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39가지 실시간 렌더링 게임 프로그래밍 실습 예제를 하나씩 따라 해보며 독자가 직접 체득하는 흥미로운 게임 수학의 세계!
게임 개발자와 그래픽 아티스트들이 궁금해 했던 3D 가상 세계와 메타버스 구현을 위한 수학적 원리와 응용 기법!
취업과 이직을 원하는 개발자와 아티스트가 꼭 알아야 할 게임 수학의 모든 것!

초급자들에게는 선형대수학의 기초를 친절히 설명하고 중급자들에게는 3차원 공간과캐릭터를 제작하는 데 필요한 게임 수학의 원리와 그 응용 방법을 제시하는 책이다.이 책에서는 이론을 설명하는 것에 그치지 않고, 단계별로 제공되는 39가지의 예제를 실습해직접 게임 엔진을 만들어보면서 게임 엔진의 기본 원리와 구성을 배울 수 있다.

|이책에서다루는내용|
-점부터 캐릭터 애니메이션까지,메타버스 콘텐츠 제작을 위한 39가지 예제 구성
-게임 엔진을 구성하는 벡터 수학과 동작 원리에 대한 충실한 설명
-게임 엔진 제작에 꼭 필요한 수학만 발췌한 효율적인 구성
-수학을 공부한 지 오래된 개발자도 처음부터 시작할 수 있는 기초 제공
-단계별로 제공되는 39가지 예제를 실습하면서 익히는 실용적인 2D, 3D 개발 기술
-최적화된 3D 가상 공간을 구축하는 데 사용되는 고급 기법
-프로그래밍 능력을 한 단계 높이기 위한 사원수 등의 고급 수학 이론 정리

|이책의대상독자|
-유저가 자유롭게 조종할 수 있는 3차원 가상 세계를 직접 만들고 싶은 개발자
-게임 엔진을 직접 만들어보고 싶은 게임 개발자
- 벡터를 화면에 시각화하는 원리가 궁금한 테크니컬 아티스트
- 벡터, 행렬로 구성된 선형대수학의 기초를 배우고 싶은 학생이나 개발자, 아티스트
- 3차원 그래픽과 관련된 기초 이론을 배우고 싶은 학생이나 개발자, 아티스트
- 게임 엔진이 사용하는 사원수 체계와 그 구현 방법이 궁금한 게임 개발자

|이책의구성|
이 책은 수학의 기초 지식을 배우거나 다시 정리하고 싶은 이들, 혹은 수학을 중도포기한 경험이 있는 게임 개발자와 그래픽 디자이너들을 위해 집필했다. 주된 내용은 선형대수학으로 분류할 수 있겠으나, 그중에서도 컴퓨터 그래픽스에 특화된 선형대수학이라고 할 수 있겠다. 이 책은 총 4개 부로 구성되어 있고, 1부에서 시작해 점점 완성도를 높여나가 4부에서 마무리하도록 순차적으로 구성됐다.

이 책의 서막을 여는 1장 ‘메타버스를 지탱하는 게임 수학’에서는 메타버스로 더욱 발전하게 될 인터넷 세상에서 게임 수학이 왜 필요한지에 대한 이야기를 풀어봤다.
1부 ‘가상 세계의 구축’에서는 수의 질서로부터 만들어지는 가상 공간의 구조와, 가상 공간에서의 변환의 개념을 이해해 원하는 대로 공간의 질서를 바꾸는 방법을 다룬다.
2장 ‘수: 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위’에서는 증명할 필요가 없는 자명한 명제인 공리로부터 수의 구조를 정의하고 함수의 기초 개념과 연산에 대해 배워본다. 이어 3장 ‘벡터: 가상 공간의 탄생’에서는 벡터 공간을 정의하고 2차원 벡터 공간을 배경으로 연산과 여러 개념을 학습해 가상 세계를 구성하는 기초 이론을 다진다. 4장 ‘삼각함수: 회전을 위한 수학’에서는 벡터 공간의 회전 변환을 위해 필수적으로 알아야 하는 삼각함수를 알아본다. 1부의 마지막 5장 ‘행렬: 가상 세계의 변환 도구’에서는 선형 변환의 개념을 정립하고 행렬을 활용해 벡터 공간의 변환을 학습하는 것으로 마무리한다.

2부 ‘콘텐츠 제작 기초’에서는 1부에서 정리한 수학 이론을 바탕으로 콘텐츠를 담는 공간인 아핀 공간을 정의하고 아핀 공간에서 2차원 게임을 만드는 데 필요한 구현 방법을 살펴본다. 6장 ‘아핀 공간: 움직이는 가상 세계의 구축’에서는 선형 변환의 형태로 이동, 회전, 크기 변환을 지원하는 아핀 공간과 그 구성 요소를 살펴본다. 아핀 공간에서 정의한 점들이 모여 선을 이루는데, 컴퓨터에서 선을 효과적으로 그리는 알고리즘도 함께 소개한다. 7장 ‘내적: 벡터 공간의 분석과 응용’에서는 벡터 공간을 분석하고 다양한 상황에 적용할 수 있는 연산인 내적과 그 응용 방법을 배워본다. 이와 같이 6장과 7장에서 콘텐츠 제작에 필요한 수학적 기반을 확립한 후, 8장 ‘삼각형: 물체를 구성하는 가장 작은 단위’부터는 수학으로 정의한 삼각형을 토대로 가상 공간의 사물을 형성하는 방법을 다룬다. 이어지는 9장 ‘게임 엔진: 콘텐츠를 만드는 기술’에서는 다양한 사물을 한 공간에 모으고 카메라를 관리하는 게임 엔진의 구조와 실시간으로 콘텐츠를 그려내기 위한 워크플로우를 소개한다.

