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미적분의 본질은 한마디로 ‘생각하는 요령’이다.

이 책은 미적분 입문서이다. 책 제목을 보고 “미적분을 룰루랄라 하며 공부한다고요? 뻥치지 마세요!” 하며 목소리를 높일지도 모르겠다. 그러나 사실이다. 연필도 필요 없고, 그저 읽는 것만으로 미적분의 원리가 이해되고 공식이 외워지는데 룰루랄라 하지 않을 수 있나.
미적분의 본질은 한마디로 ‘생각하는 요령’이다. 이 책의 제1장에서는 적분을 설명하면서도 적분 기호를 거의 쓰지 않는다. 그러면서도 적분의 핵심을 알기 쉽게 꿰뚫는다. 이렇게 해서 미적분의 본질을 ‘읽어’두면, 제2장부터 등장하는 여러 가지 공식과 수식은 놀라울 만큼 쏙쏙 이해된다.

이 책은 미적분 입문서이다. 책 제목을 보고 “미적분을 룰루랄라 하며 공부한다고요? 뻥치지 마세요!” 하며 목소리를 높일지도 모르겠다. 그러나 사실이다. 연필도 필요 없고, 그저 읽는 것만으로 미적분의 원리가 이해되고 공식이 외워지는데 룰루랄라 하지 않을 수 있나.
미적분의 본질은 한마디로 ‘생각하는 요령’이다. 이 책의 제1장에서는 적분을 설명하면서도 적분 기호를 거의 쓰지 않는다. 그러면서도 적분의 핵심을 알기 쉽게 꿰뚫는다. 이렇게 해서 미적분의 본질을 ‘읽어’두면, 제2장부터 등장하는 여러 가지 공식과 수식은 놀라울 만큼 쏙쏙 이해된다.
미적분의 본질 = 생각하는 요령
문제를 풀어 나가는 방식, 즉 ‘생각하는 요령’을 알게 되면 복잡한 수식의 의미가 곧바로 다가온다. 그다음에는 배운 것을 바탕으로 필요한 기술을 천천히 익혀 나가면 되는 것이다. 거꾸로 ‘생각하는 요령’은 익히지 못한 채 기술만 먼저 배우려고 한다면, 미적분 공부는 공식 암기와 문제풀이가 무한 반복되는 괴로운 일이 되고 만다.
이 책은 적분에서 시작한다. 대부분의 책들이 미분부터 시작하는데 왜일까? 적분이 이미지로 나타내기가 좋기 때문이다. 적분은 넓이와 부피를 구하는 게 기본이라서 그림으로 떠올리기가 쉽다. 사실 적분은 초등학교 때 배운 도형의 넓이와 바로 맞닿아 있는, 아주 친숙한 주제이다.
그래서 1장의 적분은 도형의 넓이 구하기에서 출발한다. 직사각형, 삼각형, 평행사변형... 초등학교 수학을 다시 만나니 장난 같기도 하지만, 사실 핵심은 이처럼 단순하다. 모든 도형을 직사각형의 모음으로 생각하는 것이다. 직사각형으로 원 넓이를 구하는 과정에서 자연스럽게 근사와 극한 그리고 적분의 개념을 익히게 된다. 그런 다음에 타원, 회전 타원체, 원뿔, 원환체의 넓이와 부피를 구하다보면 적분이란, ‘조각의 합’을 계산하는 일일 뿐이라는 생각에 이르게 되는 것이다.
적분과 달리 미분은 친숙하지 않다. 미분이라고 하면 ‘접선의 기울기’, ‘가속도’ 같은 것을 떠올릴 텐데 좀체 이해하기 힘들다. 흔히 미분을 설명할 때 등장하는 이야기, 이를테면 포탄의 궤도 같은 그림을 보고 ‘아하, 미분이 이런 거구나’ 하고 바로 이해하는 사람은 사실 많지 않다.
공식과 수식이 후련하게 이해된다
미분은 이미지로 구현하기도 어렵다. 그래서 2장에서는 다이아몬드의 값을 구하는 방법에서 출발한다. 추상적인 이야기라도 돈으로 구체화해서 생각하면 ‘양 감각’이 확 살아나기 때문이다. 다이아몬드 캐럿 수가 늘어날 때의 가격 증가분을 그림으로 나타내 미분 공식을 설명하고, 3차원, 4차원으로 발전시켜 나가면서 다양한 미분 공식을 도출할 수 있도록 이끈다. 뭐니 뭐니 해도 2장의 하이라이트는 아이스크림을 최대한 많이 담을 수 있는 콘의 형태 실험이다.
3장은 ‘학교에서 배우긴 하지만 어딘지 모르게 잘 이해가 되지 않는 것’을 주제로 미적분의 본질에 접근한다. (1) ‘원의 넓이’를 미분하면 ‘원둘레의 길이’가 되고, (2) ‘구의 부피’를 미분하면 ‘구의 겉넓이’가 된다는 알쏭달쏭한 말을 식과 그림으로 풀어가면, ‘미분과 적분은 역의 조작이다’는 미적분의 기본 정리에 도달하게 된다. 이 3장의 하이라이트는 현수선 공식을 이용한 목걸이의 길이 계산이다. 미적분이 종이 위에서만 적용되는 쩨쩨한 학문이 아니라 현실의 필요에 정확히 부합한다는 걸 증명하는 장면이기도 하다.
통째로 외우기만 했던 미적분 공식과 수식의 의미가 속 시원하게 이해되는 책! 학교에서 미적분을 배우기 전에 먼저 이 책을 보는 학생은 행운아다. ‘룰루랄라’ 하며 미적분을 재미있어 할 테니까.

