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『맨손 기하』는 4~5학년의 발달 단계를 반영한 기하 수업 책이다. 공간을 평면으로 인식하는 때에는 움직이는 기하 형태그리기를 통해 세상을 경험하고, 3차원 공간을 파악하기 시작한 4~5학년에서는 원, 삼각형, 사각형 등 형태의 특징을 알고, 비교하며 서로 어떤 관계가 존재하는지 찾는 방식을 배울 수 있도록 구성했다.

푸른씨앗 발도르프 교과 과정 시리즈
피타고라스 정리를 만나기 전, 『맨손 기하』

발도르프학교가 추구하는 교과 목표를 설명하고, 수업 예시가 담겨있는 「푸른씨앗 교과과정 시리즈」 일곱 번째 책. 최초의 발도르프학교 학생이자 수십년 교사 경험을 한 저자 에른스트 슈베르트는 미국 발도르프학교 담임교사들을 위한 8권의 책(기하 4권, 수학 4권)을 집필하였으며, 현대 수학 교육에서 소홀히 다루고 있는 기하 수업의 중요성을 일깨운다. (저자의 교과시리즈에는 『형태그리기』 ISBN 978-89-957337-6-9 이 있다)

이 책은 4~5학년의 발달 단계를 반영한 기하 수업 책이다. 10세 무렵부터 아이는 내면에서 큰 변형을 겪으며 주변 세상과 좀 더 의식적인 관계를 맺기 시작한다.
공간을 평면으로 인식하는 때에는 움직이는 기하 『형태그리기』 를 통해 세상을 경험하고, 3차원 공간을 파악하기 시작한 4~5학년에서는 원, 삼각형, 사각형 등 형태의 특징을 알고, 비교하며 서로 어떤 관계가 존재하는지 찾는 방식을 배운다.

개념의 근원을 경험하고 느낀다

지난 시간을 돌아보면 “왜 갑자기 피타고라스 정리가 중요한 거지?” 했었던 경험이 있을 것이다. 이 책은 개념을 쥐어 주는 것이 아니라 아이들에게 형태 세계에 대한 관심을 키우게 하고, 그 다음 단계로 피타고라스 정리를 만나도록 하는 중요한 과정이 소개되어있다.

아이들은 1학년부터 형태그리기에서 경험한 익숙한 것들을 맨손 기하, 맨손 기하에서 컴퍼스와 자를 이용한 작도로 단계별로 차근차근 발전시키며 개념의 근원을 경험하고, 내용을 느낄 수 있다.

엄청난 문제 풀이에 지친 아이들에게 수학적 상상을 자극할 뿐만 아니라, 세상에 대한 경외감 속에서 수학을 만나게 된다. 수학에 흥미와 열의를 지속시킬 수 있는 도움이 필요한 교사와 부모를 위한 책.

「발도르프 교과과정 시리즈」 소개

발도르프학교가 추구하는 교과 목표를 설명하고, 수업 예시가 담겨있는 「발도르프 교과과정 시리즈」 책. 지금까지 『형태그리기』 『형태그리기 1~4학년까지』 『발도르프학교의 형태그리기수업』 『발도르프학교의 미술수업』 『청소년을 위한 발도르프학교의 문학수업』『발도르프학교의 수학』이 있다.

발도르프 교육은 1919년 독일의 철학자 루돌프 슈타이너에 의해 세워져, 1994년 유네스코 제44차 세계교육장관회의에서 ‘21세기 개혁교육의 모델’로 선정되었다. 국내에는 2002년부터 청계자유발도르프학교를 비롯하여 12개의 발도르프 학교가 운영되고 있으며, 지역별로 발도르프 교육을 배우는 교사모임이 늘어나고, 혁신학교에서도 발도르프 교육을 차용하려는 움직임이 활발해지고 있다.

“이런 내용을 어느 학년에 소개하는 것이 아이들에게 가장 건강하고 적절할까?”
발도르프 교육은 아이들의 연령에 따라 변화하는 신체, 영혼 특징을 이해하며, 아이들마다 고유한 발달 단계에 적합한 수업을 중요시한다. 한 과목을 3~4주에 걸쳐 아침 2~3시간 동안 집중해서 수업하는 방식으로 진행하며, 주기집중수업시간에는 국어, 수학, 과학, 지리, 역사 등을 배운다. 1학년부터 8학년까지는 한 명의 교사가 주요수업을 가르친다. 아이들은 한 학교에서 친밀한 교사들에게서 안정되고 건강하게 배움을 키워나간다. 9학년부터 12학년까지 상급과정부터는 전문 과목 선생님이 가르치게 된다. 「발도르프 교과과정 시리즈」 는 발도르프 학교 뿐만 아니라 공교육 교사, 학부모, 다시 배우고 싶은 모든 사람들에게 도움과 영감을 주기를 바란다.