3부 ‘3차원 콘텐츠 제작’에서는 2부에서 다룬 2차원 게임 엔진 구조를 3차원으로 확장시키는 내용을 담았다. 10장 ‘3차원 공간: 입체 공간의 생성’에서는 3차원 공간을 설계하는 방법과 3차원 공간에서 회전 변환과 카메라 변환을 구현하기 위한 방법과 고려할 사항을 알아본다. 3차원 공간을 분석하고 응용하는 연산인 외적을 학습하는 11장 ‘외적: 3차원 공간의 분석과 응용’에서는, 7장에서 배운 내적과 함께 응용해 3차원 공간에서 활용할 수 있는 다양한 응용 방법을 살펴본다. 12장 ‘원근 투영: 화면에 현실감을 부여하는 변환’에서는 3차원 콘텐츠를 표현할 때 필수적으로 적용해야 할 원근감을 구현하는 방법과 이로 인해 발생하는 새로운 문제와 대처 방법을 배운다. 그리고 3부의 마지막 13장 ‘절두체: 최적화된 3차원 공간’에서는 평면의 방정식을 소개하고 다수의 평면을 조합해 절두체라는 닫힌 공간을 수학적으로 정의한 후 이를 활용해 시야에 보이는 물체만 그려내는 기법을 다루면서 3차원 게임 엔진을 마무리한다.

4부 ‘4차원 수학과 캐릭터’에서는 3부에서 제작한 3차원 게임 엔진에서 회전 변환을 안정적으로 구현하기 위한 수학과 캐릭터를 제작하는 방법을 다룬다.
3차원 공간에서의 변환이 깔끔하게 동작하기 위해서는 4차원 공간의 수인 사원수를 활용해 회전 변환을 설계해야 한다. 사원수는 대학교 선형 대수나 공업 수학에서도 다루지 않는 생소한 주제다 보니, 이를 제대로 학습하기 위한 교재나 자료가 충분하지 않다. 이 책에서는 밑바닥에서 사원수를 올바르게 이해할 수 있는 선행 내용으로서 14장 ‘복소수: 2차원 평면의 수’에서는 복소수, 15장 ‘오일러 공식: 허수로 표현하는 회전 변환’에서는 오일러 공식을 다룬다. 이를 기반으로 16장 ‘사원수: 4차원 수로 설계한 3차원 회전’에서는 사원수의 구조를 설명한 후, 실제 게임 엔진에 적용할 때 필요한 응용 방법을 총정리해서 3차원 게임 엔진의 기본 기능을 완성하도록 구성했다. 마지막으로, 이 책의 대단원인 17장 ‘캐릭터: 게임에 생기를 불어넣는 기술’에서는 게임 엔진에 계층 구조를 구현하는 방법을 다루는데, 이러한 계층 구조를 활용해 가상 공간에서 움직이는 캐릭터를 제작할 수 있도록 그 응용 방법을 알아본다.

|이책을활용하기위한개발환경|
수학을 기반으로 렌더링의 모든 과정을 직접 체험하고 배울 수 있도록 그래픽카드 GPU를 활용하지 않고 CPU 프로그래밍에서 모든 것을 다 제작하도록 교안을 설계했다. 이렇게 GPU를 사용하지 않고 컴퓨터 그래픽을 구현하는 프로그램을 보통 소프트렌더러(Soft renderer)라 부르는데, 예제의 이름은 내가 재직 중인 학교 이름을 따서 CK소프트렌더러로 지었다. CK소프트렌더러는 CPU만으로 동작하다 보니 현업 실무에서 사용하기에는 적합하지 않지만, 렌더링의 모든 과정을 직접 구현해볼 수 있기 때문에 유용한 학습 교재라고 할 수 있다.
렌더링 속도를 향상시키기 위해 다소 진입 장벽이 높은 C++ 언어를 사용했고, 윈도우 10 운영체제상의 비주얼 스튜디오 2022와 2019를 기준으로 예제를 제작했다. 예제를 실습하기 위해서는 기본적으로 C++ 프로그래밍 능력이 필요하지만, 혹여 독자가 C++ 프로그래밍을 몰라도 결과를 확인할 수 있도록 완성된 예제도 함께 제공한다. 또한 다음 페이지에서는 이 책의 실습 예제를 실행한 전체 예제의 결과 화면을 한눈에 볼 수 있다. 혹시 프로그래밍을 잘 몰라도 게임 제작에 수학이 어떻게 활용되는지 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

