위한 프로그램을 작성하는 것이 매우 중요하다. 따라서 학생들이 수치 알고리즘을 쉽게 이해하기 위해서는 제공된 프로그램을 자신의 문제에 맞게 수정하여 여러 문제들을 해결해 봄으로써 수치해법을 체험적으로 느낄 수 있다. 또한 학생들이 본문의 내용을 완전히 이해하기 위해서는 각 장 뒷부분에 있는 연습문제들을 많이 풀어 보는 것이 바람직하다.

2판에서는 크게 3가지의 새로운 점이 추가 되었다. 첫 번째로 교과서의 내용을 보강하였다. 1장에서는 수치 오차의 이해를 돕고자 정밀도와 정확도에 대한 내용을 추가하였다. 5장에서는 1판에 다루어지지 않았던 비균일 간격에서의 수치 미분에 대한 내용을 추가하였다. 9장에서는 Hopscotch 법을, 10장에서는 선형감쇠에 대한 내용을 추가하였다.
두 번째는 각 장에 수록되어있는 컴퓨터 프로그램에서 기존에 제공되었던 Fortran code 뿐 만 아니라, 최근 많은 학생들이 사용하고 있는 C언어 code를 추가하여 학생들이 스스로 프로그램을 작성하는데 도움을 주고자 하였다. Fortran code와 C언어 code는 동일한 수치 알고리즘을 가지고 있으므로 학생이 편한 언어를 선택하여 사용하면 된다.

세 번째는 새로운 연습문제와 예제 문제를 추가하였다. 다양한 분야의 문제를 통해 수치 해법에 대한 이해뿐만 아니라 흥미를 유발하고자 하였다. 또한 본인이 푼 연습문제의 결과에 대한 검증을 할 수 있도록 가능한 많은 문제에 답을 제시하였다. 하지만 방법에 따라 조금씩 값이 바뀔 수 있음을 염두 해 두길 바란다.
이외에도 전판에서 잘못된 계산 결과와 표현에 대한 수정을 하고, 내용 이해를 돕기 위한 표와 그림들을 추가하였다. 1판을 출판한 후 15년 동안 컴퓨터 성능이 크게 향상되어 이와 관련된 교과서 내용을 현재 기준으로 최신화 하였다.

이 책을 펴냄에 있어서 본인은 우리나라의 공학 교육과 기술 향상에 다소라도 도움이 되기를 바라는 마음에서 천학비재(淺學菲才)를 무릅쓰고 힘을 써 보았으나 미비하고 부족한 점이 많을 것으로 생각된다. 앞으로 독자들의 기탄없는 지적을 받아 수정할 것을 약속하며, 이 책이 수치해법을 공부하는 학생들에게 조금이나마 도움이 된다면 큰 기쁨으로 생각하겠다.
끝으로 이 책의 원고를 수십 차례에 걸쳐 교정해준 본인 연구실의 대학원 학생들에게 감사하고, 이 책을 출판케 해준 도서출판 세화 사장께 진심으로 사의를 표하는 바이다. 아울러 이 책을 준비하는 동안 나에게 많은 격려를 해주고 본인의 분주함을 이해해준 나의 아내와 아이들에게 고마움을 표한다.

이관수

●chapter 1 컴퓨터와 오차

1.1 서론 1
1.2 수치해법의 필요성 2
1.3 물리현상의 수학적 모델링 6
1.4 소프트웨어의 개발과정 9
1.5 컴퓨터에서 수의 표현 11
1.5.1 이진법 11
1.5.2 부동소수점 표현 12
1.6 오차 16
1.6.1 정밀도와 정확도 16
1.6.2 절대오차와 상대오차 17
1.6.3 오차의 종류 20
1.7 오차의 전파 29
1.8 총수치오차 32
1.9 불확실성 해석 34
연습문제 40

