이 책의 저자는 현재 미국 스탠퍼드 대학교 언어 및 정보연구센터 소장이다. 그는 잡지와 방송에도 정기적으로 기고, 출연하는 활동적인 수학자이자 과학자이다. 또한 활발한 저작활동과 논문을 작성,출간한다. 저자가 2000년 집필한 <수학의 유전자>는 '2000년 최고의 과학서적'이라는 평가를 받기도 했다 한다.

 

 2000년 5월 미국 클레이 수학연구소(Clay Mathematics Institute : CMI)는 파리에서 공개적으로 열린 회견을 통하여 일곱 개의 미해결 수학문제를 제시하고 각각에 100만 달러의 현상금을 내걸었다. 그 문제들은 여러 나라의 수학자들로 이루어진 선정위원회가 오늘날 수학에서 가장 중요하고 어려운 문제라고 선정한 것들이다. 저자는 전작인 <수학의 유전자>를 발간한 출판사로부터 현상공모와 관련된 책을 발간하자는 제안과 함께 클레이 수학연구소 소장 아서 자페가 일곱 개의 밀레니엄 문제에 관한 공식 서적을 위한 일반적인 안내문을 저자에게 부탁하면서 저자는 이 책을 집필할 결심을 하게 되었다.

 

 부러운 것은 700만달러에 달하는 현상금을 내걸고(심사위원회 구성 및 운영까지 감안하면 1,000만 달러도 금방 넘을 것이고...) 클레이 수학연구소를 설립한 사람이 금융계 인물이라는 점이다. 미국인 랜던 클레이는 유추얼 펀드계의 큰 손인데, 수학을 열정적으로 사랑하여 연구소를 설립, 수학 연구를 장려하고 지원하는 과정에서 그가 프로젝트를 탄생시킨 것이다.

 

7가지 미해결 밀레니엄 문제는 다음과 같다.

1. 리만 가설, 2. 양-밀스 이론과 질량 간극 가설, 3. P 대 NP 문제, 4. 내비어-스톡스 방정식, 5. 푸앵카레 추측, 6. 버치와 스위너톤-다이어 추측, 7. 호지 추측... 일반사람들은 제목만 보아도 기가 질릴 문제다...^^

 

1. 리만 가설(The Reimann Hypothesis) : 이 문제는 1900년 다비드 힐베르트가 세계수학자대회에서 제시한 "23가지 미해결 문제" 중에서 아직도 미해결로 남아 있는 유일한 문제이다. 어떤 특정한 방정식의 가능한 해들과 관련된 이 기묘한 형태의 문제가 수학의 미해결 문제 중 가장 중요한 문제라는 것에 전 세계 수학자 대부분이 동의한다고 전해지고 있다.

 이 문제는 1859년 독일 수학자 리만에 의해서 처음 제기되었다. 소수가 영원히 계속된다는 것은 기원전 350년 전 그리스 수학자 유클리드에 의해 증명되었지만 인류와 수학자들은 소수에 대해 그 이상 아는 것이 없다. 리만의 가설은 "소수들이 무엇인가 패턴을 가지고 있을까?"로 함축할 수 있으며 기만 가설이 증명된다면 소수와 소수의 분포에 대한 우리의 지식이 크게 발전할 것이다. 뿐만 아니라 소수를 넘어선 수학적 귀결들을 가져올 것이며 물리학과 현대 통신기술(암호학 등)에도 응용될 것이다.

 

2. 양-밀스 이론과 질량 간극 가설(Yang-Mills Theory and the Mass Gap Hypothesis) : 양-밀스 방정식들은 양자물리학에서 나왔다. 그 방정식들은 지금으로부터 거의 50년 전에 물리학자 양전닝과 로버트 밀스가 중력을 제외한 자연의 힘들을 기술하기 위해서 정식화했다. 그 방정식들은 훌륭한 성과를 거두었다. 방정식들로부터 도출된 예측들은 전 세계 실험실에서 관찰된 입자들을 설명한다. 그러나 실용적으로 효율적임에도 불구하고 양-밀스 이론은 아직 수학적으로 완성되지 않았다.

 두 번째 밀레니엄 문제가 요구하는 것 중 하나는, 그 이론을 공리로부터 출발해서 수학적으로 전개하라는 것이다. 요구되는 수학적 이론은 실험실에서 관찰된 여러 조건에 부합해야 할 것이다. 특히 그 이론은 양-밀스 방정식들의 해라고 상정된 것들과 관련된 "질량 간극 가설"을 수학적으로 입증해야 한다. 대부분의 물리학자들은 이 가설을 받아들여 전자가 질량을 가지는 이유를 설명한다.

 

3. P 대 NP 문제(The P Versus NP problem) : 이 문제는 밀레니엄 문제들 중에서 유일하게 컴퓨터와 관련된 문제이다. 원래 컴퓨터는 수학에서 출발에서 탄생하였지만 지금까지 컴퓨터 세계에서 발생한 중요한 수학적 문제는 단 두 개에 불과하다. 하나는 힐베르트의 1900년 문제 목록에 들어있던 문제, 즉 "특정한 방정식들은 컴퓨터로 풀 수 없음을 증명하라"는 1970년에 해결되었다.