발도르프 교육 전문 도서출판 푸른씨앗 greenseed.kr

책속으로 추가

43쪽 ___
9, 10세 무렵에 일어나는 중요한 발달 단계를 거친 아이들은 내적으로 전보다 훨씬 깨어있는 의식으로 공간 개념을 다룰 수 있게 된다. 원근법으로 공간 관계를 보는 것은 6학년에서야 시작하고 입체 기하는 상급과정부터 배우지만 그 전부터도 기회가 닿는 대로 형태와 공간의 관계에 대해 이야기하는 것이 좋다.
특히 구체가 만드는 그림자는 관찰하기에 더없이 좋은 소재다. 아침 햇살이 잘 들어오는 교실이라면 미술상에서 스티로폼 공을 사두고 맑고 환한 날을 기다린다. 수업 일정에 무리가 되지 않는다면 그날은 햇살이 비쳐 들어오는 교실에서 구가 만드는 그림자를 관찰한다.

61쪽 ___
원 그리기 연습

원의 특성에 대한 토론과 함께 맨손 기하 연습도 병행해야 한다. 아래 소개한 그림 중 몇 가지는 아래 학년에서 그려본 것일 수 있다. 그렇더라도 그릴 때마다 새로운 측면을 경험하게 되고, 그림의 완성도가 높아진 것을 보면서 그동안 자신들이 얼마나 성장했는지도 느낄 수 있기 때문에 문제는 되지 않는다. 컴퍼스와 자를 도입해서 동일한 그림을 작도해보는 것도 좋다. 과거에 그렸던 그림을 떠올리면서 손의 능력과 도구의 정확성을 비교해볼 수 있다.

① 원(그림 57)
② 내부에서 외부로 쌓이며 형성되는 동심원(반대방향으로도 그려본다)(그림 58)
③ 성장하는 씨앗(그림 59)
④ 한 점과 한 직선 사이에 여러 개의 원을 균형 있게 포개기(그림 60)
⑤ 원 안에 그린 여러 개의 삼각형 (유연한 지각과 형태 비교 연습)(그림 61a, b)
⑥ 원으로 만든 꽃모양(그림 62)
⑦ 오각형 안에 그린 다섯 꼭짓점 별(그림 63)
⑧ 사각형 안에 사각형 계속 포개기(그림 64)

나이 마흔을 넘고 보니 ‘하늘 아래 새로운 것은 없다’라는 말이 어느 것도 내 것이 아니라는 겸손의 표현이 아니라 팍팍한 세상에 대해 더 이상 알고 싶지 않다라고 읽힐 만큼 세상이라는 것이 두렵고 어렵고 그렇습니다. 이대로 그냥 살다가 죽는 건가? 라는 생각도 들고요. 어쩌면 이런 시기여서 제가 기하학을 만났는지도 모르겠습니다. 아이가 어떤 것을 배우고 어떻게 느끼는지 궁금했으며 발도르프학교에 아이를 둔 부모로서 약간의 의무감을 가지고 기하학을 만났습니다. 생활인으로서 일상에 전혀 도움이 되지 않을 법한 기하학 공부, 번역이라는 것이 매번 힘들었지만 안으로만 파고들던 긴장된 일상에서 저를 밖으로 꺼내서 조금 더 크게 바라보게 해주었습니다. 조금씩 다른 숨을 쉰다고 느낄 때마다 애쓴 시간에 대한 보상이라 생각했습니다. ‘일반사각형은 원근법으로 보면 모두 정사각형이다’라는 명제에서 우리 모두는 다르지만 인간의 중심은 하나로 연결되어 있을지도 모른다는 생각이 들었습니다. 어느 땐가 나뭇잎의 도형을 바라보다 이런 생각도 들었습니다. ‘우리 인간은 이 지천에 널린 흔하디 흔한 작은 풀잎 하나 만들지 못하는구나.’ 어찌 보면 정말 평범한 사실인데 그날따라 세상이 다르게 보이더군요. 담임 선생님께서 ‘아이들 교육에서 중요한 것은 경외감입니다’라고 하시던 말씀이 이제야 이해가 되는 듯 했습니다. (청계자유발도르프학교 학부모)

머리말
4학년
형태그리기에서 기하학으로
-원에서 타원으로
형태의 비교 관찰
-원에서 삼각형으로
사각형
-사각형 가문
-사각형의 주요 특징 구 주변의 빛과 그림자

5학년
원의 성질
-원
-원의 경계를 결정하는 직선과 점
-점과 원, 직선과 원의 관계
-원의 대칭
-원 그리기 연습
컴퍼스와 자 도입
-용어와 표기법
-직선과 원 연습
-컴퍼스와 자를 이용한 작도의 예

기본 기하 작도
-방법
-수직이등분선
-선분의 이등분
-직선 위의 한 점에서 수선 올리기
-연직선 그리기(수선 내리기)
-각의 이등분
-선분 옮겨 그리기
-각 옮겨 그리기
-직선에 평행하면서 한 점을 지나는 평행선
-두 평행선의 중앙을 지나는 평행선
-마무리 연습

피타고라스 정리와의 첫 만남

맺음말
미주
옮긴이의 글

일러두기 ___
책 본문 그림이 흑백이라 잘 표현되지 못한 부분이 있다. 그래서 색을 입힌 그림과 보충 연습, 추가 설명을 담은 인터넷 웹 사이트(http://www.greenseed.kr/Geometry)를 따로 제작했다.

