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각종 선거 제도가 지닌 수학적 오류!

민주주의를 애태운 수학의 정치적 패러독스 『대통령을 위한 수학』. 민주주의의 가장 소중한 절차에 내재된 문제와 위협에 대한 역사적 고찰이자 해석을 담은 책이다. 고대 그리스와 로마의 사상가였던 플라톤과 플리니우스로부터 출발해 중세시대의 라몬 유이와 니콜라스 쿠에스, 프랑스혁명의 영웅이자 희생자인 장-샤를 보르다, 미국 건국의 아버지들을 살펴보고 애로, 기버드, 새터스웨이트, 영, 밸린스키와 같은 현대 학자들의 사상을 들어보며 민주절차와 관련된 문제와 해결책을 찾기 위한 시도를 쉽게 풀어내고자 한다.

민주주의의 가장 소중한 절차, 즉 투표와 선거에 담긴 문제가 어떻게 민주주의를 위협하고 있는지 살펴보는 이 책에서 저자는 민주주의가 시작된 시대로부터 지금에 이르기까지 어떻게 민주주의가 완성되었는지를 역사적으로 서술하며 그 시대가 요구하고 있던 가치와 이상향을 어떻게 현실에 적용하고 제도로써 실현해 왔는지 보여주고 있다. 미완의 민주주의가 제 모습을 찾기까지의 과정을 기하학 수준을 넘어서지 않는 선에서 보여주며 중학교 수준의 수학지식만 있으면 내용을 이해할 수 있도록 했다.

“민주주의 국가를 가장 비민주적으로 만드는 것은
바로 선거다!”
민주주의를 완성하기 위해 팔을 걷어붙인 수학자들이 맨 처음 맞닥뜨린 수학의 난제들!

다수결의 함정에 빠진 미완의 민주주의!
수학자들이 정치제도를 완성하기 위해 팔을 걷어붙인 이유!

대선 때마다 화두로 떠오르는 것이 있다. 바로 ‘후보 단일화’ 문제다. 여러 가지 이유가 있겠지만 그 모든 과정 뒤에는 최소한 3위 이하의 후보들과 압도적인 격차를 벌이는 1위와 2위만을 놓고 투표를 해야만 유권자들의 의사가 온전히 반영된다는 수학적 원리가 숨겨져 있다. 그러나 결선 투표의 승리를 위해 경선 및 후보 단일화 과정을 거치다 보면 미심쩍은 부분이 한두 가지가 아니다. 왜 단일화를 해야만 할까? 우리가 원하는 후보를 그대로 뽑으면 어떤 결과가 나올까? 아쉽게도 투표가 끝난 후에 대선에 나서지 않은 다른 후보들까지 아울러 선호도를 조사해본 적이 없기 때문에 우리가 그 결과를 알 수는 없다.

하지만 이 책에 그 궁금증을 풀어줄 여지가 있어서 다행이다. 저자는 경선을 거쳐서 결선 투표를 하는 선거법에 대해 다루면서 지난 2007년 프랑스 대선에 수행했던 재미있는 연구 결과를 언급한다. 당시 결선투표에서 사르코지가 전체 투표수의 53%를 차지함으로써 루아얄 후보를 손쉽게 따돌리고 프랑스 대통령으로 당선됐다. 하지만 과연 사르코지가 프랑스 국민들이 가장 선호하는 후보라고 할 수 있을까? 선거법을 연구하는 밸린스와 라라키는 선거 결과가 국민의 의견을 정확하게 반영하고 있는지를 조사하려는 목적으로 투표소를 나오는 유권자들에게 경선에 나선 9명의 후보에게 좋음, 보통 나쁨으로 등급을 매겨달라고 했다. 결과는 매우 뜻밖으로 가장 좋은 평가를 받은 후보는 경선에서 3등으로 탈락한 프랑수아 바이루였다.