〈실습 예제 결과 화면 미리보기〉
- https://bit.ly/math4game

| 예제 코드 다운로드|
이 책의 특징은 최종 예제를 만들어가는 중간 과정을 모두 정리해 예제로 제공한다는 점이다. 점을 찍는 것에서부터 출발해 2차원 게임 엔진을 제작하고, 3차원 게임 엔진으로 확장하고 캐릭터를 만들어나가는 순서대로 총 39개의 예제를 제공한다. 이 책의 예제 프로그램 CK소프트렌더러는 이 책의 깃허브에서내려받을 수 있다. 깃허브에 접속하면 17장까지 모두 진행한 최종 완성 예제를 내려받아 실행할 수 있다.
- https://github.com/onlybooks/gamemath

[추천의 글]
좋은 개발자로서 갖춰야 할 역량이란 게 무척이나 다양하겠지만 최근 들어 급부상한 인공지능과 머신러닝, 그리고 메타버스와 같은 흐름 속에서는 필수적으로 두 가지를 갖춰야 한다고 생각합니다. 바로 알고리즘과 수학입니다. 이 두 가지 바탕이 탄탄하지 않으면 그 위에 어떤 경험을 통해 무엇을 쌓아올려도 깊이감이 없는, 그리고 적응력이 떨어지는 인재가 될 수밖에 없습니다. 헌데 매우 개인적인 경험입니다만, 이 두 가지는 막상 필요해질 때 배우려고 하면 원하는 수준까지 끌어올리기가 매우 어려운 것 같습니다. 정규 교과 과정에 포함되어 있어 억지로라도 열심히 해야 할 때는 어떻게든 머리에 넣기 위해 꾸준히 노력을 하게 되는데, 정작 본업에서 필요한 시점에는 그처럼 열심히 공부하기가 쉽지 않았습니다. 아마도 “이게 내가 지금 하는 일과 무슨 관계가 있을까?”라는 의심이 끊이지 않기 때문일 것입니다.
이 책은 그런 의문에 대해 각 단계마다 예제를 통해, 자신이 하고자 하는 일과 무슨 관계가 있는지 답을 제공함으로써 컴퓨터 그래픽스와 게임 분야에 필요한 수학을 부단히 학습할 수 있게 도와줍니다. 부디 많은 분이 이 책을 통해 자신의 학업이나 업무에 필요한 수학의 기반을 이번에는 확실히 다져나갈 수 있길 기원합니다.
- 김동현 / 넷마블 AI/DX 담당 전무

게임 수학은 한마디로 정의되기 상당히 어려운 단어입니다. 실상은 컴퓨터 그래픽스와 관련된 내용이 상당 부분 포함되어 있지만, 여기서 다루는 그래픽스 유관 분야들이 수학에 있어서 매우 깊이 있는 토대를 필요로 하기 때문입니다. 선형대수의 행렬과 벡터는 물론이거니와, 복소수, 공간도형, 미분과 적분 등의 다양한 수학적 지식을 도구로 사용해야 하기 때문입니다. 그 바탕에는 수 체계에 대한 이해와 이를 정의하기 위한 집합론 그리고 수열, 극한 등의 방대한 수학적 밑바탕 또한 필요로 합니다. 과거 게임 개발자가 되기 위해서는 이 모든 분야에 대해서 각 분야별로 별도의 교재를 통해 공부해야만 했습니다.
이번 이득우 교수님의 책을 미리 읽어보면서 가장 감탄한 것이 이 부분이었습니다. 과거의 모든 게임 개발자들이 겪어야 했던 수많은 시행착오를 하나의 교재로 집대성했기 때문입니다. 저 역시 학생들에게 게임 수학을 가르치는 입장에서 이 책은 반드시 장서 목록에 갖춰야 하는 필독서로 추천하고 싶습니다. 특히 상용 엔진 사용이 일반화된 현 개발 환경에서 수학적 기초는 향후 오랜 시간 개발자로서 존속하는 데 필수요소라 생각합니다. 현역 개발자들에게도 자신의 미진했던 부분을 보완할 수 있는 든든한 자양분이 될 것이라 확신합니다. 이와 같이 좋은 책을 집필하고 세상에 펴내주신 이득우 교수님에게 진심으로 감사의 말씀을 전하며 모두에게 일독(一讀)을 권합니다.
- 김용준 / 엠게임 Project-X 개발팀 PM