12쪽 ___
기하 그림의 아름다움은 겉으로 드러나는 요소보다 그 속에 담긴 기하 법칙에 있다. 과도한 색칠이나 장식은 그림을 통해 기하 법칙을 드러내고 심오한 의미를 통찰하는데 오히려 방해가 될 수 있다. 아이들을 형태로 이루어진 기하의 세계 속에서 상호관계성을 경험하면서 능동적으로 참여하게 하면, 나중에 진리에 대한 질문을 영혼에 품고 참된 수학의 눈으로 세상을 바라볼 수 있게 될 것이다.

20쪽 ___
매일 밤 같은 시간에 같은 방향(예를 들어 남쪽)을 보면 똑같은 별이 매일 약 4분 정도 일찍 같은 자리에 도착한다는 것을 알게 된다. 대략 360일(좀 더 정확하게는 365.25일), 다시 말해 일 년이 지나면 그 별은 맨 처음 관찰을 시작했던 그 자리에 다시 나타날 것이다. 이런 식으로 밤하늘에서 별들의 위치는 매일 조금씩 달라진다. 고대인들은 이런 별의 위치 이동을 기준으로 천구의 회전을 가늠했다. 365.25보다는 360이 계산하기 편하기 때문에 한 바퀴의 1/360을 각도 측정 기본 단위로 정했다. 이 단위를 1도라고 부르며 1°라고 쓴다. 길이 측정 단위(미터, 야드 등)는 땅 위를 걷는 인간을 기준으로 나왔지만 회전 측정의 기준은 하늘의 움직임에서 왔다. 이는 우주적 단위인 것이다.

32쪽 ___
사각형 가문
사각형 가문의 시조 ‘정사각형’ 씨에게는 달라도 너무 다른 남매가 있었다. 첫째인 아들은 아주 성실하지만 지독하게 원칙적이고 고지식하며 융통성이 없다. ‘직사각형’이라는 이름의 이 아이는 언제 어디서나 모든 사람을 기쁘게 하고 싶어 했다. 그래서 여간해서는 자기주장을 내세우는 일이 없었다. 누가 부탁하거나 지시하기 전까지는 먼저 나서지 않으려하기 때문에 오랜 세월 동안 그냥 직사각형으로 살았다.(그림 19)
한편 여동생은 오빠와 완전히 딴판이었다. 오빠와 달리 우아하고 유연하고 싶었지만 동생 역시 사각형 가문의 후손이기 때문에 모나고 딱딱한 면이 조금은 있었다. 동생의 이름은 ‘마름모’. 어떤 상황에서나 직각만 내보이는 것은 마름모의 눈에 너무 지루하고 고지식해 보였다. 그래서 마름모의 각은 어떤 때는 뾰족하고 어떤 때는 둔했다. 하지만 멋지고 균형 잡힌 몸매를 위해서 마름모는 모든 변의 길이를 항상 동일하게 유지했다.(그림 20)...

40쪽 ___
사각형 형태에 대해 토론과 함께 그림도 그려봐야 한다. 토론과 병행해서 그려보기에 좋은 연습 몇 가지를 소개한다.

사각형 그리기 연습
① 중심이 동일한 정사각형(그림 29)
② 한 점을 기준으로 크기가 점점 커지는 정사각형(그림 30)
③ 정사각형 내부에 또 다른 정사각형이 계속 들어가는 형태(그림 31)
④ 여러 개의 직사각형이 원을 이루는 형태(그림 32)
⑤ 수평 지름부터 수직 지름까지. 대칭축이 동일하고 한 변의 길이가 동일한 여러 가지 마름모(그림 33)
⑥ 공통의 꼭짓점을 가진 마름모들로 이루어진 별(그림 34a, b)
⑦ 밑변과 높이가 같은 평행사변형들. 이 그림 속에서 찾을 수 있는 또 다른 사각형은 어떤 것이 있나?(그림 35)
⑧ 평행사변형으로 이루어진 별(그림 36)
⑨ 이등변 삼각형 내부의 등변사다리꼴. 사다리꼴의 형태가 조금씩 달라진다. (그림 37)
⑩ 원의 현을 이용한 등변사다리꼴(그림 38)
⑪ 델토이드 별(등각사변형, 그림 39)
⑫ 사각형을 동일한 형태의 조각으로 나눌 때 다양한 사각형에서 가장 쉽게 만들 수 있는 형태는 무엇인가? 가능한 한 여러 사례를 찾아보라.