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▶ 이 책은 수학이론을 다룬 이론서입니다. 수학이론의 기초적이고 전반적인 내용을 학습할 수 있습니다.

제 1장. 피할 수 없는 경쟁과 전쟁 1

제 2장. 전투의 수학적 해석 기원 6

2.1 고대의 전투 해석 7
2.2 근현대의 전투 해석 9

제 3장. DETERMINISTIC LANCHESTER 전투모형 12

3.1 개요 13
3.1.1 Homogenous Lanchester 모형 14
3.1.2 Heterogenous Lanchester 모형 15
3.1.3 전투의 수학적 해석 16
3.2 Lanchester Square Law 19
3.2.1 어느 측이 승리할 것인가? 22
3.2.2 시점에서 전투력 수준은? 33
3.2.3 전투는 언제 종결될 것인가? 35
3.2.4 Lanchester Square Law 와 전투사례 39
3.3 Lanchester 1st Linear Law 49
3.3.1 승리의 조건 50
3.3.2 전투 지속시간 51
3.4 Lanchester 2nd Linear Law 55
3.4.1 승리의 조건 56
3.4.2 시점에서의 전투력 비율 58
3.5 Lanchester Mixed Law 60
3.5.1 소규모 부대간 전투 60
3.5.2 비정규전 부대와 정규전부대의 교전 전투 Modeling 62
3.5.3 승리의 조건 63
3.5.4 Mixed Law에서의 전투에서 승리하는 요인 69
3.5.5 비정규전 부대와 정규전 부대의 전쟁사 결과 70
3.6 Lanchester Logarithm Law 75
3.6.1 Logarithm Law 개요 75
3.6.2 시점에서의 전투력 비율 77
3.6.3 승리한 측의 잔여 전투력 77
3.7 Lanchester Geometric Mean Law 80
3.8 Automatous Firing and Aiming Firing Law 82
3.8.1 자동사격과 조준사격 개요 82
3.8.2 승리한 측의 잔여 전투력 83
3.8.3 전투 종료시점 83
3.8.4 시점에서 전투력 비율 84
3.9 Lanchester Law 전환 확률 86
3.9.1 Square Law 86
3.9.2 1st Linear Law 86
3.9.3 Logarithm Law 87
3.10 증원과 비전투 손실이 있는Lanchester 전투모형 89
3.11 Lanchester 전투모형의 확장 95
3.11.1 Helmbold 전투모형 95
3.11.2 Bracken 전투모형 99
3.11.3 Scheiber 전투모형 100
3.11.4 Hartly 전투모형 100
3.12 다양한 상황에서의Lanchester 전투모형 101
3.12.1 Square 법칙에서 전투 중 전투력 증원이 있는 경우 101
3.12.2 Square 법칙에서 Blue Force의 항공지원이 있는 경우 101
3.12.3 Square 법칙에서 양측 모두 화력지원이 가용시 101
3.12.4 다양한 형태의 전투모형 Diagram 102
3.13 Lanchester Meta Model 112
3.14 전장 시나리오 구현 전투모형 114
3.15 전투력 운영 방안 분석 116
3.16 미분방정식 근사화 해를 찾기 위한 Runge-Kutta 방법 124
3.17 Heterogeneous Lanchester 전투모형 129
3.18 Lanchester 법칙의 제한사항 131
3.19 Lanchester Law의 제한사항 극복을 위한 노력 132
3.19.1 부대의 공간적 분포 묘사 132
3.19.2 지형 요소의 반영 133
3.19.3 공격하는 측의 유리점을 묘사 151
3.19.4 전투 치열도 묘사 153
3.19.5 상대적 효과도 묘사 154
3.19.6 정보능력의 반영 156
3.19.7 일시적 전투력 변동효과 반영 160
3.19.8 전투종료 조건 묘사 161
3.20 Bayesian 방법에 의한 Lanchester 방정식의 모수 추정 164
3.20.1 Lanchester 방정식의 모수 추정에 대한 기존 연구 164
3.20.2 기존 연구의 문제점 167
3.20.3 Lanchester 모형의 Bayesian 추론 168
3.20.4 Lanchester 모형의 완전 조건부 사후분포 170
3.20.5 Gibbs Sampling 방법에 의한 Bayesian 추론 173
3.20.6 모의 실험 174
3.20.7 사례분석 187

제 4 장. STOCHASTIC LANCHESTER 전투모형 199

4.1 확률과정 200
4.2 Poisson 과정 기반 전투모형화 200
4.3 지수형 Lanchester 방정식 202
4.4 확률적 결투 207
4.4.1 기본 결투 Modeling 207
4.4.2 일반 결투 Modeling 208
4.5 승리할 확률과 잔여 전투력 기댓값 210
4.6 전투 지속시간 기댓값 214
4.7 Monte Carlo Simulation에 의한 전투 지속시간 221
4.8 Heterogenous Forces 전투모형 224
4.8.1 Stochastic Lanchester 모형 224
4.8.2 병력 상태 변수에 대한 정규근사 226
4.8.3 정규근사 (예) 230