선형대수, 공업수학, 컴퓨터 그래픽스를 동시에 배울 수 있는 책. 직선 하나로 시작하지만 책 마지막에 이르면 사원수를 직접 구현한 게임 엔진을 만나게 될 것이다. 이 모든 것을 다룸에 있어서, 간단한 삼각형을 출력하는 것으로 시작해서 3차원 공간에 텍스처 매핑이 된 물체를 렌더링하는 방법까지 구체적으로 설명한다. 대단원인 마지막 17장의 스켈레탈 애니메이션의 구현 방법은 이 책을 끝까지 읽은 사람들을 위한 선물이다.
행렬과 벡터를 다시 공부하고 싶은 사람, 나만의 게임 엔진을 만들고 싶은 사람에게 강력 추천한다. 이 책의 설명은 간결하고 쉬우나, 담고 있는 내용은 결코 가볍지 않다.
- 김종원 / NCSOFT 게임 테스트자동화 팀장

이 책의 추천글을 의뢰받고 집에서 원고를 살펴보던 중 초등학교에 다니는 첫째 아들이 관심을 보였다. 아버지의 영향을 받아서 그런지 장래 희망이 게임 프로그래머인 녀석이다. 수학에 소질은 있어 보이는데, 문제는 유튜브나 게임에 빠져 공부를 매우 지루해 한다. 그토록 재미있는 게임이 그렇게 지루해 보이는 수학으로 만들어진다는 사실이 의외로 느껴지는 모양이다. “이 녀석아, 네가 나중에 훌륭한 게임 프로그래머가 되고 싶다면 수학 공부를 열심히 해야 한다고!”
나날이 발전하고 있는 게임 엔진이 밑바닥에 깔린 수학적 처리를 알아서 해 주기 때문에, 이런 수학적 기초가 부족해도 게임 프로그래머가 될 수는 있다. 하지만, 나는 아들이 게임 프로그래머가 되겠다면 반드시 수학적 기초를 쌓기를 권할 것이다. 게임 강국임에도 불구하고 그동안 우리나라에서는 수학 이론이 게임에 어떻게 활용되는지 구체적으로 다룬 책을 보기 힘들었다. 대학에서 항상 진취적으로 연구 개발 활동을 해 오시던 이득우 교수님께서 또 한 번 국내 게임 업계에 의미 있는 공헌을 하신 것 같다.

무엇보다도 3D 게임이 시각적으로 형상화되는 각각의 단계에 수학 이론이 어떻게 적용되고 있는지 실습을 통해서 차근차근 체험할 수 있도록 구성된 점이 돋보인다. 게임 프로그래머뿐만 아니라 3D 게임이 어떻게 만들어지고 움직이는지 이해하고 싶은 일반 유저들과 기획자, 디자이너들에게도 추천한다. 물론 우리 아들에게도 고등학생이 되면 꼭 읽어보라고 권할 것이다.
- 박기성 / 컴투스 제작5본부 본부장 겸 이사

게임 개발을 오래 했지만, 주로 콘텐츠 프로그래밍을 하다 보니 수학이 꼭 필요하진 않았다. 그래도 마음 한편에는 아쉬움이 남아서 진지하게 수학을 공부할 때도 있었다. 하지만 누구나 그렇듯이 회사 일은 항상 바빴고, 공부했던 수학은 생각보다 써먹을 곳이 없었다. 써먹지 않다 보니 수학 공부에 들인 시간보다 훨씬 빠른 속도로 까먹기 일쑤였다. 놀거리, 볼거리는 넘쳐났고 아이들이 태어나면서 내 시간은 점점 줄어들었다. 이런 일이 반복되다 보니 요령껏 필요한 만큼만 배우고 궁금한 점은 검색해서 개발하곤 했다.
이 책을 읽으면서 새삼 깨달은 점은 게임에 사용되는 수학의 대부분은 이미 중고등학교 때 모두 배웠다는 사실이다. 생각보다 어렵지 않다. 게임 수학은 달라진 점이 없을 테니 내가 해볼 만하겠다라고 생각하게 만든 일등공신이 바로 이 책일 것이다. 쉽고 자세하면서도 직접 만든 소프트렌더러를 활용한 코드와 함께 설명해주므로, 책을 읽다 보면 ‘게임 수학, 해볼 만하겠다’는 생각이 절로 든다. 게임 개발뿐만 아니라 머신러닝, 인공지능같이 수학을 필요로 하는 분야는 점점 늘어나고 있다. 그리고 애들이 컸을 때 수학 문제를 함께 풀어줄 수 있는 멋진 부모가 되고 싶다. 수학을 다시 들여다보고 사랑해보고 싶은 마음이 들었다. 좋은 책 만들어주신 득우 님, 감사합니다.
- 박일 / NCSOFT TL 개발팀