이 황당한 결과를 어떻게 납득할 수 있을까? 현재 벌어지고 있는 선거에서도 같은 역설이 존재하고 있는 것은 아닐까? 더 놀라운 점은 이 조사 결과가 의미하는 문제, 즉 선거가 오히려 대의민주주의의 가장 선한 가치를 왜곡하고 있다는 역설을 둘러싼 논쟁이 최근 몇 년 사이에 벌어진 새로운 것이 아니라는 사실이다. 이상과 가치관이 집약된 정치제도를 현실에 적용시키는 과정에서 현실과의 괴리가 보이는 것은 당연하다. 하지만 이 민주주의를 성립시키는 핵심 제도인 선거에서 발생한 문제는 수학자들마저 정치에 관심 갖게 만들고야 말았다.

어떻게 해야 소수 의견을 합리적으로 반영할 수 있는가?
어느 누구도 불만 갖지 않을 선거 제도를 찾아야 한다!

한때, 가수들이 나와 가창력을 겨루고 청중투표단을 통해 매주 탈락자를 가리는 예능 프로그램 <나는 가수다>에서 탈락자 선정 방식을 두고 시청자들끼리 논쟁이 벌어진 적이 있었다. 탈락자가 발표될 때마다 결과를 납득하지 못한 시청자들은 프로그램의 진행 방식을 꼬집었다. 중복 투표를 허용하자는 의견이나, 청중투표단이 1위를 선택하는 것이 아니라 꼴찌를 선택하도록 투표 방식을 변경해야 한다는 내용까지, 그들 제안의 일부는 꽤 전문적이어서 기사로 나갈 정도였다. 탈락자 선정 방식에 대한 논쟁은 프로그램, 혹은 탈락한 가수들의 인기만큼 네티즌들 사이에서 한동안 뜨겁게 달아올랐다.

재미있는 것은 그때 가수들 순위를 매기는 방식을 시청자들이 다양하게 제시하고 이를 두고 갑론을박한 과정이 민주주의가 발전해온 과정과 닮아 있다는 점이다. 민주주의 국가에서 선거 제도가 지닌 문제들은 우리 주변에도 산적해 있다. 투표가 그렇게 중요하다면 왜 의무로 지정하지 않는가? 비례대표제를 통해 전국구 의원을 뽑을 때 각 지역에 퍼져 사는 소수 정당 지지자들의 표는 그들의 존재 여부와 상관없이 투표 절차 때문에 사표(死表)가 되는 것이다. 소수 정당을 지지하는 사람들끼리 한 지역에 모여서 거주한다면 오히려 의석을 확보할 수 있었다.

위에서 알 수 있듯이, 수백 년간 세계 정치의 근간이 되어온 민주주의 제도와 절차에 결함이 있다고 말하면 아마도 많은 사람들이 놀랄 것이다. 한 사람이 1표만을 행사할 수 있는 평등한 제도라는 인식이 큰 작용을 했을 것이다. 그러나 민주주의의 절차는 종종 납득이 되지 않는 결론을 도출하곤 한다. 수학자이자 칼럼니스트로 활동하고 있는 조지 슈피로는 많은 자료 조사와 비교 과정을 통해 각종 선거 제도가 지니고 있는 수학적인 오류를 기술한 책을 펴냈다. 이 책은 민주주의의 가장 소중한 절차, 즉 투표와 선거에 내재된 문제가 어떻게 민주주의를 위협하고 있는지에 관한 역사적 고찰이자 해석이다.

플라톤부터 현재까지 민주주의를 괴롭히는 수학의 역설!
민주주의는 이상과 현실의 괴리를 좁혀 가는 시도로부터 완성된다!

이야기는 2,500년 전으로 거슬러 올라가 고대 그리스 시대의 철학자 플라톤으로 시작한다. 플라톤은 중우정치를 혐오해 민주주의를 경계했던 인물로 잘 알려져 있다. 플라톤에게 있어, 민주주의가 들어선다는 건 절대로 바람직한 결과가 아니었다. 교육을 받지 못한, 국정운영에 적합하지 못한 일반 대중이 정치에 참여하게 되면 전혀 경험도 없고 알지도 못하는 사안에 대해서도 모두가 투표로 자신의 발언권을 행사하려 할 것이다. 플라톤은 고민 끝에 투표기간을 길게 정함으로써 일터에 나가지 않아도 되는, 즉 삶의 여유가 있는 지도층 외에 서민의 투표권 행사가 자연스럽게 줄어들 방안을 고안해내기에 이른다.