 다른 한 문제는 더 최근에 제기되었다. 그 문제는 컴퓨터가 얼마나 효율적으로 문제를 해결할 수 있는지와 관련된다. 컴퓨터 과학자들은 계산과제들을 두 개으 주요 범주로 분류한다. P형 과제는 컴퓨터를 통해서 효율적으로 해결할 수 있다. E형 과제는 컴퓨터로 해결하려면 100만 년 이상이 걸릴 수도 있다. 안타깝게도 공업이나 상업에서 발생하는 주요 계산과제들은 대부분 세 번째 범주인 NP형에 속한다. NP형은 P형과 E형의 중간인 것처럼 보인다.

 대부분의 전문가들은 NP와 P가 다르다고 믿는다. 하지만 30년에 걸친 노력에도 불구하고 NP와  P가 같은지 여부는 증명되지 않았다. 이 문제의 해결은 공업, 상업 그리고 인터넷을 비롯한 전자통신에 커다란 영향을 끼칠 것이다.

 

4. 내비어-스톡스 방정식(The Navier-Stokes Equations) : 이 방정식들은 배의 몸통 주위를 흐르는 물이나 비행기 날개 위로 흐르는 공기 같은 유체와 기체의 흐름을 기술한다. 그 방정식들은 수학자들이 말하는 이른바 편미분방정식이다. 오늘날까지 그 누구도 내비어-스톡스 방정식의 해의 공식을 찾을 단서조차 발견하지 못했다. 그런 공식의 존재 여부조차 밝혀지지 않았다.

 이 실패에도 아랑곳하지 않고 해양공학자들은 효율적인 배를 설계하고 항공공학자들은 우수한 비행기를 설계한다. 내비어-스톡스 방정식으 ㄹ푸는 일반 공식은 없지만, 컴퓨터를 이용해서 특정 형태의 방정식들에 대한 근사적인 해를 구하는 것은 가능하기 대문이다. 내비어-스톡스 방정식의 풀이는 해양 및 항공공학의 비약적인 발전을 가져올 것이 분명하다.

 

5. 푸앵카레 추측(The Poincare Conjecture) : 거의 한 세기 전 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레가 처음 제시한 이 문제는 다음과 같은 간단해 보이는 질문에서 시작된다. "사과와 도넛을 어떻게 구분할 수 있을까?" 쉬워 보이는 이 질문은 매우 어렵다. 푸앵카레가 보다 일반적인 경우들에 적용될 수 있는 수학적 해답을 요구했기 때문이다.

 이 문제는 현대 수학에서 가장 흥미로운 분야들 중의 하나인 위상학의 핵심에 놓여있다. 위상학은 그 자체로 흥미롭고 때로는 기발한 발상으로 수학적 지성인들을 사로잡을 뿐 아니라 수학의 여러 분야들과 관계된다. 위상학의 발전은 컴퓨터 칩을 비롯하여 전자부품의 설계와 생산, 운송, 뇌 연구, 심지어 영화산업에도 영향을 미친다.

 

6. 버치와 스위너톤-다이어 추측(The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture) : "페르마의 마지막 정리"를 몇 백년이 지난 1994년 앤드류 와일즈가 증명했음에도 불구하고 더 복잡한 방정식들에 대해서는 정수해가 있는지, 혹은 어떤 정수해가 있는지를 밝혀내기가 매우 어렵다. 이 추측은 그 난해한 방정식들 중 한 유형에 대해서 가능한 해들에 관한 정보를 제시한다.

 이 문제는 리만 가설과 관련이 있으며, 이 문제가 해결되다면 소수에 대한 우리의 전반적인 이해에 도움이 될 것이다. 이 문제의 해결이 리반 가설 증명처럼 수학 이외의 영역에도 영향을 미칠지 여부는 불분명하다.

 

7. 호지 추측(The Hodge Conjecture) : 이 문제는 현대 위상학에 결여된 또 하나 대상들로부터 복잡한 수학적 대상을 구성살 수 있는지와 관련된다. 그리고 이 문제는 아마도 밀레니엄 문제 중에서 일반인이 이해하기가 가장 어려운 문제일 것이다.

 호지 추측을 향한 길은 20세기 전반기에 수학자들이 복잡한 대상들의 모양을 탐구하는 강력한 방법을 발견하면서 열렸다. 호지 추측은 중요한 대상들의 집합(투사 대수 다양체-projective algebraic varieties-라고 불린다)에 대해서는 호지 회로라고 불리는 조각들이 기하학적 조각들(대수회로라 불린다)의 조합이라고 주장한다.

 

 나 역시 책을 처음부터 끝까지 읽었으나 대부분은 이해하기가 어려웠다. 어떤 문제는 몇 번 씩 처음으로 되돌아가서 읽으려 했지만, 요즘 나의 심리상태나 주변 상황이 복잡한 것도 있었고 그 어려운 밀레니엄 문제 7개를 250쪽도 안되는 책 한권에 축약시켜 놓은 이유도 있을 것이다.  그리고 '리만 가설'과 '푸앵카레 추측'을 별도로 다룬 독립된 책을 이미 사놓았으니 그 책들을 읽으면 두 가지는 좀 더 이해도가 높아질 것이다...ㅋㅋ

 

 그래도 대략 어떤 부분에서 21세기에 전 세계 수학자들이 고민을 거듭할지 알아본 것도 이 책을 다 읽은, 썩 괜찮은 성과이다.

 

끝...

수학의밀레니엄문제들7, 케이스데블린, 호지추측, 양-밀스이론, 버치와스위너톤-다이어추측