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2023년 미국수학협회 ‘오일러 북 프라이즈’ 수상작!
『이상한 수학책』 저자 벤 올린 추천!

『다정한 수학책』은 재미있고 흥미로운 수학 이야기와 엉뚱하고 유쾌한 스케치를 통해 내면의 수학적 사고를 깨우고 삶의 교훈을 얻을 수 있는 책이다. 수전 다고스티노는 고등학교 때 미적분 시험을 망치고 10년 동안 수학을 포기했다가, 스스로의 마음속에 수학에 대한 열망이 있다는 것을 깨닫고 다시 대학으로 돌아가 수학 박사 학위를 받았다. 수학에서 멀어졌다가 돌고 돌아 다시 수학과 함께하게 된 경험을 통해, 저자는 누구나 수학을 사랑할 수 있고 수학적 사고 능력을 내면에 갖추고 있다는 것을 깨달았다. 프랙털 구조, 대칭, 퍼지 논리, 매듭 이론, 펜로즈 패턴, 쌍둥이 소수, 페르마의 마지막 정리, 위상 수학, 게임 이론 등 저자가 직접 그린 300개의 스케치와 함께 재미있고 기발한 수학 이야기를 듣다 보면 누구나 내면에 잠자고 있던 수학자가 깨어나는 순간을 경험할 수 있을 것이다.

“우리 모두 수학을 사랑하던 때가 있었다.”
자상한 수학 선생님의 엉뚱하고 유쾌한 스케치와 함께하는
인생과 수학의 교집합을 찾아 떠나는 수학 여행

○ 종이를 접어서 달에 닿을 수 있을까?
○ 런던 사람들 중에 머리카락 개수가 정확히 같은 사람이 있을까?
○ 털북숭이 공을 완벽하게 빗는 방법이 존재할까?
○ 자신이 미로 안에 있는지 밖에 있는지 판별하는 방법은 무엇일까?
○ 바이러스는 왜 기하학적인 모양을 가지고 있을까?

"고등학교 때 미적분 시험을 망친 뒤로 나는 수학을 버렸다." 사람들은 수학을 사랑하든 수학을 미워하든지 간에 수학에 강렬한 감정을 품고 있다. 그리고 수학을 미워하는 이들은 대부분 수학을 미워하게 된 어떤 계기를 기억하기 마련이다. 수학 시험에서 나쁜 점수를 받거나, 수학 선생님에게 혼나거나, 지루한 수학 수업을 경험하거나 말이다. 『다정한 수학책』의 저자 수전 다고스티노 또한 고등학교 때 수학 시험을 망친 이후로 더 이상 자신의 인생에 수학이 끼어들 자리는 없다고 생각했었다.
대학교에서 인류학과 영화를 전공하고 졸업 이후에도 수학과 관련 없는 삶을 살던 다고스티노는 스스로의 마음속에 수학에 대한 열망이 있다는 것을 깨닫고, 다시 대학으로 돌아가 수학을 공부해 박사 학위를 받았다. 자신의 경험을 살려 학생들에게 수학을 가르치고 수학 교육 정책에 관해 주 정부에 조언을 하기도 했던 그녀는 수학을 주제로 다양한 사람들을 인터뷰하면서 누구도 태어날 때부터 수학을 싫어하지 않는다는 사실을 깨닫고 이 책을 쓰게 되었다.

“이 책은 단 한 번의 실패로더는 수학을 잘하게 되는 날은 없으리라고
잘못 생각해버린 어린 시절의 나에게 주고 싶은 책이다.”