제 일화를 하나 고백하자면. 프로그래머로서 게임 개발을 시작했지만 저는 고등학교 시절 수학 포기자였습니다. 제가 게임 개발을 처음 시작한 90년대 초에는 게임 개발에 관한 정보가 전무했기에 바닥부터 모든 것을 다 만들어야 했으나, 수학을 몰라도 그다지 어려움을 겪은 적은 거의 없었습니다. 그러나 90년대 말 본격적으로 3D 게임을 개발하게 되면서부터는 모든 상황이 달라졌습니다. 한글로 된 정보가 없을 뿐더러, 수식에서 막혀 이해하느라 몇 날 며칠을 씨름한 적도 많았습니다. 그후 세월이 흘러 그사이 좋은 게임 엔진이 많이 등장하면서 또 한 번 수학의 필요성은 다소 줄어들었을 수도 있습니다. 하지만, 수학에 대한 이해가 부족하다면, 막상 중요한 혁신이 필요한 순간 막히게 됩니다.
수학의 기초를 탄탄히 쌓아둔다면, 당장의 문제를 넘어 게임 자체에 대해 고민하는 데 더 많은 시간을 쓸 수 있으며 좀더 창의적인 게임을 만드는 데 큰 도움이 됩니다. 따라서 이 책이 게임 개발자분들에게 좋은 자양분이 되리라 기대합니다. 책을 읽으면서 저도 교수님께 배우고 싶다는 생각이 많이 들었습니다.
- 서관희 / 원더스쿼드 대표이사

디지털 트랜스포메이션으로 시작되는 미래를 위한 메타버스의 핵심 기술은 바로 실시간 3D 렌더링입니다. 이와 같은 실시간 3D 렌더링을 잘 활용하기 위해서는 기반 기술에 대한 이해가 필요한데, 그것은 바로 수학입니다. 렌더링 기술을 개발하고 개선하며 활용하는 프로그래머와 렌더링 기술을 활용해 새로운 멋진 콘텐츠를 제작하는 아티스트, 특히 테크니컬 아티스트에게 수학에 대한 이해와 지식은 필수입니다. 하지만 실시간 3D 렌더링에 필요한 수학적인 이해를 체계적으로 이해하고 배우는 것은 결코 쉬운 일이 아닙니다.
실시간 3D 렌더링의 핵심 기술인 게임 엔진에 대한 높은 이해를 바탕으로 학교에서 직접 학생들을 가르치며 쌓아오신 이득우 교수님의 노하우가 담긴 『이득우의 게임 수학』은 실시간 3D 렌더링에 필요한 수학적 지식을 실시간 3D 렌더링 예제와 함께 체계적으로 배울 수 있는 정말 추천할 만한 책입니다.
실시간 3D 렌더링 엔진 프로그래머와 테크니컬 아티스트를 준비하시는 분들과 렌더링을 확실하게 이해하고 싶은 실무자분들에게 적극 추천합니다. 이 책을 완독해서 기반을 다진 후에는 실제 사용 사례를 살펴볼 수 있는 언리얼 엔진의 풀 소스 코드를 통해 이해와 학습 수준도 높여보기 바랍니다.
- 신광섭 / 에픽게임즈 코리아 엔진 비즈니스 리드

이따금씩 게임 개발에 입문하고자 하는 학생들이 뭘 공부하면 좋을지 물어보는 경우가 더러 있다. 그때마다 나는 주저하지 않고, 게임을 즐겁게 오래 개발하고 싶다면 ‘수학’을 꼭 공부하라고 얘기해 준다. 하지만 수학이라는 것이 워낙 광범위하기 때문에 어디서부터 시작해야 할지 막막한 분들도 있으리라 생각한다.
그런 분들에게 이 책은 게임 개발에 필요한 기본적인 수학 개념은 물론, 컴퓨터 그래픽스 이론과 캐릭터 애니메이션까지 맛볼 수 있는 구성으로 짜여져, 한 권으로 게임 엔진이 돌아가는 전체적인 원리를 파악하기에 더할 나위 없는 내용을 담고 있다. 특히 코드를 통한 예제를 적절히 삽입하여 독자들의 이해를 높이기 위해 노력했다는 점도 눈에 띄는 구성이라 할 수 있겠다.
게임 개발을 지망하는 학생들이라면 꼭 읽어봐야 할 책이다. 이 책을 발판 삼아 훌륭한 개발자들이 앞으로도 더 많이 배출되었으면 하는 바람이다.
- 신효종 / 아이도스 몬트리올(Eidos Montreal) 시니어 애니메이션 프로그래머

10년 전만 해도 게임 엔진은 오늘날처럼 미려하지도 않거니와 기능도 풍부하지 않아서 개발 난이도가 높은 편이었다. 하지만, 오늘날은 유니티나 언리얼 등 위지윅?WYSIWYG? 기반의 상용 게임 엔진이 보편화됨에 따라 게임 등의 콘텐츠 개발의 난이도가 낮아졌다. 그러다 보니 때로는 상용 게임 엔진들이 수학의 필요성을 못 느끼게 한다는 비난을 받기도 한다. 그러나 오히려 수학을 알아야 게임 엔진을 더 잘 사용할 수 있고 한계를 넘어선 활용이 가능하다.
이 책은 게임 엔진에 의존하는 것이 아니라, 게임 그래픽을 표현하는 핵심 원리부터 캐릭터 애니메이션 등을 직접 구현함으로써 게임 개발에 필요한 수학을 이해하도록 유도한다. 더불어 게임 엔진의 기본 구조를 직접 구현함으로써 상용 게임 엔진을 더욱 잘 이해하고 활용할 수 있는 기반을 마련한다. 한층 더 업그레이드되고 싶은 모든 게임 프로그래머들에게 강력 추천한다.
- 오지현 / 유니티 테크놀로지스 코리아 에반젤리스트

