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초보자와 학자, 학생과 교사, 철학자와 공학자를 위한 이 책은 재미있고 이해하기 쉬운 수학 세계의 초상을 제공하는 수학적 보물의 놀라은 집결체이다. 이언 스튜어트 교수가 새로운 단원을 보태어 시대에 맞도록 개정한 제2판은 최근의 수학 발전의 새로운 내면을 보여주었으며, 4색정리, 페르마의 마지막 증명법을 서술하였다.

체계적인 순서에 따라 썼지만, 페이지 순서대로 또는 단원 순서대로 애써 읽어야 할 필요는 없다. 과정은 갈수록 상급화하고 각 장의 끝과 부록에서 더욱 심오해진다. 그러므로 특수한 지식보다 일반적인 정보를 원하는 독자는 자세한 논의를 피하여 자료를 선택할 수도 있다. 수학적 배경이 약한 학생은 선택해서 읽을 수도 있다. 별표를 붙인 부분 또는 작은 활자로 된 부분은 나머지 부분을 이해하는 데 크게 장애가 되는 일이 없이(처음 읽었을 때에는) 생략해도 되는 부분을 나타낸다. 또 가장 흥미 있는 절 또는 장에 국한하여 이 책으로 학습하는 것도 전혀 해롭지 않다. 대부분의 연습문제는 평범한 것이며 어려운 것은 별표로 표시해 놓았다. 고등학교 교사는 기하학적 작도와 극대 극소에 관한 장에서 특별활동반 또는 선택된 학생집단을 위하여 유용한 자료를 찾을 수 있을 것이다. 이 책이 신입생에서 대학원 수준에 이르기까지의 대학생과 과학에 참된 관심을 가진 전문인 모두에게 도움이 되기를 바란다. 더욱이 수학의 기초 개념에 관한 비정규적인 대학과정의 기초로서 이 책이 도움이 될 것이다. 많은 연습문제들이 각 곳에 수록되었으며 끝부분에 추가문제들이 있어서 교실에서 이 책을 사용하는 데 도움을 줄 것이다.

▲ 개요
이 책의 원본이 1941년에 처음으로 출간되었을 때 각계의 반응은 그야말로 폭발적이었다. 이는 이 책이 수학이 무엇인지 알고자 갈망하는 많은 사람들의 지적 욕구를 충족시켜줄 수 있도록 역사적 사실을 바탕으로 수학의 각 주제에 대한 치밀한 구성과 전개로 수학이라는 학문이 가지고 있는 매력은 물론이고 수학의 구체적인 쓰임새까지도 잘 다루어주고 있기 때문이라 할 수 있다. 이 책이 출판되고 60년이라는 기나긴 세월이 지나는 동안 우리나라에서는 전혀 번역이 시도된 적이 없다는 사실을 안타깝게 생각하여 우리말로 옮기게 되었다. 그러나 이 책의 원서가 처음으로 햇빛을 본 이후 상당히 많은 세월이 흘렀고 그 동안에 수학 자체의 발전도 눈부시게 이루어졌기 때문에 미해결문제라고 생각하였던 4색 문제나 페르마의 마지막 정리 같은 문제들이 유능한 현대의 학자들에 의하여 해결되기도 하였다. 그러한 내용들은 제9장에서 "최근의 발전"이라는 내용으로 다루어지기 때문에 이 책의 전반부에는 오늘날 생각하는 것과는 조금 다른 표현 방법이나 내용이 들어 있다. 최대한 원문에 충실한 번역을 꾀하되 불가피한 경우에는 현대적인 의미를 갖추어 이 역서를 읽는 독자들의 이해를 돕고자 하였다.

우리는 일상생활에서 어렵지 않게 수를 접하고 계산한다. 그러면서 그것으로 수학을 하고 있다고 생각한다. 그러나 엄밀히 이야기한다면 수와 수학은 다른 것이다. 수는 사과에도 들어 있고 채소에도 들어 있으며 오늘날 없어서는 안 될 자동차나 컴퓨터에도 들어 있다. 다시 말하면 수는 사과나 채소 같은 낱낱의 사물이 아니라 그러한 사물을 공통적으로 세는 가운데 얻어지는 추상적이라는 것이다. 그렇다면 수학이란 무엇인가? 바로 이러한 문제를 심도 있게 다루려는 책이 바로 이 책의 내용이다. 오늘날의 수학을 조금이라도 살펴본 적이 있는 사람이라면 누구나 수학을 전문으로 하는 사람들이 아니고서는 도저히 수학의 내용을 알 수 없다고 할는지 모른다. 또한 수학은 더 이상 할 것이 없는 것이 아니냐고 말하는 사람도 있을 것이다. 그러나 대화를 할 때에도 상대를 이해하기 위해서는 지은이가 무엇을 말하려고 하는지 차분하게 그 의미를 음미해야 하고 수학의 본질을 파악하기 위한 노력을 하여야 할 것이다. 따라서 생각하는 데 익숙하지 않은 독자라면 애초부터 이 번역서를 읽는 일은 단념하는 것이 좋다. 그리고 호기심이 없는 경우 또한 이 책을 통하여 별로 얻을 것이 없을 것이다.

