추가 적립 안내

초판과 증보판에서 다루지 못한 많은 부분을 추가하여, 학교수학의 교육적 기초를 더욱 잘 이해할 수 있도록 전면적인 개정을 시도한 책이다. 학교수학의 본질, 기본 개념과 구조에 대한 깊은 이해는 더 나은 교육을 할 수 있는 바탕이며, 가르치는 방법을 근본적으로 좌우한다. 이 개정판은 이러한 이념에 충실하여 수학교사 교육에 매진했어야 할 저자의 필생 과업인 수학교사 교육과 연구 생활에 대한 뼈아픈 반성에서 비롯되었다.

학교수학의 교육적 기초를 깊이 있게 이해하기 위한 전면적 개정판

‘기초 수학에 대한 깊은 이해’가 수학교육의 질을 좌우한다.
G. Polya가 걱정한 바와 같이 수학은 교육과정 가운데 가장 인기가 없는 의아스러운 명예를 안고 있으며, 미래의 수학교사들은 대학을 졸업하고 학교로 되돌아와 새로운 세대에게 다시 수학을 혐오하도록 가르치게 되는 악순환이 반복되고 있다. 일찍이 F. Klein이 제기한 ‘이중단절’의 문제는 이러한 수학교육의 근본 문제를 야기하는 주요한 이유라고 생각된다. 수학교사가 대학에서 배운 현대수학과 학교수학이 단절되어 학교수학의 본질을 보다 ‘높은 관점에서’ 보지 못하기 때문에 그의 교육에 하등의 영향도 미치지 못하고 전통적인 지도방식으로 회귀할 수밖에 없다는 것이 Klein의 통찰이다.
저자는 수학교육에서 Klein이 제기한 문제의 핵심에 공감하면서, Liping Ma가 주장하는 ‘기초 수학에 대한 깊은 이해’가 수학교육의 질을 좌우한다고 믿는다.
이 책은 이를 위해 절실히 요구되는 학교수학의 바탕을 분석하여 보여 주고자 한 많은 수학교육학자와 명철한 학생들의 통찰과 반성, 그리고 그에 대한 종합과 재구성을 위해 노력한 저자의 작은 결실이다. 독자들이 이 책을 통해 학교수학에 대해서 무지를 자각한 저자와 같은 놀라운 경험을 하고 학교수학의 본질에 접하는 기회를 얻음으로써 수학교육의 바른길을 찾아가는 출발점이 될 수 있기를 기대한다.
(개정판 머리말에서)

[책속으로 추가]
특히 20세기 초 수학교육 근대화 운동과 현대수학의 학교수학화를 지향한 1960년대 ‘새 수학’ 운동에서의 Euclid기하 교육에 대한 거센 도전에도 불구하고, 논증기하는 중등학교 수학에서 의연히 그 위치를 유지해 왔다. 더욱이 그동안 중등학교 수학에 도입된 여러 가지 내용에 그 자리를 양보하다가 급기야 중학교 수학의 중심이 된 내용이 되기에 이르렀다. 현행 수학 교육과정에서는 중학교 2, 3학년에서 평면 논증기하를 다루고 있으나 그 학습?지도상의 어려움이 거듭 제기되고 있다. 중학교의 논증기하는 2000년 전에 성인 수학자를 위해 쓴 Euclid원론의 내용을 중학교 학생 수준에 맞추어 초등화한 것이며, 공리계까지 지도하지는 않지만, 도형의 몇 가지 기본적인 성질을 받아들이고 삼각형의 합동조건과 닮음조건 및 보조선 방법을 이용하여 연역적으로 추론하도록 하는 Euclid기하의 틀을 그대로 갖고 있다. (중권 345쪽)

또는 에서 는 실무한인 극한이다. 그러나 학생들은 극한에 대해 그에 한없이 접근하지만 도달할 수는 없다든가, 그에 거의 도달할 때까지 접근한다든가 하는 자생적인 직관적 관념이 있다. 이는 극한의 실재성을 받아들이지 않고 잠재적으로만 존재한다고 보는 것, 궁극적으로 실현될 수 있는 잠재성만을 받아들이는 입장이다. Tall(1991)은 는 극한을 향하는 과정을 나타내는 동시에 극한값을 나타내는, 말하자면 쌍대적인 특성을 갖는 기호인데, 과정에만 집착하고 실무한으로서의 극한을 대상화하지 못한 상황에서 강요된 기호로 사용하는 교육적 문제점을 지적하고 있다. 학생들은 이러한 상황에서 ‘극한의 대수’ 법칙을 이용하여 여러 가지 함수의 극한값을 기계적으로 계산하는 방법에 주의를 집중하게 되는 것이 보통이다. (하권 47쪽)