게임 엔진을 처음 공부하다 보면 ‘그래픽’과 ‘프로그래밍’을 동시에 이해해야 하는 첫 번째 관문을 만나게 된다. 몇 개월간 게임엔진을 공부하며 간신히 첫 관문을 통과하고 나면 그 뒤에는 최종 보스처럼 서 있는 ‘수학’을 맞닥뜨리게 된다. 하지만 우리는 더 이상 최종 보스에 떨 필요가 없다. 『이득우의 게임 수학』이 우리의 손에 있기 때문이다.
게임 수학을 ‘공간’, ‘물체’, ‘회전’으로 쉽게 분류하여 이론적으로 설명하고 예제 중심으로 풀어낸 이 책을 하나씩 따라 하다 보면 자연스럽게 실시간 그래픽 수학에 몰입하여 레벨업되고 최종 보스를 물리치고 있는 자신을 만날 수 있을 것이기 때문이다.
- 장욱상 / 중앙대학교 첨단영상대학원 영상학과 실감미디어/애니메이션 콘텐츠 전공 교수

최근의 게임제작을 다루는 다른 책들이 그러하듯 이 책은 상당부분을 3D 공간을 다루는 데 필요한 선형대수학에 할애하고 있습니다. 하지만 따분하게 행렬 벡터 관련 수식만 보다가 끝나는, 어쩌면 당장 3D로 뭔가를 해보고 싶은 독자들에게는 너무나 지루할 수 있는 다른 서적들과는 달리, 이 책에서는 저자가 제공하는 경량화된 3D 렌더링 툴을 통해 직접 코드를 작성해가며 내용을 좀 더 직관적으로 이해할 수 있도록 도와줍니다.
오늘날 대부분 유니티나 언리얼 엔진 같은 상업적으로 크게 성공한 게임엔진들을 사용하여 게임을 만들고 있기에 이 책에서 다루는 많은 부분들을 실제로는 툴이 해결해주고 있다고 하더라도, 이 책의 내용은 여전히 유용하며, 우리가 사용하고 있는 게임 엔진에 대한 이해를 높이는데 큰 도움이 될 거라 생각합니다. 이렇게 실용적인 내용을 광범위하게 다루는 책을 번역서가 아닌 한국인 저자의 서적으로 읽어볼 수 있어서 개인적으로 상당히 기쁘고 즐거웠습니다.
- 정원희 / 블리자드 엔터테인먼트 시니어 소프트웨어 엔지니어

예전에 이득우 교수님과 공항에서 맥주를 한잔 가볍게 하고 탄젠트의 정의를 물어본 적이 있었습니다. 가볍게 탄젠트라는 이름의 유래를 물어본 것이었는데, 사실 평소에 그렇게 말이 많은 편이 아니시던 이득우 교수님이 눈을 반짝이면서 탄젠트의 아름다움과 그 철학적 정의에 대해 열변을 토하시는 모습을 처음 보았습니다. 사실 저 같은 문과 출신에게는 “탄젠트란 ‘접한다?touching?는 뜻의 라틴어 tangens’에서 유래한 것이다” 정도의 설명으로도 충분했는데 말입니다!!! 가벼운 술기운에서 시작한 대화라 모두 이해할 수는 없었지만, 적어도 수학이 어떻게 철학으로 연결되는지에 대한 강한 인상을 받았던 짧은 대화였습니다.
시중에 많은 수학 서적이 있지만, 게임에 대한 수학 책은 많은 편이 아닙니다. 그리고 그중에서도 수학에 대한 애정과 철학을 가지신 분이 쓴 책은 더더욱 적을 것입니다. 무언가를 제대로 배우기 위해서는 그 분야에 철학을 가진 사람에게 배우는 것이 좋다고 생각됩니다. 또한 책에는 그 책을 쓴 사람의 생각이 그대로 담겨 있기 마련이죠. 그러므로 이 책에서 이득우 교수님의 수학 설명과 함께 수학에 대한 애정과 그 철학을 느껴보실 것을 강력히 추천드리는 바입니다.
- 정종필 / 데브캣 D1실 부실장