프랑스 혁명기에는 ‘콩도르세의 역설’이 발표됨으로써 민주주의가 한 단계 진일보하는 계기가 되었다. 18세기 프랑스 귀족인 장?마리 마르키 드 콩도르세 후작의 이름을 딴 이 역설은, 우리가 오래전부터 소중하게 여겨온 가치인 ‘다수결’이 아주 역설적인 상황을 야기한다는 점을 잘 보여준다. 이 콩도르세의 역설은 단순히 소수 의견이 더 옳을 수도 있다는 의미 외에 다수결 자체가 가지고 있는 치명적인 오류를 제시한다. 이 난제가 약 200년에 걸쳐 수학자, 통계학자, 정치과학자, 경제학자 들을 괴롭혀왔지만 안타깝게도 여전히 해결책은 나오지 않았다.

민주주의의 문제들은 지금도 끊임없이 지적되고 있다. 20세기 중반에 노벨상을 수상한 케네스 애로는 선거의 역설이 피할 수 없는 문제이고, 단 하나의 투표방식을 제외하곤 모든 투표방식에 문제가 있다는 사실을 증명해냈다. 설상가상으로 몇 년 뒤에는 앨런 기버드와 마크 새터스웨이트 역시 단 하나의 경우를 제외하곤 모든 투표방식이 선거조작으로부터 자유롭지 못하다는 사실을 입증했다. 이 결과들이 말해주는 무엇보다 불행한 점은 선거의 역설과 불일관성, 선거조작의 문제로부터 자유로운 유일한 정치방식이 바로 독재라는 사실이다.

이 책은 민주주의가 시작된 시대로부터 지금에 이르기까지 어떻게 민주주의가 완성되었는지를 역사적으로 서술하는 데 그치지 않고 그 시대가 요구하고 있던 가치와 이상향을 어떻게 현실에 적용하고 제도로써 실현해 왔는지를 보여주는 책이다. 역사를 바꿔 놓았던 극적인 순간들은 물론이고 그 과정에서 벌어진 수학자들의 격렬한 논쟁과 흥미 만점의 배경지식까지 다루고 있어 한 페이지도 그냥 넘길 수 없다. 이 책은 독자들에게 미완의 민주주의가 제 모습을 찾기까지의 과정들을 들려주면서 자연스레 자신이 행사한 한 표의 가치를 상기시켜 준다. 그리고 유권자들이 투표의 가치와 맹점에 대해 제대로 알게 될 때 비로소 선거의 역설은 해결되기 시작할 것이다. 그리고 이것이야말로 기우뚱한 채 남아 있는 민주주의를 바로세우는 데 가장 ‘민주주의다운’ 해법이 아니겠는가?

추천사
‘가장 많은 국민이 선호하는 후보는 누구인가?’ 이 단순한 질문에 대한 대답은 뜻밖에도 ‘당선자가 아닌 제3의 후보’다. 이 책에서 조지 슈피로는 역사와 인물, 정치적 음모를 곁들여가면서 가장 공정한 투표를 찾아가는 여정을 아주 흥미롭게 들려준다. 오류로 점철된 우리의 선거절차에 관심이 있다면 꼭 읽어봐야 할 책이다.
- 윌리엄 파운드스톤,『투표게임: 선거가 공정하지 않은 이유』 저자

평범한 독자들을 상대로 민주주의의 역사와 선거 절차를 논하는 책을 쓰기란 결코 쉽지 않다. 하지만 슈피로는 이 일을 멋지게 해냈다. 전문용어를 배제하면서 동시에 그 분야에서 가장 중요한 학자들과 연구결과만을 중점적으로 다뤘다. 이 책은 그동안 부족했던 민주적 선거절차에 대한 논의의 부재를 단번에 충족시키는 중요한 책이다.
- 한누 누르미,『신뢰할 수 없는 투표절차』 저자