『다정한 수학책』은 재미있고 흥미로운 수학 이야기와 엉뚱하고 유쾌한 스케치를 통해 내면의 수학적 사고를 깨우고 삶의 교훈을 얻을 수 있는 책이다. 저자는 누구나 수학을 사랑할 수 있고, 수학적 사고 능력을 내면에 갖추고 있다고 말한다. 사람들은 단지 “직접 수학을 고민하고 그것에 귀를 기울이고 매혹되어 볼 기회”가 없었기에 이를 깨닫지 못하고 있는 것이다. 이 책은 우리 내면에서 잠자고 있던 수학자를 깨우고 대화를 나눌 수 있는 기회를 마련하는 책이다.
이 책에서 저자는 프랙털 구조, 대칭, 퍼지 논리, 매듭 이론, 펜로즈 패턴, 쌍둥이 소수, 무한, 페르마의 마지막 정리 등 다양한 수학 주제를 쉽고 친절한 어투와 300개가 넘는 스케치를 통해 설명한다. 종이를 접어서 달에 닿을 수 있을까? 서울 사람들 중에 머리카락 개수가 정확히 같은 사람이 있을까? 털북숭이 공을 빗는 완벽한 방법이란 무엇일까? 자신이 미로 안에 있는지 밖에 있는지 판별하는 방법은 무엇일까? 학교에서는 절대 배울 수 없는 ‘수학 너머에 있는 수학적 생각’들은 수학이란 그저 계산하고 공식을 암기하는 학문이라고 생각하는 독자들에게 수학의 아름다움과 재미를 알려준다.

“수학 책을 읽는 과정은 소설책이나 신문을 읽는 과정과는 다르다.
수학 책은 천천히 읽어야 하고, 잠시 멈춰 생각해보다가
다시 읽는 과정을 반복해야 한다.”

『다정한 수학책』은 수학에서 한 때 멀어졌다가 돌고 돌아 다시 수학과 함께하게 된 경험을 통해 저자가 수학을 통해 깨달은 인생의 의미에 대해서도 말한다. 독자들은 이 책을 읽으면서 답이 있는 문제에 고마워하고, 변화를 받아들이고, 나만의 속도로 걷고, 관점을 바꾸고, 비교를 거부하고, 신념을 가지고, 더 자주 실패하고, 아름다움을 찾고, 상상력을 기르고, 성공의 의미를 직접 정의해볼 수 있을 것이다.
『다정한 수학책』은 3부 46장으로 구성되어 있으며, 각 장은 하나의 수학 개념을 다루고 있는 독립적인 장이기 때문에 순서대로 읽지 않아도 된다. 1부, 2부, 3부 순으로 난이도가 어려워지며, 1부에서는 비교적 친숙한 사건과 수학 개념을 다루다가, 3부에서는 추상적인 개념을 다룬다. 저자가 직접 그린 300점 가량의 우스꽝스럽지만 귀여운 스케치가 독자들의 이해를 돕는다. 각 장의 마지막에는 연습문제가 있다.
이 책을 읽는 독자들은 수학의 영역을 넘어 삶에도 적용할 수 있는 교훈을 얻게 될 것이다. 그것이 바로 다시 수학으로의 여행을 시작할 방법, 삶에서 수학을 재건할 방법이며, 내면의 수학자가 자유롭게 풀려나 재능을 발휘할 수 있게 해줄 방법이다.

벤 올린(Ben Orlin)(『이상한 수학책』 저자)
“이 책은 마치 수학을 사랑하는 현명한 친구가 보낸 감동적인 엽서들과 같다. 흥미로운 수학 이야기를 담은 엽서들은 그녀의 여행에 당신도 동참하라고 초대하고 있다.”

조지프 J. 헬블(Joseph J. Helble)(다트머스 대학교 학장)
“다고스티노의 책은 주변 세상에 호기심이 많은 학생을 위한 훌륭한 시작점이자, 아이를 돕고자 하는 부모를 위한 근사한 참고서다. 수학을 돌아보고 싶은 현직 기술자를 위한 복습서이자, ‘지식을 보강하고 개선하고 싶은’ 모든 독자를 위한 책이다. 수학은 우아한 방법으로 세상을 이해하게 해주며, 성공은 보는 사람의 관점에 달려 있음을 이 책은 강조한다.”