교사가 수학학습에 적합하다고 생각하는 교수활동은 교사가 가지고 있는 수학적 지식에 대한 인식론적 관념과 밀접하게 관련되는 듯하다. 학교수학을 위계적으로 구조화된 기성의 이론으로 생각하는 교사는 학습-지도 활동을 수학적 지식의 구조에 따라서 조직한다. 여기서 두 가지 교수 전략이 구사된다. 하나는 초등학교와 중학교 초에 주로 사용하는 방법으로 직관을 중시하고 내용을 구체화하여 제시하고 보기를 사용하여 예시하는 방법이고, 다른 하나는 중학교 이후에 두드러진 방법으로 일관된 수학적 관계를 강조하고 수학의 내적인 논리적 구조에 초점을 맞추어 학습-지도 방법을 조직한다. 이러한 방법에서는 수학적 지식은 선형적으로 곧바로 획득된다는 가정 아래 먼저 기본 개념을 정의하여 명확한 개념적 기초 위에 점차 수학적 지식이 학습되기를 기대한다. 여기서 공리적 구조는 적어도 원칙적으로는 모든 지식을 포함한다는 것을 기본적으로 가정하고 있다. 이러한 구조적 접근에서는 개념을 명확히 하려는 시도가 엄밀성에 사로잡혀 하찮은 많은 용어를 정의하여 혼동의 늪에 빠질 위험성이 있다. (하권 226쪽)

통계에서 다루고 있는 것은 기본적으로 어떤 것인가? 통계조사에서든 비교실험에서든 그 핵심은 비용과 시간을 절감하면서 연구 대상을 잘 대표할 수 있는 일부분의 자료, 즉 적절한 표본(sample)을 추출하는 일이다. 그다음으로 해야 하는 일이 적절한 해석 방법을 자료에 적용하는 일이다. 통계자료의 해석 방법은 크게 기술과 추측으로 구분될 수 있다. 기술통계에서는 어떻게 자료를 잘 요약하고 기술할 수 있는가에 주안점을 두고, 자료에 함축된 정보를 간단한 통계량으로 요약하여 제시하거나 도표나 그래프와 같은 일목요연한 시각적 표현수법을 사용한다. 그리고 추측통계에서는 확률분포 이론을 바탕으로 수집된 자료를 기초로 하여 모집단(population)에 대해 통계적 추측을 한다. 여기서 통계적 가설을 설정하고 그 유의성을 검증하는 ‘확증적 자료분석(CDA, Confirmatory Data Analysis)’ 방법이 구사된다. (하권 251쪽)

머리말
개정판 머리말

제1장 집합과 논리

1. 집합
1) 무한과 무한집합
2) 집합 언어
3) 집합 교재의 부침
2. 논리
1) 논리학의 개요
2) 조건명제와 함의
3) 개념과 정의
4) 논리의 심리적 발달
5) 논리 지도
6) 학교수학과 개연적 추론

참고문헌


제2장 산술교육론

1. 자연수 산술
1) 자연수 개념과 그 지도에 대한 Freudenthal의 관점
2) 자연수 개념과 그 계산 지도
2. 정수 산술
1) 정수의 형식적 정의
2) 학교수학의 첫 번째 형식적 수학 ― 음수
3) 음수와 수학적 형식의 신비
4) 정수와 그 연산의 여러 가지 모델과 그 한계점
5) 정수와 그 연산의 지도
6) 정수론과 학교수학
3. 유리수 산술
1) 유리수 개념
2) 유리수의 형식적 정의
3) 유리수 지도
4) 형식불역의 원리에 따른 유리수의 계산법
4. 실수 산술
1) 소수
2) 무리수
3) 무리수 지도
4) 실수
5. 복소수 산술
1) 복소수 개념
2) 복소수의 지도
6. 수 체계의 구조와 대수적인 형식적 확장
1) 수 체계의 구조
2) 대수적인 형식적 확장

