200년이 넘는 역사를 지닌 복소함수론에 관한 책을 쓰기 시작하면서 가장 어려웠던 점은 “무엇을, 어떻게, 왜” 등으로 요약되는“5W1H”의 절반을 차지하는 질문에 대한 대답이었습니다. 45년이 넘는 세월 동안 이 분야가 저자의 마음 속 큰 자리를 차지했던 “극진히 사랑해 온” 분야이기 때문이었을 것이라는 핑계를 스스로에게 대면서, 마음에 드는 대답을 찾지 못한 채로 우선 제1권을 마무리했습니다. (벌써 제2권의 주요 내용이 길모롱이 너머에 아른거리지만 그 얘기는 잠시 미루겠습니다.)제1권의 내용은 아홉 장(章, chapter)으로 구성하였습니다. 첫 장에서는 복소수와 가장 기본이 되는 성질과 개념을 다루는데에서 출발하여, 바로 복소함수론의 중심 연구 대상이 되는 복소해석함수 개념을 소개하였습니다. 열린 집합 위의 점 각각에서 복소 미분가능한 함수를 말하는 것인데, 전통적으로 이 함수는 영어권에서 완전함을 뜻하는 integral function, 그리스어에 뿌리를 둔 용어 holomorphic function 등의 이름으로 불렸던 개념입니다. 우리말로는 ‘완전함수’ 가 어울릴 듯도 한데, 이에 해당하는 영문 용어 ‘entire function’이 오랫동안, 복소 평면전체에 정의되고 모든 점 각각에서 복소미분가능한 함수의 정의로 고정되었기에 그 용어를 피해야 했습니다. 그래서 저자는 공집합이 아닌 열린 집합 위에 정의된 복소미분가능함수에 “온함수” 라는 이름을 붙였습니다. 이 용어가 널리 받아들여지기를 바랍니다. 그리스어 ‘holo’는 완전하다는 뜻을 가진 접두어이기에 이 온함수라는 이름이 적절해 보이거든요.1850년 경 코시(A.-L. Cauchy)의 논문을 받아 든 리만 (B.Riemann)은 상기된 표정으로 괴팅엔 대학의 동료들에게 “새로운 수학이 열리고 있다!” 라는 말을 남기고 도서관으로 사라졌다고 합니다. 지금은 코시 · 리만 방정식으로 알려진 위대한 개념도그 시기에 만들어졌을 것입니다. 1장에서는 이런 내용을 주로다루면서 여러 온함수의 예를 소개하고, 오일러 (L. Euler)의뛰어난 착상을 통해 우리에게 알려진 복소 지수함수를 소개하는선에서 마무리하였습니다.함수론을 소개하려면 함수의 정의구역과 치역에 대한 범위를 정해야 합니다. 물론 이들은 복소 평면의 열린 부분집합(open set)이 되는 편이 좋을 것 같습니다. 온함수의 정의 때문입니다. 그런데 열린 집합에 대해 토의하려면 부득이 위상수학(Topology)을 인용해야 합니다. 그런 만큼 복소함수론은 소위닫혀 있는 이론 (self-contained)이 아닌 것이지요. 이 책에서는이처럼 다른 분야의 지식을 인용할 필요가 생길 때마다, “마실”을 다녀옵니다. 여기 뿐 아니라 이 책의 여러 곳에서 이런 ‘마실’을 보시게 될 것입니다.제2장에서는 온함수의 선적분 이론을 소개합니다. 온함수는실변수 함수로서 미분가능한 함수이므로 그 자신이 연속함수여서 선적분이 자연스럽게 정의됩니다. 그러나 이론 전개에 중심역할을 담당하는 코시 소멸정리를 증명하기 위해서 벡터 미적분학의 방법론을 쓰려는 시도는 자연스러운 생각이지만 바로 난관에 봉착합니다. 온함수는 실변수 함수로서 미분가능하지만,그의 편도함수들이 연속함수인지는 당장 알 수 없기 때문입니다.역사적으로 이를 해결한 것은 구르사 (Goursat)의 정리이지만,우리는 그린(Green) 정리의 정신을 이용하여 코시 소멸정리를증명하고, 그 결과로 온함수의 미분이 연속함수임을 얻어내었습니다. 물론 이 증명 방법이 구르사의 방법론을 원용하였기에아주 새롭다고 할 수는 없겠으나, 나름대로 새로운 맛과 관점을제공한다고 봅니다. 계속해서 코시 적분공식-복소함수론의 기초 토대를 이루는중요한 정리-을 얻어내고, 이로부터 온함수가 얼마든지 여러 번미분가능함을 증명하고 또, 온함수가 소적으로, 고르게 절대수 렴하는 (converges absolutely and uniformly) 멱급수임을 증명합니다. 