●chapter 2 방정식의 근

2.1 서론 53
2.2 방정식의 해의 근방과 정확한 해의 결정 54
2.2.1 해의 근방을 찾는 과정 54
2.2.2 정확한 해를 구하는 과정 54
2.3 도식법 55
2.4 증가탐색법 56
2.5 이분법 57
2.6 선형보간법 61
2.7 고정점 반복법 67
2.7.1 오차해석 68
2.8 Newton법 70
2.8.1 오차해석 73
2.8.2 오차 정도 74
2.9 Secant법 76
2.9.1 수렴속도 77
2.9.2 다중근 79
2.10 Muller법 80
2.11 다항식에 대한 Bairstow법 83
2.12 연립 비선형 방정식 89
2.13 요약 93
2.14 응용문제 94
컴퓨터 프로그램 97
연습문제 100

●chapter 3 연립 선형 방정식

3.1 서론 113
3.2 행렬의 기본적 성질 115
3.2.1 행렬의 정의 115
3.2.2 대각선 지배성 118
3.2.3 행렬의 대수 연산 118
3.3 행렬식과 역행렬 121
3.4 연립 선형 방정식 123
3.5 Crammer의 공식 125
3.6 삼각 계수행렬을 갖는 연립 선형 방정식 126
3.7 직접법 128
3.7.1 Gauss소거법 128
3.7.2 Gauss-Jordan소거법 138
3.8 LU 분해법 140
3.9 삼대각행렬 형태를 갖는 연립 선형 방정식 145
3.10 Block삼대각행렬 형태의 연립 선형 방정식 148
3.11 반복법 155
3.11.1 Jacobi반복법 155
3.11.2 Gauss-Seidel법 158
3.12 행렬의 고유값과 고유벡터 162
3.12.1 멱승법 167
3.12.2 역멱승법 170
3.12.3 고유값의 이동 174
3.12.4 Hotelling수축법 178
3.12.5 Jacobi법 182
3.13 요약 193
3.14 응용문제 194
컴퓨터 프로그램 201
연습문제 208

●chapter 4 적합곡선

4.1 서론 219
4.2 다항식의 성질 220
4.3 Lagrange 보간다항식 224
4.4 보간다항식의 오차 226
4.5 차분표 229
4.5.1 분할차분 232
4.6 Newton의 보간다항식 234
4.6.1 Newton의 전진차분 보간다항식 238
4.6.2 Newton의 후진차분 보간다항식 241
4.7 다변수함수에 대한 보간 243
4.8 역보간법 246
4.9 Spline 보간법 248
4.10 최소자승법 255
4.10.1 직선에 대한 최소자승법 257
4.10.2 고차 다항식에 대한 최소자승법 260
4.10.3 비선형 관계식의 선형화 264
4.10.4 최소자승법에 대한 행렬공식 267
4.10.5 2변수 최소자승법 270
4.11 Fourier 근사 274
4.11.1 정현파 함수의 최소자승법 274
4.11.2 Fourier의 급수와 Fourier의 적분 278
4.11.3 이산 Fourier의 변환 282
4.11.4 고속 Fourier변환 287
4.12 요약 292
4.13 응용문제 292
컴퓨터 프로그램 298
연습문제 303

●chapter 5 수치 미분과 적분

5.1 서론 317
5.2 Newton의 차분 보간다항식을 이용한 미분 318
5.2.1 Newton의 전진차분 보간다항식에 의한 미분 319
5.2.2 Newton의 후진차분 보간다항식에 의한 미분 321
5.3 Taylor급수를 이용한 미분 325
5.3.1 균일 간격에서의 미분 325
5.3.2 비균일 간격에서의 미분 329
5.4 편도함수 331
5.5 Newton-Cotes의 적분공식 334
5.5.1 사다리꼴 법칙 335
5.5.2 Simpson의 1/3 법칙 338
5.5.3 Simpson의 3/8 법칙 341
5.6 Richardson의 보외법 344
5.7 적응적분법 347
5.8 Gauss구적법 350
5.9 이상적분 355
5.9.1 적분구간 끝에서 피적분함수가 정의되지 않는 경우 355
5.9.2 적분구간이 무한대인 경우 356
5.10 다중적분 358
5.11 요약 363
5.12 응용문제 363
컴퓨터 프로그램 369
연습문제 372