1. 적분이란 무엇인가
1 적분의 존재 가치
사실은 친숙한 적분 | 모든 도형은 직사각형으로 통한다 |‘근사’라는 방법의 의미
합을 이용해 적분을 한다 | ‘참값에 근사시킨다’라는 것은?
2 사고 실험 두 가지
타원의 넓이 | 지구의 부피
3 단면을 보자
카발리에리의 원리 | 3분의 1의 원리 | 원뿔의 부피 |구의 부피 | 구의 겉넓이
4 감각과 논리
일본 중학교 입시 문제에서 적분을 발견하다 |초등학생 방식으로 원환체의 부피를 구한다
도넛을 뱀으로 만드는 방법 | 파푸스-굴딘의 정리

2. 미분이란 무엇인가
1 미분의 존재 가치
다이아몬드의 값을 분석하라 | ‘지수를 앞으로 보내라’고 하는 까닭 |곱의 미분 공식
모르는 것을 이미 알고 있는 것으로 대체한다 |몫의 미분 공식 | 거듭제곱의 미분 공식을 더욱 확장한다
2 여러 가지 함수
봉우리와 골짜기 | 접선을 안다 | 증감표를 이용해 그래프를 그린다
최댓값과 최솟값, 극댓값과 극솟값 | 그래프를 손으로 그려야 하는 이유 |층계참이 있는 함수
3 미분은 욕심을 갖고 하세요
이상적인 아이스크림콘 | ‘무시한다, 무시하지 않는다’의 경계선

3. 미적분의 가능성을 탐구하다
1 1800년 만에 밝혀진 진실
군대식으로 공부하지 않기 | 위대한 발견에서 당연한 사실로 | 기본 정리의 쓰임새
2 구멍을 메우다
네이피어 수는 어디서 왔을까? | 한없이 참에 가까운 값 |열쇠는 근호에 있다
생각을 바꾸면 잘될까? |지수함수가 나타나다 | 확실하게 살펴보자
미분해도 변하지 않는 단 하나의 함수
3 휘어진 모양도 계산한다
곡선의 길이를 잰다 | 깔끔한 현수선의 공식|목걸이의 길이를 검증한다
4 미적분의 정체
미분 가능성이란 무엇인가? | 미분을 둘러싼 모험 | 근사와 무시