이 책은 민주주의, 투표 및 선거에 관한 수학이론, 그리고 의석배정 방식을 발전시켜온 중요 인물들의 이야기를 다룬다. 슈피로는 특히나 민주주의 선거에 뒤따를 수밖에 없는 선거의 역설에 집중하면서, 그 내용을 아주 쉽고 명료하게 설명하고 있다.
- 스티븐 J. 브람스, 뉴욕대 교수, 게임이론 전문가

슈피로가 들려주는 이야기는 흥미로우면서 동시에 매우 의미심장하다. 이 책의 가장 백미는 민주주의와 선거에 대한 자세한 역사적 고찰을 다룬 부분이다. 철저한 자료조사를 바탕으로 쓴 각각의 에피소드는 페이지를 넘길 때마다 흡입력을 더한다. 한마디로 독자들이 푹 빠지게 만들 책이다.
- 앨런 D. 테일러, 『수학과 정치』 공저자

머리말

제1장 민주주의를 경멸한 플라톤
- 어리석은 대중이 국가를 망친다
* 대통령을 위한 브리핑:『국가론』
* 인물 브리핑: 플라톤

제2장 투표 조작에 저항한 플리니우스
- 양자대결방식이 옳은가, 삼자대결방식이 옳은가?
* 대통령을 위한 브리핑: 베수비오 화산 폭발

제3장 투표이론을 최초로 정비한 중세시대 철학자 라몬 유이
- 양자대결과 승자진출방식을 제안하다
* 대통령을 위한 브리핑: 라몬 유이

제4장 니콜라우스 쿠사누스 추기경의 선거이론
- 신성로마제국의 황제를 선출하는 최고의 방식, 버블 정렬!
* 대통령을 위한 브리핑:『교회 일치』

제5장 투표제도의 모순을 지적한 수학자 장-샤를 보르다
- 순위를 매기는 투표방식 '보르다 투표법'
* 인물 브리핑: 장-샤를 드 보르다
*대통령을 위한 브리핑: 보르다 투표법과 다수결 선거의 비교

제6장 '콩도르세 역설'의 발견, 수학자 콩도르세
- 다수의견에는 이행성이 없다
* 인물 브리핑: 콩도르세 후작

제7장 과반수 선거이론, 수하자 라플라스
- 과반수 요건, 전략적 투표는 차악을 택하게 만든다
* 인물 브리핑: 피에르시몽 드 라플라스

제8장 선거이론을 다시 부흥시킨 수학자 찰스 럿위지 도지슨
-『이상한 나라의 앨리스』의 동화작가이자 수학자가 쓴 선거논문
* 인물 브리핑: 찰스 럿위지 도지슨

제9장 전 세계 국회를 괴롭힌 의원배정방식
- 앨라배마 역설, 새로운 주의 역설, 인구 역설

제10장 아이비리그 교수들의 공방전
- 웹스터-윌콕스 방식을 지지한 코넬학파, 헌팅턴-힐방식을 지지한 하버드학파
* 인물 브리핑: 월터 F. 윌콕스/ 조셉 A. 힐/ 에드워 V. 헌팅턴/ 길버트 A. 블리스/ 어니스트 E. 브라운/ 루터 P. 아이젠하르트/ 레이먼드 펄/ 월리엄 포그 오스굿/ 존 폰 노이만/ 말스통 모스
* 대통령을 위한 브리핑: 기하평균에서 올림 또는 버림하기

제11장 케네스 애로의 불가능성 정리
- 완벽한 투표방식은 없다!
* 인물 브리핑: 케네스 조지프 애로/ 앨럼 기버드/ 마크 새터스웨이트
* 대통령을 위한 브리핑: 선택공리/ 괴델과 불가능성 정리

제12장 끝나지 않은 의석할당방식 논란
- 이상적인 의석배정방식은 존재하지 않는다
* 인물 브리핑: 미첼 밸린스키/ H. 페이튼 영

제13장 포스트모던주의자들
- 스위스, 이스라엘, 프랑스의 사례
* 인물 브리핑: 요하난 베이더/ 아브라함 오퍼

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