리언 보츠타인(Leon Botstein)(바드 대학교 학장)
“수학은 삶의 아름다움과 매혹적인 면을 제대로 보여주는, 열심히 배우고 탐구해야 할 중요한 학문이다. 그러나 학교는 수학을 제대로 가르치지 못하고 있으며 어른들에게 수학의 경이로움을 탐구하고자 하는 호기심을 심어주는 데도 실패했다. 다고스티노의 이 우아한 책은 적당히 타협하지 않으면서도 매력적이고 명석하게, 우아하면서도 재치 있게 수학에 활기를 불어넣어 쉽게 전달해준다. 학생들뿐 아니라 어른들도 반드시 읽어야 할 책이다. 독자들은 읽는 내내 웃으며 저자에게 고마워하리라.”

크리스토프 골(Christophe Gole)(스미스 대학교 수학통계학과 학과장)
“실생활과 수학을 연결하되 너무 빠르지도 느리지도 않게 독자들을 이끈다. 이 유쾌한 책을 통해 거의 모든 사람이 수학이라는 귀중한 보물을 이해할 수 있을 것이다. 책 속에 녹아든 다고스티노의 개성이 지혜, 재미, 유익함을 고루 보장한다는 점이 가장 특별하다.”

들어가는 글

1부 몸을 위한 수학

1장 일상을 흐트러뜨리자: 소수 주기
2장 뻗을 수 있는 쪽으로 자라나자: 보로노이 다이어그램
3장 논리적으로 추론하자: 종이를 접어 달에 닿기
4장 성공의 기준을 스스로 세우자: 애로의 불가능성 정리
5장 별에 닿아보자: 나사의 수학자 캐서린 존슨
6장 알맞은 짝을 찾자: 컴퓨터와 이진수
7장 자연스럽게 행동하자: 벤포드의 법칙
8장 비교를 거부하자: 카오스이론
9장 일상 속에서 수학을 찾아보자: 고대의 수학자 아르키메데스
10장 천천히 걸으면서 생각해보자: 쾨니히스베르크의 다리
11장 꼬인 문제를 풀자: 매듭이론
12장 모든 사항을 고려하자: 두 점을 잇는 가장 짧은 길
13장 아름다움을 찾아보자: 피보나치수열
14장 분할하고 정복하자: 미적분의 리만 합
15장 변화를 받아들이자: 비유클리드 기하학
16장 쉽게 접근하자: 비둘기 집의 원리
17장 구체적으로 추측하자: 케플러의 구 쌓기 추측
18장 나만의 속도를 찾자: 종단 속도
19장 세부 사항에 주목하자: 회전 타원체 지구
20장 수학 모임에 가입하자: 힐베르트의 스물세 문제

2부 마음을 위한 수학

21장 마음이 맞는 친구를 찾아보자: 쌍둥이 소수 추측
22장 완벽할 필요는 없다: 털북숭이 공 정리(고슴도치 정리)
23장 목표를 추구하는 과정을 즐기자: 페르마의 마지막 정리를 증명한 앤드루 와일스
24장 나만의 패턴을 만들어보자: 펜로즈 패턴
25장 가능하면 단순하게 바꿔라: 0.999…=1
26장 관점을 바꿔보자: 비비아니의 정리
27장 탐험하자: 뫼비우스의 띠
28장 반론을 제기하자: 소수는 무한하다
29장 되도록 협력하자: 게임 이론
30장 사람들이 가지 않은 길을 찾아보자: 조르당 곡선 정리
31장 탐구하라: 황금 사각형
32장 느려도 꾸준히 나아가자: 조화급수
33장 효율적으로 일하자: 정이십면체 대칭인 박테리오파지
34장 균형을 찾자: 부호 이론
35장 그림을 그려보자: 다양한 방식으로 생각하기
36장 미묘한 차이를 감지하자: 퍼지 논리
37장 답이 있는 문제에 고마워하자: 브라우어르의 부동점 정리
38장 이해한 것을 계속 업데이트하자: 베이즈 통계
39장 열린 마음을 유지하자: 허수
40장 과정을 음미하자: 랜덤 워크
41장 실패를 두려워 말자: 아인슈타인의 E=mc2