디지털 에이전시에서 상용 게임 엔진을 사용해서 소위 미디어 아트, 인터랙티브 인스톨레이션 등의 리얼타임 콘텐츠를 만드는 일들을 하고 있습니다. 이미 만들어져 있는 상용 게임 엔진을 사용해 작업을 하면서 항상 컴퓨터 그래픽스의 원리가 궁금했습니다. 하지만 비전공자로서 컴퓨터 그래픽스는 그 진입 장벽이 상당히 높았고 어떻게 체계적으로 접근해야 할지 몰랐습니다. 하릴없이 필요에 따라 단편적인 지식으로 채워질 수밖에 없었고, 그 비어 있는 부분을 채우고 싶은 갈증에 항상 목이 말랐습니다. 그런 와중에 이득우 교수님께서 ‘게임 수학’ 책을 집필하신다는 소식은 제게 가뭄의 단비와 같은 소식이었습니다.
컴퓨터 그래픽스의 기반이 되는 수학의 개념부터 삼각함수, 벡터, 행렬, 그리고 게임 엔진에서 필수로 쓰이는 사원수의 원리까지 차근차근 다루고, 그저 수식과 수도 코드만이 아닌 작동하는 실제 소프트렌더러를 C++로 라인 바이 라인으로 설명해주면서 독자가 직접 실습해볼 수 있는 책이기 때문에 더욱더 값진 것 같습니다. 이 책이 저와 같은 고민과 지식의 갈증을 느끼는 독자들에게 많은 도움이 될 것이라 확신합니다.
- 최승호 / 자이언트스텝 RX사업본부 RX1팀 실장

〈심시티〉라는 게임으로 컴퓨터를 처음 접한 뒤 컴퓨터를 배우면서 직접 게임을 만들어 보고 싶다는 열망이 들었다. 그래서 독학으로 게임을 만들기도 하고, 실제 게임 회사에 취업을 하기도 했다. 게임을 만든다는 것은 일반 소프트웨어 개발과 많은 점에서 다른데, 특히 그래픽을 다루는 것이 그렇다. 게임 그래픽은 어느 정도 수학과 물리 학습의 기초가 필요한 분야다. 한 번은 3D 엔진을 직접 만들어 보고 싶어서 고등학교 수학책을 다시 뒤적이면서 행렬과 삼각함수 등의 개념을 공부했던 기억이 난다. 학창 시절에는 억지로 수학 공부를 했는데, 게임 엔진을 만드는 데 필요하다 보니 자발적으로 공부를 하게 되더라. 수학 이론을 적용해서 짠 코드가 모니터에 표시되는 그래픽으로 나타나는 것을 보면서, ‘이런 용도로 쓰는 거구나’라며 깨우치기도 했다. 만약 내가 게임 수학을 공부하던 당시에 이 책이 있었다면 게임에 필요한 수학을 좀 더 쉽고 체계적으로 배울 수 있지 않았을까 싶다.
목적이 없는 교육은 학생들이 재미를 느끼고 배우기가 쉽지 않다. 게임을 만들고 싶은 사람들에게, 수학이 왜 필요하고 어떻게 쓰이는지를 설명하고 제대로 다루는 이 책은 매우 좋은 교과서가 될 수 있다. 오랜 시간 게임 업계에서 이야기꾼으로 활동해오신 저자분이 아주 재미있게 글을 써주시기도 했고, 실습 예제와 함께 체험해볼 수 있도록 만들어서 독자들이 흥미를 잃지 않게 잘 구성되어 있다. 저자분이 학교에서 학생들을 가르치면서 얻었던 교수 경험을 바탕으로 쓰였기 때문인 듯하다. 이 책을 통해 더 많은 이들이 게임 수학을 쉽고 재미있게 배우고, 게임 프로그래밍의 세계에 입문하는 계기가 되길 바란다.
- 황리건 / 원티드랩 개발 총괄 이사

1장 메타버스를 지탱하는 게임 수학
1.1메타버스가가져올새로운변화
1.2게임엔진의구성
1.3게임수학의구성
1.4이책의실습환경구축
__1.4.1실습예제구성
__1.4.2개발환경의구성
__1.4.3소스코드의빌드
__1.4.4소스코드의구성
1.5정리

1부 | 가상 세계의 구축
2장 수: 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위
2.1수와집합
__2.1.1연산과수의구조
__2.1.2수의구조
__2.1.3수의표현
2.2함수
__2.2.1함수의개념과종류
__2.2.2합성함수
__2.2.3항등함수와역함수
__2.2.4곱집합을활용한좌표평면으로의확장
2.3정리

3장 벡터: 가상 공간의 탄생
3.1데카르트좌표계
3.2벡터공간과벡터
__3.2.1스칼라와벡터
__3.2.2벡터공간의연산
__3.2.3벡터의크기와이동
3.3벡터의결합과생성
3.4정리

4장 삼각함수: 회전을 위한 수학
4.1삼각함수
__4.1.1삼각함수의성질
__4.1.2각의측정법
4.2삼각함수를활용한물체의회전
4.3삼각함수의역함수
4.4극좌표계
4.5정리

5장 행렬: 가상 세계의 변환 도구
5.1선형성:예측가능한비례관계
__5.1.1선형함수
__5.1.2벡터공간의선형변환
5.2행렬
__5.2.1행렬의기본연산
__5.2.2행렬의곱셈
__5.2.3정방행렬의곱셈
5.3행렬의설계
__5.3.1크기변환행렬
__5.3.2회전변환행렬
__5.3.3전단변환행렬
__5.3.4삼각함수의덧셈정리
5.4역행렬
__5.4.1역행렬의존재를판별하는행렬식
__5.4.2크기변환행렬의역행렬
__5.4.3전단변환행렬의역행렬
__5.4.4회전변환행렬의역행렬
__5.4.5행렬곱의역행렬
5.5정리