이 마지막 결과는 코시의 원래 이론 전개에서 온함수의정의로 주어졌기에 “멱급수로 분해 가능한 함수”라는 의미에서온함수에 complex analytic function (fonction analytiquecomplexe) 즉, 복소해석함수라는 이름이 붙게 하였습니다.지금까지 설명 결과를 통해 제3장은 온함수에 대한 여섯 가지 설명, 또는 온함수에 대한 여섯 가지 논리적으로 서로 동등한 정의를 제공하면서 출발합니다. 이와 같이 한 가지의 개념이 여섯가지 모습으로 정의되는 개념은 흔하지 않으며, 그렇기에 많은학생들이 온함수 이론, 즉 복소함수론을 어려워 합니다. 학생시절의 저자도 이런 점을 잘 이해하지 못하여 이 분야 공부에많은 어려움을 겪었습니다. 그러나 조금 시간이 흐른 후 온함수에 대한 공부를 다시 시작할 때에는, 이렇게 여섯 가지 모습의정의가 주어진다는 점이 여섯 개나 되는 무기를 가지고 전투를시작하는 것과 비길 만하기에, 실제로 엄청나게 유리하다는 점을깨달았고, 점점 오히려 이 분야와 사랑에 빠지게 되었습니다.복소 온함수의 성질 중 인수분해 정리, 영점에 관한 정리, 유일확장성 정리 등등... 아름다운 정리들이 이 여섯 개의 동등한정의로부터 쏟아지는 장관이 펼쳐졌기 때문입니다.그러나 수학 연구자는 순수 이론 전개의 아름다움을 추구하는것만으로 만족하지 아니합니다. 온함수의 실수부와 허수부를이루는 조화함수는 여러 과학과 공학에 엄청난 파급효과를 가지는데, 정전기 역학, 유체역학, 열역학 등의 이론 모형 수립에 큰공헌을 합니다. 이들 이론 전개에 온함수 이론이 중요한 역할을하는 것도 당연합니다. 이런 내용은 구체적으로 다루지 않지만참고 문헌을 소개하고, 응용이라는 면에서 매우 중요한 복소 로그함수를 소개하면서 제3장이 마무리됩니다.제4장에서는 코시 적분 공식의 첫 번째 응용으로 온함수의 코시 계측 (Cauchy estimates) 을 얻고, 이로부터 리우빌 (Liouville)의 유명한 정리, 즉 “유계 완전함수는 상수함수이다.”를 얻고 이를 바탕으로 “1차 이상의 복소 다항 방정식은 반드시근을 가진다.” 라는 대수학의 기본정리를 얻게 됩니다. 코시 적분공식이 평균성에 관한 정리임을 이용하여 온함수의 최대 절대값정리도 얻어내며, 코시 적분공식을 이용하여 특별한 선적분의계산을 불가능해 보이는 계산을, 간단히(!) 얻어내는 기적(!)같은면을 보여 주기도 합니다. 또한 온함수가 유클리드 길이를 보존하지는 않지만 미분계수가 0이 아닌 점에서는 각과 방향성을 보존하는 특이한 성질-등각 사상 성질-을 가지는 것도 보여주며제4장이 마무리됩니다. 제5장은 고립된 특이점을 다룹니다. 사라지는 (=없앨 수있는) 특이점, 깃대 특이점 (=극점 특이점), 심각한 (essential)특이점 등, 서로 다른 종류의 특이점에 대한 기본 정리를 먼저다루고, 이들 특이점을 중심으호 하는 이론, 즉 로랑(Laurent)의 이론과 전개식, 그리고 로랑 나머지 및 로랑 나머지 정리 등과, 극점 특이점의 경우 로랑 나머지를 구하는 공식을 소개합니다. 이로부터 적분 계산에서 중요한 역할을 하는 부분 분수정리 (Partial fraction theorem)의 깨끗한 증명도 얻어냅니다. 그리고, 응용으로 과학 및 공학의 여러 분야에서 자주 쓰이는특수한 실수 적분과 이상 적분의 값을 계산하는 절묘한 연산 방법을 소개합니다. 이 부분은 이미 알려진 유명한 예제의 계산을 유형별로 소개하여 계산 능력을 키울 수 있도록 구성하였습니다.복소 로그함수 log z (사실은 다중함수)의 허수부는 진수 z의 편각 arg z 입니다. arg z 가 다중함수임을 이용하여 온함수 와 버금함수 (meromorphic function) 의 0점과 극점에 관한이론을 전개하는 것이 제6장 이론 전개의 핵심입니다. 이로부터온함수의 역함수를 표현하는 공식을 얻고, 온함수의 0점에 관한루셰의 정리도 얻으며, 온함수의 치역에 관한 열린함수정리, 단사온함수열의 극한함수의 단사성 여부에 관한 후르비츠 정리 등을모두 얻어냅니다. 