3부 영혼을 위한 수학

42장 방향 감각을 잃어보자: 클라인 병
43장 경험의 영역을 벗어나라: 초입방체
44장 호기심을 쫓아가자: 공간을 가득 채운 곡선
45장 상상력을 길러보자: 분수 차원
46장 신중하자: 다른 무한보다 더 큰 무한

결론
감사의 글
해답
참고문헌
찾아보기

고백을 하나 해야겠다. 고등학교 때 미적분 시험을 망친 뒤로 나는 수학을 버렸다. 수학에 관한 한 나의 전성기는 지나버렸다고 생각했기 때문이다. 대학교에서는 인류학과 영화를 공부했고, 뉴욕 허드슨 강 계곡에 있는 젖소 농장에서 일했다. (여름 방학에도 수학 관련 인턴일은 신청할 생각조차 하지 않았다.) 대학을 졸업한 뒤에는 모교에 진학하고자 하는 학생들을 상담해주려고 북아메리카 대륙과 남아메리카대륙을 구석구석 돌아다녔다. 그 후 닭이 4만 2000마리나 있는 농장에 자리 잡고 지냈는데 주로 아시람(힌두교 수도원)에 머물면서 인도철학과 요가를 공부했다. 그런 생활을 하면서도 나에게는 한 가지 비밀이 있었다. 수학을 조금 더 배우고 싶다는 바람이 점점 더 커지고 있다는 것이었다. (7쪽)

어떤 사람은 어린 시절의 나처럼 단 한 번 수학 시험에 실패했기 때문에 수학을 떠났다. 친구나 부모님, 과외 교사나 선생님의 ‘너는 수학에 소질이 없어’라는 가혹한 한마디가 수학의 영토에서 떠나라는 해고 통지서처럼 날아와 수학을 포기한 사람들도 있었다. 수학의 개념을 제대로 설명해주지 않은 수학 선생님 때문에 지금도, 그리고 앞으로도 수학을 제대로 할 수 없으리라 생각하고 수학을 놓아버렸다는 사람들도 있었다. 어떤 이유로 수학을 싫어하게 됐건 수학을 싫어하는 사람들은 거의 모두 이런 말을 덧붙였다. “늘 수학을 잘하는 사람이 부러웠어요. 언제나 나도 수학을 잘하면 좋겠다는 생각을 했어요.” (10쪽)

살아가려면 어쩔 수 없이 고난을 극복해야 한다는 사실을 알고 있는 매미는 자신의 일정을 포식자의 일정과 엇갈리게 하는 방법으로 고난을 극복한다. 생애 주기를 값이 큰 소수로 고정해서 포식자와 마주치는 경우를 줄이고, 기나긴 겨울잠에서 깨어날 때마다 다른 포식자를 만날 수 있게 한 것이다.
매미의 생애 주기는 우리에게 수학을 공부하는 방법을 알려주는지도 모른다. 정해진 일상에 예외를 만들어 수학을 공부해보면 어떨까. 불쑥 도서관에 가보기도 하고 자유로운 수학 토론 모임, 아니면 조금 엄격한 수학 공부 모임에 나가보는 것이다. (26쪽)

