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유추를 통해 창의적으로 문제를 해결하는 과정을 설명한 수학책

수학을 탐구하는 중요한 방법 중 하나인 유추를 소개하고 이를 통해 창의적으로 문제를 해결하는 과정을 설명한 책. 실제 학생들을 지도하는 데 도움이 되도록 구체적인 예제를 수록했으며, 각 에제들이 큰 흐름 속에서 유기적으로 연결되도록 구성했다.

※ 승산 북카페 "이 책의 포럼" ☞ analogy.seungsan.com
(오탈자 정리해서 올려두었습니다! )

요즘 초등학생들 사이 19단 외우기 열풍이 한창이다. 그러나 이를 경계하는 목소리 또한 높다. 19단 암기는 오히려 학생들의 수학적 흥미도와 창의성을 떨어뜨린다는 것이다. 수학자들도 숙련된 계산력보다는 창의적인 사고력을 키우는 데 노력을 기울여야 한다고 말한다. 특히 수학을 ‘공식에 숫자를 대입해 문제를 푸는 교과’로 전락시킨 주원인인 주입식 교육을 하루 빨리 개선해야 한다고 입을 모은다.

한편 대부분의 학생들은 교과서를 비롯하여 참고서와 각종 문제집을 섭렵하기 위해 애쓴다. 문제를 많이 접할수록 더 높은 점수를 맞을 수 있다는 생각이 학생들 머릿속에 자리 잡고 있기 때문이다. 그러나 수학적 사고력은 풀어 본 문제 수에 비례하여 향상되는 능력이 아니다. 기존 지식을 그대로 적용하여 문제를 푸는 행위는 오히려 사고력을 저하시킬 수도 있다. 크룰릭(Krulick)과 러드닉(Rundnick)은 ‘문제해결(Problem-solving)의 대상이 되는 문제(Problem)란 목표 상태로 도달하기 위해 깊은 사고가 요구되는 상황’이라고 하였는데, 이 정의에 따르면 문제해결은 반드시 문제해결자의 사고 과정을 수반한다. 즉 사고를 요하는 문제를 많이 접하고 이를 해결하려고 끝까지 노력할 때에 비로소 수학적 사고력이 신장되는 것이다.

학교 수학 시간을 떠올려 보자. 학생들은 대체적으로 교사들이 문제를 푸는 행위를 구경하거나 이를 베끼면서 수학 시간을 보낸다. 교사와 다른 방식으로 문제를 풀어냈더라도 이를 발표하는 학생은 드물다. 또한 교사의 설명이 이해되지 않아도 무안을 당할까 무서워 질문하지 못한다. ‘질문 없는 교실, 참여 없는 교실’은 일방적인 주입식 교육으로 굳어진 우리 수학교육의 현 주소를 그대로 보여준다. 이러한 수업에 길들여진 학생들은 스스로 문제를 탐구하고 추측하며, 자유롭게 의견을 교환하는 가운데 반성하거나 새로운 아이디어를 발견하는 과정을 경험하지 못한다. 따라서 학생들에게 수학적 창의성과 사고력도 기대하기 힘든 것이다.

21세기는 지식기반사회로서 어느 때보다도 창의적 사고가 요구되는 시대이다. 앞으로 학생들이 대면하게 될 문제들은 지금과는 비교할 수 없을 만큼 창의적이고 합리적인 사고를 필요로 할 것이다. 그리고 이러한 자질이 ‘사고 교육’을 본질로 하는 수학교육을 통해 가장 효과적으로 길러질 수 있음은 부정할 수 없는 사실이다. 특히 수학적 사고의 특징인 유연성과 발전적 적용 가능성으로 말미암아, 시대가 변하고 사회가 진화될수록 진정한 수학교육의 중요성은 날로 커지고 있다.



그렇지만 우리나라 수학교육, 특히 중등교육은 시대적 요구에 역행하여 실행되고 있는 듯하다. 우선 수학적 흥미도가 최고조에 달하는 12, 14세 때부터 본격적인 입시교육이 시작된다는 점을 지적할 수 있다. 교사들은 학생들이 대입 관문을 좋은 성적으로 통과할 수 있도록 그들을 훈련시킨다. 수학을 깊이 있게 가르치는 일은 모두 대학과정에 떠넘기고서, 중등수학교육은 점수를 위한 교육으로만 기능하고 있는 것이다. 더욱 심각한 문제는 이러한 반수학적 풍조가 오래 전부터 지적되었음에도 불구하고 쉽게 개선되지 않는다는 사실이다. 결국, 창의성과 사고력을 해치는 입시 위주의 수학교육은 미래형 인재를 키우는 국가적 사업에도 큰 차질을 빚을 수밖에 없다.