제 5장. 전쟁사(戰爭史)의 수학적 분석 234

5.1 전쟁사의 수학적 분석 연구 수행 방향 235
5.2 Iwo Jima 전투 (제 2차 세계대전 태평양 전역) 247
5.2.1 전투 배경 247
5.2.2 전투 경과 249
5.2.3 전투 참가 전력 및 손실 253
5.2.4 Iwo Jima 전투의 수학적 분석 253
5.2.5 Iwo Jima 전투모형 재검토 263
5.3 Kursk 전투 (제 2차 세계대전 유럽 전역) 267
5.3.1 전투 배경 267
5.3.2 전투 경과 271
5.3.3 전투 참가 전력 및 손실 275
5.3.4 Kursk 전투의 수학적 분석 276
5.4 Ardennes 전투 (제 2차 세계대전 유럽 전역) 298
5.4.1 전투 배경 298
5.4.2 전투 경과 302
5.4.3 전투 참가 전력 및 손실 308
5.4.4 Ardennes 전투의 수학적 분석 309
5.5 인천-서울 전투 (한국전쟁) 336
5.5.1 전투 배경 336
5.5.2 전투 경과 337
5.5.3 인천-서울 전투 데이터 339
5.5.4 인천-서울 전투의 수학적 분석 340
5.6 명량 해전 (임진왜란) 359
5.6.1 Agent Based Simulation을 이용한 분석 359
5.6.2 OODA 를 이용한 명량해전 분석 370
5.7 남북전쟁 (미국 내전) 381
5.7.1 남북전쟁 개요 381
5.7.2 남북전쟁의 의미 400
5.7.3 남북전쟁 분석 데이터 401
5.7.4 남북전쟁의 수학적 분석 403
5.8 Napoleon의 Russia 원정 430
5.8.1 Napoleon의 Russia 원정 430
5.8.2. Moscow 원정 Modeling 및 실험 441
5.8.3 손실계수 비율 산정 442
5.8.4 전투개체 Modeling 442
5.8.5 전장환경 Modeling 443
5.8.6 실험 시나리오 445
5.8.7 실험 결과 및 분석 446
5.8.8 실험결과에 따른 Moscow 원정 분석 451

제 6장. LANCHESTER 전투모형 이외의 전투모형 452

6.1 Epstein 전투모형 453
6.1.1 Lanchester 전투모형의 제한점과 극복방안 453
6.1.2 Epstein 전투모형 455
6.1.3 근접항공지원을 추가한 Epstein 전투모형 458
6.1.4 Epstein 전투모형의 문제점과 보완 459
6.2 Osipov 전투모형 464
6.2.1 개요 464
6.2.2 Osipov 연구의 의의 465
6.2.3 Osipov 전투모형 467