수학은 결코 넘을 수 없는 산이 아니다.
그러나 그러한 것은 한걸음 한걸음 착실하게 내딛는 노력이 있을 때에만 가능한 것이다. 이 책은 번뜩이는 수학의 보석을 한데 모은 위대한 고전이다. 요컨대, 이 저

초보자와 학자, 학생과 교사, 철학자와 공학자를 위한 이 책은 재미있고 이해하기 쉬운 수학 세계의 초상을 제공하는 수학적 보물의 놀라운 집결체이다. 이언 스튜어트 교수가 새로운 단원을 보태어 시대에 맞도록 개정한 제2판은 최근의 수학 발전의 새로운 내면을 보여주었으며, 4색정리, 페르마의 마지막 정리의 증명법을 서술하였다.서에서는 이와 같은 문제를 수학 안에서의 문제로 다루고자 하였다. 그러나 수학의 대상의 의미는 "수학적으로 무정의 대상 사이의 관계 및 이들의 연산을 지배하는 법칙만"을 기술하므로 물리적 진실과는 매우 다른 의미를 지닌다. 수학적 사물 자체가 무엇이냐 하는 것은 크게 중요하지 않고, 사물을 계산하는 데 무엇을 하는가에 관계된다. 그러므로 수학은 현실과 비현실 사이를 불안 속에 넘나들고, 그 의미는 형식적 추상 속에 존재하는 것만은 아니지만 그렇다고 실체적인 것도 아니다. 이것이 정연한 범주를 좋아하는 철학자에게 문제를 제기하도록 하게 하지만 수학의 위대한 힘이기도 하다. 수학은 정신적 개념의 추상 세계와 물리적 사물의 현실 세계를 연결시키며, 완전히 어느 한 쪽에 치우쳐 있는 것은 아니다.

형식적 수학은 철자법이나 문법과 같다. 즉, 국지적인 법칙들을 올바르게 응용하는 문제이다. 의미 있는 수학은 저널리즘과 같다. 수학은 흥미로운 이야기를 들려준다. 어떤 저널리즘과는 달리 그 이야기는 참이어야만 한다. 최선의 수학은 문학과 비슷하다. 즉, 수학은 목전의 인생에 이야기를 공급하며, 그 이야기 속에 당신을 지적으로, 감성적으로 함몰시킨다. 수학적으로 말하면 《수학이란 무엇인가》는 매우 문학적인 작품이다. 제2판의 주목적은 쿠랑과 로빈스의 이야기들을 오늘날에 맞도록 하기 위한 것이다. 2천 년 이상 동안 수학에 대한 친숙함은 모든 문명인에게 빼놓을 수 없는 지적 소양으로 생각되었다. 오늘날 교육에서 수학의 전통적 위상은 매우 위험한 상태이다. 불행하게도, 수학의 전문가들이 그 책임을 나누어 가져야 한다. 수학교육이 형식적인 능력을 길러줄지 모르지만 올바른 이해 또는 더 큰 지적 독립성까지는 이끌어주지 못하는 문제 해결의 공허한 훈련으로 퇴보하는 경우가 종종 있다. 수학 연구는 지나치게 특성화하고 추상화를 지나치게 강조하는 경향을 보여왔다. 다른 분야에의 응용과 연관성은 무시되었다.

그러나 이와 같은 상황은 긴축정책을 전혀 정당화하지 않는다. 반대로, 지적 훈련의 가치를 아는 사람들로부터 반대의 반응이 일어나야 하며 또 일어나고 있다. 교사, 학생 및 교육받은 대중은 최소의 저항으로서 포기가 아닌 건설적 개혁을 요구하고 있다. 그 목표는 과학적 사고와 활동에 대한 기초로서 그리고 유기적인 전체로서 수학을 참되게 이해하는 것이다. 전기나 역사에 관한 훌륭한 책들과 자극적이고 인기 있는 글들이 잠재적인 일반적 흥미를 불러일으켰다. 그러나 지식은 간접적 수단만으로 얻을 수 없다. 수학의 이해는 고통이 없는 여흥으로는 전달될 수 없다. 이것은 마치 음악교육에서 화려한 대중매체가 철저하게 귀를 기울여 본 일이 없는 사람에게 아무것도 전해줄 것이 없는 것과 마찬가지이다. 살아 있는 수학의 내용에 실제로 접해보는 것이 필요하다.

