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다들 왜 그렇게 수학이 어렵다고 난리야?
도형부터 무한까지, 숫자 없이도 술술 풀리는 수학 이야기

우리가 지금까지 배워왔던 수학을 떠올려보자. 근의 공식, 방정식, 삼각함수, 미적분 등등. 소위 ‘수포자’였던 독자라면 이미 이런 개념을 듣기만 해도 진저리를 칠 것이다. 하지만 이런 수식과 공식, 난해한 숫자들이 수학의 전부는 아니다. 《숫자 없는 수학책(원제: Math Without Numbers)》의 저자 마일로 베크먼Milo Beckman은 수학자들이 하는 일이란 결국 ‘뭔가에 대해 오랫동안 생각하는 것’이라고 말한다. 수학은 난해하고 세상과 동떨어진 학문이 아니라 ‘재미있는 생각거리’라고 말이다.
도형을 예로 들어보자. 우리 모두 도형이 뭔지 머릿속에서는 알고 있다. 어떤 물체를 보면 그게 원인지, 사각형인지 구별할 수 있다. 하지만 수학자는 이런 질문을 한다. “어떤 특성을 보고 도형이라고 하는 걸까?” “원과 사각형을 같은 도형으로 묶으면 안 되는 걸까? 둘을 구분하는 결정적인 기준이 있을까?” 그리고 이렇게 생각이 확장될 수도 있다. “이 세상에 얼마나 많은 종류의 도형이 있을까?” 수학은 결국 이런 질문들에 대한 답을 찾는 과정이며 따로 떨어져 있는 사실들을 하나로 꿰어 엮는 연결고리다.
이 책의 가장 큰 목적은, 지금까지 몰랐던 수학의 재미를 독자에게 전달하는 것이다. 그러기 위해 저자는 이 책에서 ‘숫자를 쓰지 않겠다’고 공표했다. 그리고 15세의 나이로 하버드 대학교에 입학한 수학 천재만이 펼칠 수 있는 창의적이고 반짝이는 논리를 보여준다. 심지어 그 어떤 어려운 수식이나 공식도 사용하지 않고도 ‘수학=공부’라는 고정관념을 단박에 깨부수며 유쾌한 논리로 독자들을 매력적인 수학의 세계로 이끈다. “5차원은 대체 어떻게 생겼을까?”, “무한보다 더 큰 수가 있을까?” 등 친근하게 다가갈 수 있지만 수학적 사고가 요구되는 질문들을 발판 삼아, 독자와 함께 수학이라는 정원을 거닌다. 푸앵카레 추측이나 연속체처럼 낯선 개념이 등장할 때가 있지만 전혀 어렵거나 당황스럽지 않으며 이야기 속에서 자연스럽게 이해된다. 본문 속에 저자가 독자를 위해 숨겨놓은 퍼즐과 퀴즈는 이 책만이 가진 또 하나의 묘미다.
책에서 다루는 분야는 추상 수학의 주요 세 갈래인 위상학, 해석학, 대수학이다. 이름만 들어서는 세상에서 가장 똑똑한 사람들만 발을 들일 수 있는 분야인 것 같지만, 사실 우리가 일상에서 흔히 보는 ‘모양’, ‘관계’, ‘구조’ 같은 개념들로 이루어져 있다. 저자의 친절한 안내를 따라가다 보면 수학이 생각보다 멀리 있지 않음을, 그리고 결국 세상이 수학적 사고로 굴러가는 곳임을 알게 된다.
일단 한 장 한 장, 저자와 함께 웃고 떠들며 책장을 넘겨보자. 막연하게 수학에 대해 가지고 있던 편견과 오해가 풀리고, 어쩌면 수학을 좋아하게 될지도 모른다.

퍼블리셔스 위클리
수학을 알아가는 기쁨에 바치는 즐거운 찬가. 저자가 보여주는 퍼즐과 퀴즈에 투자할 시간과 호기심이 충분한 독자라면 이 책이 매우 흥미로울 것이다.

조던 엘렌버그(《틀리지 않는 법》 저자)
넘치는 매력과 열정이 느껴지며, 고등수학이라는 정원에서 독자와 함께 춤을 추는 듯한 멋진 책.

숀 캐럴(《다세계》 저자)
수학은 재미있고 놀랍고 매력적인데도, 지금까지 이런 점이 무서운 공식들과 형식주의에 가려져 있었다. 이 책 덕분에 수학의 매력이 마침내 세상의 빛을 보게 되었다!

조지아 루피(《관찰하라, 수집하라, 그려라!》 공저자)
수학적 개념을 무척 쉽게, 그림까지 곁들여 설명하고 있어 숨 쉬는 정도의 노력만 있으면 누구든 이해할 수 있다.

스테파니 포사벡(《관찰하라, 수집하라, 그려라!》 공저자)
수학적 개념을 무척 쉽게, 그림까지 곁들여 설명하고 있어 숨 쉬는 정도의 노력만 있으면 누구든 이해할 수 있다.

윌 쇼츠(<뉴욕 타임스> 십자말풀이 편집자)
수학적 개념뿐만 아니라 수학자들의 사고방식까지 너무나 쉽게 설명하는 책. 곳곳에 숨어 있는 퀴즈와 퍼즐은 보너스다.

그레이엄 파멜로(《우주는 숫자로 말한다》 저자)
현대 수학의 바탕이 되는 놀라운 아이디어와 개념이 궁금했지만 두려움 때문에 첫발을 내딛지 못했던 당신을 위한 책이다.