참고문헌 484
찾아 보기 495

머리말

인간은 경쟁을 하지 않으면 안되는 존재입니다. 왜냐하면 혼자 살 수 없는 존재가 인간이기 때문입니다. 영국의 사회학자이며 철학자인 H. Spencer (1820~1903)는“인간은 삶이 두려워 사회를 만들고 죽음이 두려워 종교를 만들었다.”라고 말하였습니다. 즉, 인간은 사회적 동물이며 사회를 구성하고 있는 인간은 자연적으로 개인, 조직, 기업, 국가 등과 같은 형태로 서로 경쟁하게 되고 경쟁을 통해 사회를 더 발전시킵니다. 현대사회에서는 경쟁을 직장에서의 개인적 승진 경쟁으로부터 스포츠에서의 승리를 위한 경쟁, 연구소에서 더 첨단화된 기술을 개발하기 위한 경쟁, 학교에서의 더 나은 교육을 제공하기 위한 경쟁, 기업간의 무한한 경쟁, 국가 이익을 지키기 위한 외교전쟁과 군사적 충돌 및 전쟁 등으로 구분할 수도 있습니다.
현대사회의 스포츠에서의 승리와 패배는 극명한 차이를 보입니다. 직장에서 개인적 경쟁에서 승리하면 승진과 이에 따른 더 높은 지위와 보수가 보장되지만 패배한 개인은 승자가 가지는 다양한 혜택을 맛보는 대신 어려운 시기를 겪게 됩니다. 프로축구, 야구, 골프 등 스포츠 종목에서 승리하는 선수와 팀은 엄청난 부와 명예를 가지게 되지만 패배하는 선수와 팀은 연봉의 삭감뿐만 아니라 팀이 해체가 되는 비운을 맛볼 수도 있습니다. 연예인의 경우에도 인기가 있는 연예인은 대중으로부터 사랑을 받고 엄청난 부와 명예를 가지게 되지만 몇 년씩 준비한 아이돌 그룹도 대중으로부터 사랑을 받지 못하면 연예계 진출과 동시에 사라지는 비운을 겪기도 합니다.
기업간 경쟁은 더 많은 사람들의 이익이 걸려있으며 승패에 따라 기업의 이익이 좌우되고 때로는 기업의 생존이 걸려있기도 합니다. 따라서 많은 기업들은 물리적 제품, 서비스 등 기업에서 생산하는 재화를 시장에서 더 많이 판매되도록 다양한 노력을 합니다. 패배한 기업은 많은 손실을 감수해야 하며 직원들의 보수나 복지에 여유를 가지기 힘들며 기업의 발전에도 많은 제약을 받을 뿐만 아니라 시장에서 사라져야 할 경우도 있습니다.
하물며 국가간 경쟁인 전쟁의 역사를 미루어 보면, 고대 국가에서도 승리한 국가는 패배한 국가의 부를 뺏고 국가가 더 발전할 수 있었는데 비해 패배한 국가는 많은 인명 손실은 물론 재산을 강탈당해 오랫동안 국민 전체가 힘든 시기를 보내고 국가가 지도에서 없어지는 경우도 많이 있었습니다.
따라서 인류는 오랜 기간 동안 각 경쟁의 시스템에서 어떻게 하면 승리할 수 있는가에 대해 많은 연구와 고민을 해 온 것이 사실입니다. 전쟁에서의 승리의 원인을 고대로부터 현대에 이르는 많은 전쟁사를 분석하여 ‘전쟁의 원칙’을 도출하였습니다. 전쟁의 원칙은 목표의 원칙, 공세의 원칙, 집중의 원칙, 목표의 원칙, 병력절약의 원칙, 기동의 원칙, 지휘통일의 원칙, 경계의 원칙, 기습의 원칙, 간명의 원칙 등입니다. 이렇듯 전쟁을 큰 틀에서 분석하여 승리의 요인을 핵심적으로 정리하여 전략과 전술에 적용하고자 많은 노력을 해 왔습니다.
20세기에 들어와서는 많은 군사사상가 및 과학자들이 수학적인 방법으로 전쟁을 분석하여 승리의 요인을 찾고자 하는 노력을 경주하였습니다. 그 대표적인 방법론이 Lanchester 미분방정식을 이용한 다양한 Lanchester Equation입니다. Lanchester Equation은 앞에서 설명한 전쟁의 원칙을 일부 설명 가능하며 수학적으로 전투를 Modeling하여 전쟁과 전투를 수학적으로 해석하고 이해하는데 기여했을 뿐만 아니라 이를 바탕으로 만든 Wargame 모델로 다시 군사력 건설을 하는 순환 구조로 20세기 후반과 21세기에 활발하게 연구되고 있습니다.
또 하나의 승리의 조건을 찾는 접근법은 Game Theory로서 상호 의존적인 의사 결정에 관한 이론이며 이를 이용하여 전쟁 또는 경쟁관계를 Game 관점에서 해석하고 이를 수학적 방법으로 해결합니다. 일반적으로Game이란 효용 극대화를 추구하는 행위자들이 일정한 전략을 가지고 최고의 보상을 얻기 위해 벌이는 행위를 말합니다. Game Theory는 사회 과학, 특히 경제학에서 활용되는 응용 수학의 한 분야이며, 생물학, 정치학, 컴퓨터 공학, 철학에서도 많이 사용되며 참가자들이 상호작용하면서 변화해 가는 상황을 이해하는 데 도움을 주고, 그 상호작용이 어떻게 전개될 것인지, 매 순간 어떻게 행동하는 것이 더 이득이 되는지를 수학적으로 분석할 수 있습니다.
