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수학이란 어떻게 배우고 가르쳐야 하는가? 수학의 개념을 바로잡는 참신한 교육법을 제시한다!

수학은 어려운 학문이 아니다. 제대로만 가르친다면 누구든지 쉽게 이해할 수 있다. 하지만 현실은 많은 학생들이 수학을 중도에 포기해버리고 만다. 이는 분명 수학 교육법에 문제가 있음을 의미한다. 이 책은 수학의 토대라 할 수 있는 양 · 수 · 집합과 논리 · 공간과 도형 · 변수와 함수에 대해 그 근본 원리를 깨우칠 수 있도록 새로운 관점으로 접근하여 알기 쉽게 설명한다. 수학을 가르치고 배우는 데 있어, 교사와 학생이 바람직한 방향으로 나아갈 수 있도록 길잡이 역할을 해줄 것이다.

‘양’이라는 새로운 관점으로 수학을 바라본다!

저자는 부피, 넓이, 무게 등의 좁은 의미의 양부터 길이, 면적, 밀도, 시간, 더 나아가 물리학의 개념인 힘, 운동량, 속도, 가속도, 에너지까지 모두 넓은 의미의 양으로 간주한다. 이렇듯 ‘수’의 배후에는 언제나 ‘양’이 있다. 이 ‘양’을 아이들에게 가르치는 것이 수학 교육의 시작이라고 말한다. 하지만 ‘양’은 가르치는 순서가 잘못되면 오히려 아이들을 혼란에 빠뜨린다. 따라서 이 책은 ‘양’을 어떻게 체계적으로 지도해야 하는지 상세하게 설명한다. ‘양’의 진정한 의미를 깨우치는 것은 수학의 원리를 아이들이 스스로 알아가는 원동력이 되는 것은 물론, 수학을 진정 즐기고 가까이 하게 되는 계기를 마련해줄 것이다.

수학의 요점을 선별하여 근본 원리를 철저하게 해설!

이 책은 수학 교육의 토대라 할 수 있는 양 · 수 · 집합과 논리 · 공간과 도형 · 변수와 함수 등에 대해 그 근본 원리를 철저하게 파헤친다. 단순히 식으로 정리해서 보여주는 것이 아닌, ‘양’이라는 관점에서 하나하나의 공식들이 어떻게 도출되었는지 여러 시각적인 도구와 획기적인 설명을 통해 누구라도 쉽게 근본 원리를 깨우칠 수 있는 최적의 교육 방법을 제시한다. 아이들에게 있어 이러한 기초 교육은 향후 등장할 어떤 어려운 공식이라도 당황하지 않고 배운 것을 토대로 분석하고 이해할 수 있도록 해주는 중요한 경험이 될 것이다.

수학을 배우는 사람, 가르치는 사람 모두가 봐야 할 필독서!

우리는 지금까지 수학을 무조건 ‘수’라는 개념에서 바라보았다. 하지만 저자는 당연할 수도 있는 이 관념을 바꿔야 된다고 일관적으로 주장하고 있다. 이제는 ‘수’가 아닌 ‘양’을 중심에 놓고 아이들을 가르쳐야 한다는 것이다. 그러한 주장은 저자의 예리한 지적과 근거를 바탕으로 상당히 설득력 있게 다가온다. 저자는 속도, 에너지 등의 물리학적인 양부터 인구밀도, GNP, PPM 등의 사회과학적인 개념에까지 양을 적용하고 있다. 그만큼 ‘양’이란 것은 수를 다루는 모든 분야에서 매우 중요한 요소라는 것을 강조한다.
아이들이 이러한 ‘양’을 미리 배울 수 있다면, 수학에 대한 이해력은 더욱 높아질 것은 물론 그러한 지식을 바탕으로 향후 접하게 될 사회나 과학 각 부문에서 다루는 수의 개념도 쉽게 받아들일 수 있게 될 것이다. 수학을 가르치는 사람, 배우는 사람 모두에게 수학을 바라보는 새로운 지평을 열어줄 필독서가 되어줄 것이다.

머리말

서장
답은 하나라도 ―― 보수성 ―― 역사 ―― 검정 표지 ―― 초록 표지 ―― 하늘색 표지 ――
생활 단원 학습 ―― 현재의 제도

제1장 양
넓은 의미의 양 ―― 생체와 환경 ―― 정보로서의 양 ―― 양의 추방 ―― 양의 계통적 지도 ―― 분리량과 연속량 ―― 집합을 이루는 원소의 개수 ―― 주판과 계산자 ―― 개수를 세는 단위와 미터법의 단위 ―― 외연량과 내포량 ―― 가법성 ―― 무게 ―― 미터법 단위의 도입 ―― 직접비교 ―― 간접비교 ―― 임의단위 ―― 보편단위 ―― 시간 ―― 내포량 ―― 밀도의 3용법 ―― 양에서 수로 ―― 곱셈의 의미 ―― 분수의 곱셈 ―― 언어의 차이 ―― 도와 율 ―― 고급 개념의 양 ―― 다차원의 양 ―― 벡터와 행렬