●chapter 6 초기치 문제

6.1 상미분방정식의 개론 381
6.1.1 상미분방정식의 일반적인 특징 382
6.1.2 상미분방정식의 수학적 및 물리적 분류 384
6.1.3 이산화 386
6.1.4 이산화방정식의 일치성 및 수렴성 387
6.1.5 수정미분방정식 389
6.2 초기치 문제의 개론 391
6.3 Taylor급수법 392
6.4 Euler법 395
6.5 수정 Euler법 402
6.6 Runge-Kutta법 405
6.6.1 2계 Runge-Kutta법 406
6.6.2 4계 Runge-Kutta법 408
6.6.3 Runge-Kutta법의 오차계산 410
6.6.4 Runge-Kutta Fehlberg법 411
6.7 다점법 415
6.7.1 Adams-Bashforth 법 416
6.7.2 Milne 법 418
6.7.3 Adams-Bashforth-Moulton 법 419
6.7.4 Adams-Bashforth-Moulton 법의 오차계산 420
6.8 연립 상미분방정식 426
6.9 고계 상미분방정식과 적분형 미분방정식 428
6.10 Stiff 상미분방정식 431
6.11 초기치 문제에 대한 수치해법 비교 436
6.12 응용문제 439
컴퓨터 프로그램 441
연습문제 444

●chapter 7 경계치 문제

7.1 서론 457
7.2 사격법 457
7.3 유한차분법 463
7.3.1 Dirichlet 경계조건 464
7.3.2 Neumann 경계조건 467
7.3.3 혼합 경계조건 472
7.3.4 무한경계에서 경계조건 473
7.4 고계 유한차분법 475
7.5 비선형 경계치 문제 478
7.5.1 반복법 478
7.5.2 Newton법 480
7.6 고유치 문제 483
7.7 사격법과 유한차분법의 비교 486
7.8 응용문제 487
컴퓨터 프로그램 495
연습문제 504

●chapter 8 타원형 편미분방정식

8.1 서론 513
8.2 편미분방정식의 수학적 분류 513
8.3 타원형 편미분방정식의 유한차분법 522
8.3.1 유한차분방정식 522
8.3.2 해법 526
8.3.3 경계조건 533
8.3.4 비균일 격자계 534
8.4 곡면경계 545
8.5 비선형 방정식 551
8.5.1 반복법 551
8.5.2 Newton의 반복선형화 552
8.6 응용문제 557
컴퓨터 프로그램 561
연습문제 570

●chapter 9 포물선형 편미분방정식

9.1 서론 579
9.2 격자계 및 차분식 582
9.3 FTCS법 584
9.3.1 이산화오차 586
9.3.2 안정성 해석 587
9.3.3 기타 양함수법 590
9.4 BTCS법 596
9.4.1 이산화오차 599
9.4.2 안정성 해석 599
9.5 Hopscotch 법 603
9.6 Crank-Nicolson법 607
9.7 고정도차분법 612
9.7.1 다점양함수법 613
9.7.2 다점 Crank-Nicolson 법 617
9.8 다차원 문제 624
9.8.1 ADI 법 626
9.8.2 근사 인수분해법 627
9.8.3 ADE 법 629
9.9 응용문제 639
컴퓨터 프로그램 643
연습문제 647

●chapter 10 쌍곡선형 편미분방정식

10.1 서론 655
10.2 유한차분화 657
10.2.1 기본적인 양함수 및 음함수법 658
10.2.2 1계 상류도식 660
10.2.3 Lax 법 661
10.2.4 leapfrog 법 662
10.2.5 Lax-Wendroff의 1단계법 663
10.3 다단계법 673
10.3.1 Lax-Wendroff 2단계법(Ritchtmyer법) 674
10.3.2 MacCormack 법 675
10.3.3 2계 상류도식 677
10.4 비선형 문제 677
10.4.1 Lax 법 678
10.4.2 Lax-Wendroff 법 679
10.4.3 MacCormack 법 680
10.4.4 Beam과 Warming 법 681
10.5 선형감쇠 686
10.6 응용문제 695
컴퓨터 프로그램 698
연습문제 701

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