제7, 8장에서는 복소 영역 위에 정의되고 실수값을 가지는조화함수를 다루었습니다. 이런 함수는 국소적으로 온함수의실수부를 이루기 때문에 평균성 원리, 최대값정리, 유일확장성정리 등 여러 성질을 가지는 점을 설명하였습니다. 특히 원반영역 위에서는 포아송 적분공식 정리가 성립하므로 이를 상세히설명하여 조화함수에 대한 이해를 높이려 하였습니다.이 부분 이론의 중심은 조화함수의 응용에 거의 가장 중요한위치를 차지하는 디리클레 (Dirichlet) 문제-유계 복소 영역의경계 위에 정의된 실수 값을 가지는 연속함수가 주어지면, 이함수와 경계에서 일치하는 조화함수를 영역의 내부에 구성하여영역의 닫힘 집합 (closure)위에서 전체적으로 연속함수가 되게하라는 문제-로 삼았습니다. 원반 영역의 디리클레 문제는 포아송 적분공식 정리를 사용하여 증명한 슈바르츠(H. A. Schwarz)의 정리이며, 이를 시작으로 하르나크 (Harnack) 이론을 뼈대로삼고, 버금조화 봉우리함수를 이용한 페론 (O. Perron)의 방법론을 비교적 자세히 설명하여 디리클레 문제의 해결을 소개함으로써 8장의 이론 전개를 마무리하였습니다. 제9장에서는 역사적인 가치가 높고 수학적으로도 큰 의미가있는 리만함수정리-복소 평면 전체가 아닌 진부분 집합인 복소영역이 단순연결되어 있다면 이는 단위 원반과 온함수 동형이라 는 정리-를 소개하고 증명하였습니다. 1851년 리만의 괴팅엔대학교 강연에서 언급되었던 이 정리의 논증은 수학자들이 받아들이기 어려운 채로 오랜 세월이 흘렀습니다. 1912년 카라테오도리(Caratheodory)의 명쾌하고도 정확한 증명이 발표된 이후 지금까지 복소함수론 책에 표준 증명으로 수록된 이 증명은 그러나, 리만의 원래 착상과는 전혀 다른논증입니다. 리만의 원래 착상은 부대 조건을 추가한 형태로 다루어지기는 했지만, 2017년에 와서야 로버트 그린 (Robert E.Greene)과 김강태 (이 책의 저자)의 논문이 리만의 원래 착상을 정확한 논증으로 재생해냈고, 그 결과가 최근에 널리 알려지기시작하였으므로 이 책에서는 로버트 그린？김강태의 증명을 보다개선하고 이를 상세히 소개하였습니다. 이 논증은 리만의 아이디어를 따라 조화함수의 디리클레 문제 해결을 중심 착상으로사용하면서 이 책 전체의 지식을 아우르는 장점을 보여 주므로,저자는 이 정도가 이 책 “복소함수론 I” 을 마무리하기에 좋은시점이라고 생각하였습니다. 복소함수론의 세계는 광대하고 심오합니다. 이 책에 수록된정도의 내용으로는, 300쪽을 넘겼음에도 복소함수론의 서론 정도에 불과하거든요. 하지만 그렇기에, 이 책의 제목을 “복소함수론I” 로 정한 이유가 설명되기도 합니다. 당연한 일이겠지만, 다음책-제게는 좀 더 흥미로운 내용을 포함하게 될-복소함수론 II가 길모롱이에서 저자에게 유혹의 손짓을 보내고 있기도 하고요.후속 저술에 포함될 내용에 관해서는 이 책의 꼬리 부분에서 잠깐설명하려 합니다. 이 책에서는 참고 문헌이 필요하다고 생각될 때마다 각주를이용하여 인용하였으므로 따로 참고문헌 목록을 작성하지 않았고, 찾아보기 부분보다는 상세한 차례가 더 도움이 될 것이라고 생각하여 책 마지막 부분에 찾아보기 페이지 대신, 상세한 차례를 붙였습니다. 두 개의 차례는 비슷해 보이지만 같지 않습니다. 끝에 보다 상세한 차례를 다시 붙인 것이 고의이고 실수가아닌 이유는, 주요 개념을 찾는 열쇠가 상세한 차례에 들어 있기때문입니다. 그리고 책 전체에서 일관되게 사용한 기호가 몇 개있기에 그것을 정리하여 이 글 바로 다음에 실었습니다.

1 장 복소 해석함수의 기초 2 장 복소 해석함수의 기초 3 장 온함수의 기본 성질과 응용 4 장 온함수의 기본 성질과 응용 5 장 특이점 6 장 편각 원리 (Argument Principle) 7 장 조화함수 8 장 조화함수 II; 디리클레 문제 9 장 리만 함수정리