그럼에도 불구하고, 전문적인 사항과 우회로는 피하여야 하고, 동기나 목적을 노출하기를 거부하고 참된 노력에 부당한 장애를 주어 가까이하기를 거부하는 독단주의로부터 나오는 고식적인 방법을 강조하지 않도록 수학의 표현이 이루어져야 한다. 기초적인 것부터 현대수학의 실체와 추진력을 살펴볼 수 있는 우위의 지경에까지 직통로를 따라 나아가는 것이 가능하다. 이 책은 이러한 방향으로 쓰여졌다. 고등학교 과정을 잘 수료한 지식만을 전제로 하였으므로 이 책은 대중적인 것으로 생각할 수 있다. 그러나 이것은 모든 노력을 회피하려는 위험한 경향을 갖는 것에까지 양보하는 것은 아니다. 이 책을 읽는 데는 어느 정도의 지적 숙성이 필요하고 스스로 자발적인 어떤 사고가 필요하다. 이 책은 초보자와 학자를 위해서, 학생과 교사를 위해서, 철학자와 기술자를 위해서, 그리고 교실과 도서관을 위해서 저술되었다.

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수학 전반에 깃들여 있는 기본적인 개념과 방법을 명쾌하게 설명해 놓은 책… 누구나 쉽게 이해할 수 있다.
―알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)

비상하게 완벽한 저서.
―수학리뷰(Mathematical Reviews)

의심의 여지없이 이 작품은 위대한 영향력을 가질 것이다. 과학적 사고에 관심이 있는 사람이라면 전문가 또는 다른 모든 이의 손에 이 책이 있어야 한다.
―뉴욕타임스(The New York Times)

탁월한… 크나큰 즐거움과 만족의 근원이 입증되다.
―응용물리학저널(Journal of Applied Physics)

이 책은 예술 작품이다.
―마스턴 모스(Marston Morse)

고도로 완벽한 작품이다… 우리 수학자들이 생명과학의 피로 생각하는 모든 기본 개념과 방법을 간단한 예로 명확하게 설명하는 일에 《수학이란 무엇인가》가 얼마만큼 성공했는가는 놀라운 일이다.
―헤르만 바일(Herman Weyl)

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저자 소개
지은이
리차드 쿠랑(Richard Courant, 1888-1972) : 미국 뉴욕대학 수학과를 이끌었으며 후에 개칭된 쿠랑수리과학연구소 소장이었다. 그의 저서 《수리물리학》은 물리학자 모두에게 잘 알려져 있으며 특히《미분적분학》은 이 주제에 대한 근대의 가장 훌륭한 저서로 유명하다.

허버트 로빈스(Herbert Robbins) : 미국 럿거스 대학의 수리통계학 교수이다.

이언 스튜어트(Ian Stewart) : 영국 워윅 대학의 수학교수이며 《자연의 수학적 본성》《신의 주사위 놀이》의 저자이다. 그는 『사이언티픽 아메리칸』에 '수학 레크리에이션'을 오랜 동안 연재하기도 했다. 과학의 대중적 이해에 탁월한 공헌을 하여 1995년 왕립협회의 마이클 패러데이 메달을 수상하였다.

옮긴이
박평우 : 서울대학교 사범대학 수학교육과 졸업한 후 연세대학교 대학원 수학과에서 이학박사(위상수학) 학위를 받았다. 대한수학회 재무이사를 역임했으며 현재 성균관대학교 사범대학 수학교육과 명예교수이다.

김운규 : 경북대학교 사범대학 수학교육과 졸업하고 고려대학교 대학원 수학과에서 이학박사(기하학) 학위를 받았다. 대한수학회 이사를 역임했으며 현재 성균관대학교 사범대학 수학교육과 교수이다.

정광택 : 성균관대학교 이과대학 수학과 졸업한 후 Universite des Sciences et Techniques du Languedoc(프랑스)에서 이학박사(대수학) 학위를 받았다. 현재 성균관대학교 사범대학 수학교육과 교수이다.

제1장 자연수 ...1
제2장 수학에서의 수 체계 ...69
제3장 기하학적 작도, 수체의 대수 ...149
제4장 사영기하학. 공리. 비유클리드 기하학 ...209
제5장 위상수학 ...291
제6장 함수와 극한 ...335
제7장 극대값과 극소값 ...403
제8장 미적분학 ...483
제9장 최근의 발전 ...597