도서출판 승산은 현 수학교육에 새로운 방향을 제시할 필요성을 느끼고, 실질적인 해결 방법 중 하나로, 러시아 영재수학교육에 주목하였다. 그들의 컨텐츠를 교사들에게 제공한다면 우리나라 교실에서도 충분히 훌륭한 교육이 이루어질 수 있으리라는 믿음 때문이었다. 수학 자료를 모으기 위해 10여 년 전쯤 모스크바대 수학과의 초청을 받아 러시아를 방문하기도 하였다. 이것이 계기가 되어 모스크바대학 및 꼴모고로프 영재학교와 한국수학교육학회의 학문적 교류에 결정적인 역할을 해 온 승산은, 앞으로 『유추를 통한 수학탐구』를 시작으로, 러시아의 저명한 수학과 교수들의 수학책을 차례로 출간할 예정이다. 이미 러시아 영재학교에서도 교재로 쓰일 만큼 교수학적 효과가 검증된 책을 엄선하여 현재 총 5권의 원고를 계약해 놓은 상태이다. 이러한 시도가 역사 깊은 러시아 수학영재교육의 우수성을 국내에 소개하고 알리는 교두보 역할을 할 수 있길 바라며, 나아가 수학의 본질에 충실한 참신한 수학교육 방법을 찾는 교사들에게 새로운 돌파구를 마련해 줄 수 있길 기대해 본다.

머리말
유추의 본질 및 관련 개념들
01 유추에 의한 추리
02 유추와 관련 개념들
03 분석과 유추
04 유추와 일반화
05 유추와 수학적 창의성
06 개념유추와 방법유추
07 유추에 의한 오류

유추를 통한 수학탐구
08 삼각형에서 각의 이등분선
09 다각형의 넓이와 다면체의 부피
10 수학사에서의 유추
11 삼각형과 사면체의 유추
12 삼각형과 사면체의 무게중심
13 삼각형의 이등분선과 사면체의 이등분선
14 직각삼각형과 이등변삼각형, 직사면체와 삼등면사면체, 삼각형과 사면체의 높이
15 삼각형과 사면체의 토리첼리의 점
16 삼각형의 각들, 사면체의 이면각과 삼면각
17 삼격형의 넓이, 사면체의 부피
18 구면과 다면각, 다면체의 결합
찾아보기

● 유추를 활용한 수학탐구의 예 : 삼각형의 중심 개념과 유추

중학교 교과서에 보면, 삼각형에서 꼭지점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 중선, 이들의 교점을 무게중심이라 정의하고 있다. 삼각형의 중선개념을 볼록사각형의 중선, 사면체의 중선으로 유추할 수 있다. 이를 위해, 삼각형의 중선에 대한 면밀한 분석을 수행하자.

삼각형에서 한 꼭지점과 대변의 중점을 연결한 선분을 중선이라고 정의했다. 이때, ‘변의 중점’, ‘삼각형의 대변’을 분석하면, 변의 중점은 변의 무게중심이며 삼각형의 대변은 삼각형에서 한 꼭지점을 제외한 나머지 꼭지점들로 이루어진 도형이다. 결국, 삼각형의 중선은 ‘한 꼭지점과 나머지 꼭지점들로 이루어진 도형의 무게중심을 연결한 선분’이 된다. 이로부터, 볼록사각형의 중선을 유추하면, ‘한 꼭지점과 나머지 꼭지점들로 이루어진 도형의 무게중심을 연결한 선분’으로 정의할 수 있다.

한편, 사면체의 중선은 ‘한 꼭지점과 마주보는 면의 무게중심을 연결한 선분’으로 정의할 수 있다. 기술한 볼록사각형과 사면체의 중선의 정의는 꼴모고로프의 정의(Kolmogorov N.A. (1934). Obobshenie teoremy Xuzelya, Matematicheskoe prosveshenie 2, pp.19-20.)와 일치한다. 삼각형에서와 같이, 중선들의 교점을 볼록사각형, 사면체의 무게중심으로 정의한다.

이제, 삼각형의 무게중심에 관한 정리를 볼록사각형, 사면체로 다음과 같이 유추할 수 있다.

ꋯ삼각형의 세 중선은 한 점에서 교차하고, 교점은 각 중선을 2:1로 나눈다.
ꋯ볼록사각형의 네 중선은 한 점에서 교차하고, 교점은 각 중선을 3:1로 나눈다.
ꋯ사면체의 네 중선은 한 점에서 교차하고, 교점은 각 중선을 3:1로 나눈다.

여기서 한 가지 주목할 것은 삼각형에서는 무게중심이 각 중선을 2:1로 나누는데, 볼록사각형과 사면체에서는 무게중심이 각 중선을 3:1로 나눈다는 것이다. 이때, 삼각형의 무게중심이 각 중선을 2:1, 즉 일정한 비로 나누므로, 볼록사각형이나 사면체에서도 무게중심이 각 중선을 일정한 비로 나눈다는 유추할 수 있고, 볼록사각형이나 사면체에서 비의 값은 연역적인 증명과정에서 정확하게 밝혀질 수 있다.

- 3장 분석과 유추 중에서