만약 나무가 좌절한다면, 다른 나무의 가지 때문에, 건물 벽 때문에, 지나가는 트럭 때문에, 거실 벽 때문에 더는 자랄 수 없다는 사실을 깨닫는 순간 성장을 멈출지도 모른다. 하지만 나무는 좌절하지 않는다. 나무는 장애가 있어도 성장할 수 있다는 사실에만 기쁘게 집중한다. 가지를 뻗을 수 없는 방향으로 자라는 건 그만두고 자랄 수 있는 방향으로만 계속 가지를 뻗어나간다.
나무가 성장하면서 가지를 뻗는 방식은 보로노이 다이어그램(Voronoi diagram)을 이용하면 수학적으로 설명할 수 있다. 보로노이 다이어그램이란 2차원 평면을 ‘특정 지점’을 둘러싼 ‘다각형’으로 나눈 도형이다. 직선으로 이루어진 이 다각형은 내각이 모두 180도보다 작다. 이런 다각형을 볼록 다각형이라고 한다. 다각형의 특정 지점은 점으로 표시한다. (29쪽)

수학계에서 흔히 하는 오래된 농담이 있다. 바로 이 세상에는 10종류의 사람이 있다는 농담이다. 이진수를 이해하는 사람과 이해하지 못하는 사람이 바로 그 10종류의 사람들이다. 이 농담은 정말로 이진법을 아는 사람만이 웃을 수 있다. 10을 십진수인 10이 아니라 이진수인 ‘1-0’으로 이해하면 이 농담의 의미를 알 수 있기 때문이다. 앞에서 우리는 전구법을 살펴보았다. 그 전구법을 이용해 이진법으로 쓰인 10을 십진법으로 고치면 2가 된다.
그러니까 이 농담을 십진수로 고치면 ‘이 세상에는 2종류의 사람이 있다. 이진법을 이해하는 사람과 이진법을 이해하지 못하는 사람이다’가 된다. 농담인데 전혀 농담 같지 않게 되는 것이다. (63쪽)

그렇다면 보스턴과 옥스퍼드를 잇는 가장 짧은 경로는 어떻게 찾을 수 있을까? 가장 직선에 가까운 경로를 찾으면 된다. 그렇다면 가장 직선에 가까운 경로는 어떻게 찾을 수 있을까? 보스턴과 옥스퍼드를 포함하는 가장 큰 원(대원)의 호를 찾으면 된다. 두 도시를 잇는 ‘직선에 가장 가까운 경로’는 직선으로 두 도시를 연결하는 지하 터널과 가장 가까운 형태일 것이다.
지구 위에 있는 두 도시를 잇는 가장 짧은 길을 찾아야 할 때처럼, 수학을 공부하거나 인생을 살아가는 동안에 만나는 문제를 이해하는경로는 직선이 아닐 수도 있다. 보스턴과 옥스퍼드를 잇는 직선 지하터널이 없다고 해도, 모든 선택 사항을 고려하면 분명히 해결 방법을 찾아낼 수 있을 것이다. (102쪽)

낙하하는 물체는 모두 공기의 저항력과 물체를 끌어당기는 중력이 같아지는 순간이 있다. 그 순간까지 물체의 속도는 점차 증가하다가, 이 순간부터 더는 증가하지 않는다. 물체가 일정한 속도를 유지하며 낙하하는 속도를 ‘종단 속도(terminal velocity)’라고 한다. 종단 속도는 물체마다 다르다. 물체가 낙하하면서 주변 공기에 가하는 힘은 물체의 질량에 따라 달라진다. 물체의 저항력을 결정하는 건 물체의 표면적이다. 물체의 표면적이 클수록 물체의 저항력이 커진다. 낙하하는 사람이 낙하산을 펴면 저항력이 커져서 종단 속도가 줄어든다.
수학을 공부할 때나 인생을 살아갈 때 어떤 속도로 걸어야 할지 모르겠다면 낙하하는 물체를 생각해보자. 당신은 친구들과는 다른 속도로 앞으로 나아가면서 ‘저항’을 받을 것이다. 그러니까 자기 속도대로 나가야 한다. 앞으로 나가는 힘과 저항하는 힘이 균형을 이루는 자신만의 종단 속도를 찾자. (129쪽)