제2장 수
일대일 대응 ―― 칸토어의 집합론 ―― 서수 ―― 구잔과 구차 ―― 수사와 숫자 ―― 미개인의 수사 ―― 유럽의 수사 ―― 암산과 필산 ―― 한문 숫자와 산용 숫자 ―― 자릿수와 0 ―― 세기주의 ―― 암산 편중 ―― 수학은 필산 중심 ―― 암산과 수학 ―― 0의 의미 ―― 0의 역사 ―― 자릿수의 원리 ―― 결집을 위한 타일 ―― 삼자 관계 ―― 가법 ―― 5·2진법 ―― 문제의 수 ―― 문제의 분류와 순서 ―― 감법 ―― 감감법과 감가법 ―― 2단 받아내림 ―― 승법 ―― 일본의 구구단 ―― 제법 ―― 몫 세우기 ―― 분수·소수 ―― 비율 분수 ―― 양으로서의 분수 ―― 분수 계산 ―― 분수의 곱셈 ―― 분수의 나눗셈

제3장 집합과 논리
집합이란? ―― 무한집합 ―― 집합의 정의 ―― 원소 ―― 부분과 전체 ―― 여집합 ―― 교집합 ―― 합집합 ―― 드모르간의 법칙 ―― 공집합 ―― 논리 ―― 명제 ―― 참과 거짓 ―― 부정 ―― 연언 ―― 진리표 ―― 0과 1의 계산 ―― 도로망 ―― all과 some ―― 부정의 애매함 ―― 술어와 집합 ―― 곱집합 ―― 확률

제4장 공간과 도형
고전적 기하학 ―― 방안의 기하학 ―― 기하학과 논리 ―― 공리의 복잡성 ―― 불완전한 증명 ―― 일반과 특수 ―― 귀납과 연역 ―― 꺾은선 기하학 ―― 투영도 ―― 구면기하학 ―― 구면과잉 ―― 위도·경도 ―― 초등 정수론 ―― 알고리즘

제5장 변수와 함수
문자의 의미 ―― 변수로서의 문자 ―― 응용문제 ―― 쓰루카메잔 ―― 기능으로서의 함수 ―― 낙체의 법칙 ―― 양적 인과법칙 ―― 기호 ―― 정비례 ―― 함수로서의 정비례 ―― 사상 ―― 함수와 그래프

더 자세히 공부하고 싶은 분을 위해
역자 후기

수많은 교과 중에서도 아이들을 차별하고 선별하는 수단으로 가장 많이 이용되는 과목이 수학이다. 심지어 수학 실력이 머리가 좋은지를 가늠하는 기준이라는 편견이 널리 퍼져 있다. 수학 교육
을 연구하는 사람으로서 매우 안타까운 일이다.
수학은 물론, 수학의 출발점이라 할 수 있는 초등학교 산수도 마찬가지다. 산수는 결코 두뇌를 판단하는 기준이 아니다. 가르치는 방법만 적절하면 모든 아이가 이해할 수 있는 과목이다.
[본문 3p]

양에는 두 가지 의미가 있다. 바로 좁은 의미의 양과 넓은 의미의 양이다. 도량형(度量衡)이라는 말에서 ‘도’는 넓이, ‘양’은 부피, ‘형’은 무게를 가리킨다. 이들 양은 좁은 의미의 양이다. 이제부터 이야기하려는 내용은 더 넓은 의미의 양이다. 부피뿐 아니라 무게, 길이, 면적, 밀도, 시간 등 모든 개념을 ‘양’으로 간주하기 때문이다. 또한 물리학에 나오는 힘, 운동량, 속도, 가속도, 에너지 같은 개념도 모두 넓은 의미의 양으로 본다. 따라서 종류가 매우 많다. 또 사회과학적인 양, 예를 들어 인구, 국토의 면적, 인구밀도, GNP, 나아가 최근 공해문제에 자주 등장하는 ppm도 모두 앞으로 이야기할 ‘양’에 속한다.
[본문 22p]

나무 열매를 주워 먹고 자연에 나 있는 것을 그냥 채집하고 사냥을 하던 구석기시대에는 수가 크게 필요하지 않았을 것이다.
그러나 인류는 점차 계획성을 지닌 신석기시대로 옮겨가게 되었다. 식물 중에서 쌀이나 보리와 같은 식용 식물을 발견했고, 씨앗을 계획적으로 재배하여 식량을 만드는 농업이 발달했다. 나아가 사냥보다는 짐승을 계획적으로 기르는 목축이 시작되면서 아마도 수라는 개념의 필요성이 커졌을 것이다.
[본문 73p]

그렇다면 0이란 무엇인가. 이것은 어떤 의미에서는 꽤 어려운 문제다. 가르치는 사람이 ‘0이란 무엇인가’를 제대로 인식하지 않으면 아이들에게 올바르게 이해시킬 수가 없다. 지금까지는 0이란 ‘없는 것’이라고 가르쳤다. 이것은 아이들이 상상할 수 없는 개념이다. 없는 것을 머릿속에 떠올릴 수는 없으니까. 어른도 그건 불가능하다.
그래서 0이란 있던 것이 없어진 것으로 생각하게 했다. 즉 처음부터 없는 것이 아니라 ‘없어졌다’든가 혹은 ‘있어야 할 것이 없다’는 의미로 가르쳐야 한다.
[본문 89p]