참고문헌


제3장 대수 교재의 기초

1. 대수와 대수적 사고
1) 대수의 발달과 대수적 사고 교육
2) 대수교육의 내용과 가치
2. 대수적 언어
1) 산술적 언어와 대수적 언어
2) 대수적 언어의 형식화
3. 문자식
1) 수학언어로서의 문자식
2) 문자식의 지도
4. 변수
1) 변수개념의 다면성
2) 변수개념의 일반화와 형식화
3) 파라미터(parameter, 媒介變數)
4) ‘꼭두각시 변수(dummy variable)’
5) 컴퓨터 환경과 변수개념 형성
6) 변수개념의 학습-지도
5. 방정식
1) 등식
2) 방정식 풀이의 기본원리
3) 다항방정식의 대수적 풀이
4) 방정식의 근사해법
5) 방정식의 지도
6. 부등식
1) 실수의 대소 관계
2) 실수의 대소 관계의 성질
3) 절대부등식
4) 부등식의 지도
7. 다항식
1) 다항식의 성질
2) 다항식의 지도
8. 선형대수
1) 행렬
2) 벡터
3) 일차변환과 이차곡선의 표준화 문제
4) 학교수학과 선형대수 관련 내용

참고문헌

찾아보기

집합은 원래 논리와 표리일체인 것으로, ‘이론수학’을 주로 하는 중등교육에서 다루어질 때에는 무난하지만, ‘실제수학’의 색채가 진한 초등교육에까지 도입될 때에는 융화되기가 쉽지 않은 것이다. 가장 뚜렷한 예가 도형의 포함관계의 지도에서 나타난다. ‘실제수학’에서의 도형의 명명법은 2분법으로, 예를 들어 직사각형과 정사각형은 일반 직사각형을 2분하는 서로 다른 2군의 사각형을 가리키는 명칭이다. 그러나 Euclid기하에서는 정사각형은 직사각형의 일부로 그에 포함되는 특수한 도형군, 즉 부분집합의 호칭이다. 그러한 포함관계에 의하여 비로소 ‘정사각형은 직사각형이다.’라고 하는 명제가 논리적으로 성립하게 되며, Euclid기하는 그러한 논리성 위에 구축되어 있다. 만일 초등학교 수학이 ‘실제수학’에 그친다면 2분법이 오히려 자연스럽고 편리할 것이다. 집합의 도입은 초등수학에 이러한 Euclid적인 논리성을 집어넣으려고 한 것이며, 그것이 순조롭지 못했던 것은 잘 알려진 사실이다. (상권 45쪽)

자연수를 어떻게 생각하느냐에 따라서 자연수 개념의 발달에 대한 연구와 그 학습-지도의 내용과 방법이 달라진다. 자연수 1, 2, 3, …은 어떤 수인가? 우리말에서 자연수(自然數)란 문자 그대로 말하면 ‘스스로 그러한 수’라는 의미를 가지며, 이는 영어 natural numbers를 번역한 말이다. 우리는 주변에서 크고 작은 자연수를 흔히 대하기 때문에 이러한 수가 가진 신비함을 느끼기 어렵지만, 志賀浩二(1992)가 적절히 기술하고 있듯이 100억 광년 이상의 광대한 영역에 분포하고 있는 감을 잡을 수 없는 엄청난 수의 은하계의 끝에 있는 별까지도 자연수의 시작에 불과한 부분의 수로 셀 수 있을 정도로 자연수는 무한히 계속되는 수라는 놀라움을 잊어서는 안 될 것이다. 흥미로운 것은 끝이 없는 무한 장대한 자연수 전체를 1, 2, 3, …과 같이 무한히 ‘그렇게 계속된다.’는 것을 세 점 …으로 나타내어 인식하는 힘을 우리 인간이 갖고 있다는 점이며 초등학교 초부터 그렇게 인식하도록 교육해야 할 것이다. (상권 142-143쪽)

합성함수와 역함수를 형식적인 대입과 계산으로 구하는 것은 지양되어야 한다. 위에서 언급한 바와 같이 함수식의 구조를 계산 절차로 분석해 보는 것도 함수의 합성을 이해하고 역함수를 구하는 방법을 이해하는 데 도움이 될 것이다. 그러나 그보다 앞서 함수의 합성은 함수기계의 합성으로 초보적으로 경험시킬 수 있으며, 위에서 예시한 바와 같이 둥근 화살표 위에 일항연산 기호 +2, ×3 등을 표시하여 잇따른 계산을 하고 그 과정을 되돌리는 계산을 시행하는 과정을 통해 함수의 합성과 역함수를 예시하고, 도형의 닮음이나 합동, 확대, 축소, 대칭이동, 회전이동, 평행이동 등과 같은 기하학적 변환을 이용하여 함수의 합성과 역함수를 비형식적으로 경험하는 것도 필요할 것이다. (중권 44쪽)