승리의 요인과 조건을 찾아 수학적으로 분석한 인류의 먼 여정은 이제 2016년을 맞이하여 새로운 전기를 마련하고 있는데 그 대표적인 접근법이 인공지능이라고 생각합니다. 2016년 우리는 Deep Learning을 기반으로 만들어진 AlphaGo가 이세돌 9단을 4 대 1로 이기는 것을 목격하였습니다. 바둑에서만큼은 기계가 인간을 이길 수 없을 것이라는 믿음이 사라진 것입니다. 왜냐하면 바둑의 수는 우주의 원자의 수보다도 더 많으므로 기계가 슈퍼컴퓨터와 같은 인간의 뇌를 이길 수는 없을 것으로 생각되었기 때문입니다. 그러나 대국에서 인간의 대표인 이세돌 9단이 AlphaGo에게 패배함으로써 Machine Learning에 대한 아이디어가 화두가 되었고 이제껏 인간이 보지 못했던 새로운 방법론을 보게 된 것입니다.
앞으로 경쟁관계에 있어서 승리의 요인과 조건을 찾는 문제는 어쩌면 인공지능이 더 잘 찾을 수도 있습니다. 그러나 인공지능을 구현한 Deep Learning의 방법론은 알고 있지만 어떻게 인공지능이 승리의 수를 찾을 수 있었는지는 인간은 완전히 알지 못합니다. 2017년 12월에는 Supervised Learning이 아닌 규칙만 가르쳐 주고 그 규칙에 따라 스스로 바둑을 공부한 AlphaGo Zero가 Supervised Learning 으로 학습한 AlphaGo를 모두 이겼다고 AlphaGo를 만든 DeepMind사가 발표하였습니다. 이렇듯 앞으로의 경쟁에서의 승리의 조건은 또 다른 국면으로 전환한 것이라고 생각됩니다.
이 책은 2016년부터‘KAIST 산업 및 시스템 공학과’ 초빙교수로 재직하면서 강의한 ‘무기체계 분석’ 과목 중 일부를 정리한 것입니다. 무기체계 분석은 무기체계의 발전사, 전략과 무기체계의 관계, 무기체계의 구조와 능력, 무기와 표적의 할당, 무기체계의 신뢰도?가용도?정비도, 전투 Modeling & Simulation(M&S), 강내외 탄도학 등 다양한 분야를 다루는 학문입니다. 이 중 수학적 전투 Modeling 분야의 각종 서적과 논문을 요약하여 관심있는 군사학 관계자들과 후학들이 쉽게 이 분야를 공부할 수 있도록 요약하였습니다. 이 책을 저술하면서 수학적 전투 Modeling에 관심이 있는 후학들에게 방법론의 정수를 쉽게 이해시키기 위해 많은 예제를 포함하였습니다. 이 책은 국방관련 대학 및 대학원의 교재, 방위산업 기업, 국방관련 연구소, 합참 및 각군 분석기관 등에서 사용될 수 있을 것으로 생각됩니다.
수학적 전투 Modeling은 영국의 항공공학자인 Frederick William Lanchester가 1차 세계대전시 공중전 분석을 기초로 한 Lanchester Equation이 그 시초라고 할 수 있습니다. Lanchester Equation은 전투의 해석뿐만 아니라 기업간의 경쟁, 조직간 경쟁, 스포츠에서의 경쟁, 개인간의 경쟁에서도 그 영향력을 발휘할 수 있습니다. 군사적 Domain은 민간 Domain의 하나의 특수한 경우라고 생각할 수밖에 없기 때문에 이러한 해석이 가능한 것입니다.
이 책의 목표는 경쟁관계에 있어서 중요한 승리의 요인을 찾아 미리 준비하고 경쟁에서 적용함으로써 승리할 수 있는 조건을 달성하는 방법론을 소개하는 데 있습니다. Lanchester Law를 설명하는 기반은 군사적 배경이지만 다른 영역으로의 해석은 독자들의 몫입니다. 군사적 영역에서 민간의 다른 영역으로의 Mapping은 그다지 어려운 것이 아니고 간단한 아이디어와 노력으로 가능할 것으로 생각됩니다. 이 책의 일부에서도 이러한 방법을 소개하고 있습니다.
이 책이 나오기까지 많은 격려를 아끼지 않은 KAIST 신성철 총장님과 김수현 부총장님, 산업 및 시스템공학과 학과장 이태식 교수님을 비롯한 학과의 모든 교수님들께 감사의 말씀을 드립니다. 특히, 저의 박사학위 지도교수이자 은사이신 박성수 교수님께 존경의 말씀을 드리고 싶습니다. KAIST에서 초빙교수로 일할 수 있도록 기회를 준 한국연구재단 홍정의 과장님께도 감사의 말씀을 드립니다. 또한, 이 책의 교정을 맡아준 육군분석평가단 김각규 박사, 정원일 박사, 김재오 박사께도 감사의 말씀을 드립니다. 집필간 전적인 신뢰를 표시해주고 힘을 보태준 아내 장은주와 두 딸 권하진, 권예인에게도 사랑과 감사의 말을 전하고 싶습니다.
그러나 이 책은 많은 내용을 국내외 각종 도서와 논문, 인터넷으로부터 가져와 나름대로 해석하고 정리한 것이기 때문에 내용적으로 완벽하지 않을 뿐만 아니라 많은 오류가 있을 수도 있습니다. 독자들께서 오류를 지적해 주시면 부족한 부분은 향후 개정판을 통하여 발전시키고 더 많은 전투에 대한 수학적 분석과 승리의 조건을 추가하여 발전시켜 나갈 것을 약속드립니다.

2019. 1. 4 KAIST에서 권오정