이언 스튜어트(워릭 대학교 수학 교수)
수학으로 이루어진 세상을 탐험하고, 그것이 어떻게 우리가 사는 세상과 연결되는지 알려주는 수다스럽고도 유쾌한 책. 그런데 숫자라고는 하나도 없다니! 이 책은 모두가 읽어야 한다. 심지어 수학자들까지도.

〈위상수학〉
도형 | 다양체 | 차원

〈해석학〉
무한 | 연속체 | 지도

〈대수학〉
추상화 | 구조 | 추론

〈수학 기초론〉
대화

〈모형화〉
모형 | 오토마타 | 과학

도형이 너무 많아 일일이 추적할 수 없다 보니 위상수학자들은 주요 도형에만 집중한다. 바로 ‘다양체’다. 복잡하게 들리겠지만 실제로는 그렇지 않다. 사실 당신도 다양체에 살고 있다. 원, 직선, 평면, 구 등이 속한 다양체는 수학이나 과학에서 물리적 공간을 다룰 때 항상 주도적인 역할을 하는 것처럼 보이는 매끄럽고 단순하며 균일한 도형이다.
다양체가 워낙 단순하므로 지금쯤이면 수학자들이 다 찾아냈으리라 생각할지도 모르겠다. 하지만 아니다. 우리는 찾지 못했다. 위상수학자들도 이 사실에 매우 당혹스러워하고 있다. ▶ 다양체 p.25

사실 위상수학적 다양체를 알면 꽤 많은 맥락에서 유용하다. 그렇다, 심지어 훨씬 높은 차원에 있는 다양체들도! 이것 때문에 위상수학이 발전하고 오늘날에도 사람들이 위상수학을 연구하는 건 아니지만, 위상수학의 언어와 도구 모음은 현실 세계의 면모를 분석할 때 꽤 자주 쓸모가 있다.
쓸모 있는 이유가 뭐냐고? 인간은 시각적인 사고를 하는 편이라 추상적인 생각을 시각적인 비유로 이해한다. 우리의 일상 언어에 시각적인 비유가 가득 차 있어 그런 비유를 쓰는지조차 알아차리지 못할 뿐이다. 당신은 계획을 ‘밀고 나아가고’, 임대료가 ‘오르고’, 끝없는 논쟁이 ‘원을 그리듯 맴돈다’고 말한다. 이러한 비유로 실생활의 문제를 위상수학 문제로 바꾸고 있다. ▶ 차원 pp.42~43

자, 보통 셀 수 있는 평범한 상황에서는 ‘더 크다’를 어떻게 헤아릴까? 오른쪽 더미가 왼쪽 더미보다 크다는 건 무슨 뜻일까?
그렇다. 그림을 보면 완전 뻔하다. 하지만 미지의 행성에서 온 외계인을 만난다고 상상해보라. 그 외계인은 “더 크다”, “더 많다”, “훨씬 크다” 같은 말을 들어본 적이 없다. 그렇다면 오른쪽 더미가 더 크다는 걸 어떻게 설명할 수 있을까? 진짜로 한번 설명하려고 해보라. 알다시피 너무 기본적인 개념이라 처음부터 차근차근 설명하기가 사실 어렵다.
문제를 어떻게 풀어야 할지 막막할 때, 수학에서 흔히 쓰는 요령은 정반대의 질문을 던져 그 질문이 이끄는 대로 따라가는 것이다. 아래의 두 더미가 같은 크기라는 걸 외계인에게 어떻게 설명할까?
‘같다’라는 단어에 섣불리 의지하면 안 된다. 그게 바로 우리가 정의하려는 뜻이니까. 외계인은 무언가가 ‘같다’ 또는 ‘똑같다’고 할 때 그게 무슨 뜻인지, 왜 그런지 알고 싶어 한다.
외계인에게 ‘같다’라는 의미를 전달하려면 이렇게 해야 한다. 우선 더미를 일렬로 세우고 1대1로 짝을 이룰 수 있다는 걸 보여준다. 각 더미에 남는 게 없이 완벽하게 짝지을 수 있으므로 두 더미의 크기는 같다. ▶ 무한 pp.60~61

오늘날 우리가 사는 세상은 이처럼 엄격하고 체계적인 추론 과정으로 가득 차 있다. 그 과정은 우리가 사용하는 기계 안에 있다. 날씨를 예측하고, 안전 경고를 발령하고, 교통망과 무역망, 정부 프로그램을 관리한다. 기업은 대수학으로 기업 이윤을 늘리고, 광고주는 알고리즘으로 우리가 원하는 상품을 (교묘한 정확도로) 예측한다. 이론물리학자는 실제로 추상 대수학을 이용해 쿼크라고 불리는 아원자 입자의 존재를 예측했는데, 훗날 실험을 통해 그 입자의 존재가 확인되었다. 그렇다고 추론이 새로운 시대에 등장한 건 아니다. 역사상 대부분의 세계 문화권에서 이와 비슷한 형식 추론 체계를 이용해 천체의 움직임을 예측해왔다.
나는 수학자들이 형식 추론 규칙의 개념을 너무 좋아한다고 감히 말할 수 있다. 무슨 뜻이냐면, 이유를 쉽게 알 수 있기 때문이다. 작은 핵심 사실이 난해한 지식 네트워크로 폭발할 수 있다? 정말 놀랍다! 종이와 펜을 들고 앉아 당신이 발견할 수 있는 모든 걸 생각해보라! 규칙을 따라 기호를 이리저리 움직이면 우주의 새로운 진리를 배울 수 있다. 마치 두 분수를 대각선으로 곱하며 현실의 본질을 배우는 것과 같다. ▶ 추론 pp.148~149