2부 | 콘텐츠 제작 기초
6장 아핀 공간: 움직이는 가상 세계의 구축
6.1이동변환을위한아핀공간
6.2아핀공간의구성요소
__6.2.1점
__6.2.2이동벡터
__6.2.3아핀공간의성질
6.3아핀결합
__6.3.1두점의결합
6.4선그리기알고리즘
__6.4.1벡터를모니터의점으로표현
__6.4.2선그리기알고리즘
__6.4.3라인클리핑알고리즘
6.5정리

7장 내적: 벡터 공간의 분석과 응용
7.1벡터의내적
__7.1.1내적의성질
__7.1.2내적과삼각함수와의관계
__7.1.3행렬의곱셈을내적으로표현하기
7.2시야판별
__7.2.1앞뒤판별
__7.2.2시야판별
7.3조명효과의구현
7.4투영벡터
7.5정리

8장 삼각형: 물체를 구성하는 가장 작은 단위
8.1세점의결합
8.2메시
8.3무게중심좌표
__8.3.1무게중심좌표의계산
__8.3.2정점에설정된부가정보의활용
8.4텍스처매핑
8.5정리

9장 게임 엔진: 콘텐츠를 만드는 기술
9.1게임엔진의구성요소
__9.1.1씬의구조
__9.1.2모델링행렬의설계
__9.1.3로컬공간과로컬축
__9.1.4리소스관리
9.2게임엔진의워크플로우
__9.2.1CK소프트렌더러의워크플로우
__9.2.2렌더링파이프라인
9.3카메라시스템
__9.3.1가상공간의카메라
9.4정리

3부 | 3차원 콘텐츠 제작
10장 3차원 공간: 입체 공간의 생성
10.13차원공간의설계
10.23차원공간의트랜스폼
__10.2.1오일러각
__10.2.2회전행렬의유도
__10.2.33차원모델링행렬
10.3카메라공간
10.4오일러각의특징
__10.4.1짐벌락현상
__10.4.2회전보간의계산
10.5정리

11장 외적: 3차원 공간의 분석과 응용
11.1벡터의외적
__11.1.1평행성판별
__11.1.2법선벡터
__11.1.3좌우방향판별
11.2벡터로부터회전행렬생성
11.3렌더링계산량을줄여주는백페이스컬링
11.4오일러각의문제를해결하는로드리게스회전공식
11.5삼중곱
__11.5.1스칼라삼중곱
__11.5.2벡터삼중곱
11.6정리

12장 원근 투영: 화면에 현실감을 부여하는 변환
12.1원근투영변환의원리
12.2동차좌표계
12.3깊이값
12.4원근보정매핑
12.5깊이버퍼
12.6정리

13장 절두체: 최적화된 3차원 공간
13.1절두체컬링
__13.1.1평면의방정식
__13.1.2평면의방정식의정규화
__13.1.3평면의방정식을활용한절두체표현
__13.1.4원근투영행렬로부터평면의방정식만들기
13.2바운딩볼륨
__13.2.1구바운딩볼륨의판정
__13.2.2AABB와의판정
13.3삼각형클리핑
13.4정리

4부 | 4차원 수학과 캐릭터
14장 복소수: 2차원 평면의 수
14.1복소수
__14.1.1허수
__14.1.2복소수의구조
14.2복소평면
__14.2.1단위복소수와의곱
__14.2.1켤레복소수의회전변환
14.3복소수와행렬의관계
14.4정리

15장 오일러 공식: 허수로 표현하는 회전 변환
15.1자연지수함수
__15.1.1무리수e
__15.1.2자연지수함수
15.2미분
__15.2.1도함수
__15.2.2자연지수함수의도함수
__15.2.3sin함수와cos함수의도함수
15.3급수
__15.3.1등비수열
__15.3.2급수
__15.3.3매클로린급수
15.4오일러공식
15.5정리

16장 사원수: 4차원 수로 설계한 3차원 회전
16.1사원수대수
__16.1.1사원수를구성하는세허수
__16.1.2사원수의구조
__16.1.3사원수와벡터
16.2사원수의회전
__16.2.1사원수와오일러공식
__16.2.2회전사원수를이용한3차원공간에서의회전
16.3사원수의변환
__16.3.1오일러각에서사원수로의변환
__16.3.2사원수에서오일러각으로의변환
__16.3.3사원수에서회전변환행렬로의변환
__16.3.4회전변환행렬에서사원수로의변환
16.4사원수의보간
16.5사원수의활용
16.6정리

17장 캐릭터: 게임에 생기를 불어넣는 기술
17.1스켈레탈애니메이션
17.2트랜스폼계층구조
__17.2.1트랜스폼계층구조의변환
__17.2.2로컬트랜스폼으로부터월드트랜스폼의계산
__17.2.3월드트랜스폼으로부터로컬트랜스폼의계산
17.3캐릭터메시와애니메이션
17.4정리