이 책에서는 미적분의 본질=‘생각하는 요령’이라는 점을 중시합니다. 이를테면 제1장에서는 적분 기호가 거의 나오지 않기 때문에, 이렇게 해서 정말로 이해할 수 있을까 하는 걱정이 들 수도 있습니다. 그러나 제1장에서 미적분의 본질을 읽어놓으면 제2장부터 등장하는 여러 가지 공식과 수식이 뜻밖이라 할 만큼 쏙쏙 이해될 것입니다(p9. 머리말)


초등학교 때 배운 도형의 넓이와 부피의 계산. 사실 이것들은 적분의 세계에 잇닿아 있습니다. 우리는 고등학교에서 갑작스럽게 적분과 마주치게 되는 것이 아닙니다. 초등학교에서 착실하게 워밍업을 하고 나서 좀 더 높은 수준의 적분으로 나아가는 것뿐입니다.(P14. 적분의 존재가치)

적분이란 파고들어 가면 ‘조각의 합’이었을 뿐, 달리 특별한 일을 하는 것은 아닙니다. 일단 적분 식을 쓸 수 있으면 수치를 계산하는 것은 간단합니다. 여러 가지 양을 적분 식으로 나타내는 것, 궁극적으로는 이것이야말로 우리에게 필요한 능력입니다.(P83. 감각과 논리)


미분은 적분과 견주면 이미지로 파악하는 게 어렵습니다. 적분 부분에서 나왔던 원, 구, 원뿔, 회전체의 넓이와 부피는 어느 것이든 쉽게 실감할 수 있습니다. 그런데 이와는 달리 미분은 이해하기가 어렵습니다. 왜 미분은 어려울까요? 미분이 ‘비(比)’이기 때문은 아닐까요?(P86. 미분의 존재가치)


곱의 미분 공식은 17세기에 뉴턴이 생각해 냈습니다. 이것은 인류에게 매우 커다란 진보였습니다. 왜냐하면 곱의 미분 공식 덕분에 미분의 세계가 그림(기하학)에서 계산(대수학)으로 변했기 때문입니다. 그림으로 생각하는 쪽이 아무리 다루기 쉽다고 해도 한계가 있습니다. 지수가 큰 거듭제곱 식을 미분하는 데 정사각형이나 정육면체를 하나하나 머릿속에 떠올려야 한다면 오히려 번잡스러워질 것입니다. 그때 곱의 미분 공식을 써서 계산하면 이내 답이 나옵니다.(P106. 미분의 존재가치)


미적분은 순수한 흥미만으로 발전해온 수학이 아닙니다. 미적분에 등장하는 여러 가지 개념과 계산 기술은 까닭 없이 나온 것이 아닙니다. 미적분의 어떠한 개념, 계산 기술에는 반드시 목적의식이 있습니다. 미적분은 체계가 세워져 있는 학문이지만 실제적인 면에서 방대한 방법론의 집적이기도 합니다. 심오한 부분이 없는 것은 아니지만 대부분은 ‘이렇게 생각하면 잘 된다’ 하는 이야기들을 모은 것입니다(P143. 1800년만에 밝혀진 진실)

그렇지만 학교 수학에서는 “제곱하면 2가 되는 값은?”이라는 질문을 받았을 때 “대략 1.4정도입니다.”라고 대답하면 “틀렸어!” 하고 야단을 듣습니다. 이때는 “√ 2입니다.”라고 말해야만 끝이 납니다. 이런 식이라면 미적분의 본질인 ‘근사와 무시’는 이해하지 못한 채 지나가 버릴 것입니다. (P211. 미적분의 정체)


도형을 얇게 잘라내는 이야기로부터 시작한 미적분의 이야기가 네이피어 수 e를 거쳐 마침내는 현수선의 길이까지 우여곡절 끝에 더듬더듬 도착하게 되었습니다. 여기까지 읽는다면 ‘근사와 무시’라는 사고방식을 당연한 것으로 생각하게 되지 않았을까요? 이것은 엄청난 진보입니다(P212. 미적분의 정체)