미분보다 적분 먼저 절대 잊어버리지 않는 피타고라스 정리 증명법 학교에서 배운 수학을 제대로 이해하자 모든 학문의 여왕, 수학. 인간이 생각을 하게 된 때부터 등장한 수학에는 수천 년에 걸친 인간 지성의 정수가 담겨 있다. 수확물을 분배하고 이자를 계산하는 일부터 지구의 크기를 구하는 문제까지, 수학은 우리 일상과 밀착되어 있다. 하지만 지금 수학은 우리가 가장 멀고 낯설게 느끼는 학문이 되었다. 수학책은 의미를 알 수 없는 기호와 도형들로 가득하고, 우리가 수학 시간에 하는 것도 공식에 맞춰 기계적으로 문제를 푸는 일 밖에 없다. 하지만 수학은 우리가 21세기를 살아가기 위해 꼭 필요한 도구고 언어다. 캘리포니아 공과대학 교수로 세계적 수리물리학자인 오구리 히로시는 자신의 딸 또한 수학의 묘미를 느끼길 바라는 마음으로 이 책을 썼다. 수학 교과서에 나오는 개념들을 따라가면서 때로는 수학자들의 흥미로운 역사를 곁들이고 때로는 이야기글도 덧붙이며 수학의 재미를 돋운다. 왜 미분보다 적분을 먼저 배워야 할까? 고등학교 수학 교과서에서는 보통 미분을 먼저 설명한 후 그 역연산으로 적분을 도입한다. 이러한 순서는 완성된 수학을 논리적으로 가르치기 위해서지만, 역사적인 발전 순서로 보면 정반대다. 적분 계산을 위해 아르키메데스가 구적법을 발명한 것은 기원전 3세기지만 뉴턴과 라이프니츠가 미분법을 고안한 것은 17세기다. 적분은 면적이나 부피 등 눈에 보이는 양을 계산하기 위해 필요한 개념이었기 때문이다. 반면 미분을 이해하려면 극한에 대한 개념을 먼저 알고 있어야 한다. 그렇다면 어려운 미분을 공부하기 전에 직관적으로 이해하기 쉬운 적분부터 익히는 것이 더 쉽지 않을까? 이 책은 수학의 역사를 따라 우리가 직관적으로 알기 쉬운 것부터 차근차근 설명하면서 독자들이 흥미의 끈을 놓지 않는 동시에 수학적 내용을 깊이 있게 이해하도록 돕는다. 도박에서 절대 지지 않는 법 인터넷 암호체계의 원리 은행예금이 배가 되려면? 수학은 우리 일상 어디에나 있다 고대 그리스 시대부터 성장해온 수학은 우리 일상 어디에나 있다. 따라서 수학을 이해하는 것은 세상을 읽는 새로운 언어를 획득하는 것과 마찬가지다. 오구리 히로시는 ‘제1장 불확실한 정보를 가지고 판단한다’에서 확률이 아주 조금 유리할 때 도박에서의 승률이 얼마나 높아지는지 계산한다. 가령 내가 상대방보다 3퍼센트 정도로 확률이 유리할 때 충분한 돈을 가지고 내기를 계속하면 판돈을 두 배로 만들 확률은 99.75퍼센트까지 올라간다. 즉, 도박에서는 ‘아주 조금이라도 유리할 때 충분한 돈을 가지고 시작하면 거의 확실하게 이긴다.’ 이 사실은 우리가 얼마나 오래 사는가에도 적용할 수 있다. 이를테면 균형 잡힌 식생활, 적당한 운동, 규칙적인 생활 등 매일의 습관을 건전하게 개선하는 것은 오래 살 확률을 ‘아주 조금 유리하게’ 만들어 우리가 장수할 확률을 대폭 높일 수 있다. 이 확률이 얼마나 높아지는가 숫자로 확실하게 표현할 수 있는 것이 바로 수학의 힘이다! 결국 수학은 필요에 의해 탄생한 학문이다. 고대부터 문명이 발달한 곳에는 항상 수학이 있었고 문명의 기틀이 되어왔다. 아주 멀고 낯설게만 느껴지는 수학이 실상은 우리의 삶과 직접 결부되어 있는 것이다. 가령 분모를 다시 분수로 만들어 단위분수를 이어 만든 ‘연분수’는 달력을 만드는 데 사용되어왔다. 1년을 대략 365.24219일로 두고 분수 근사계산을 하면 365.24219는 365+0.024219≒365+1/4이므로 4년에 한 번 2월 29일까지 있는 달력을 생각할 수 있다. 하지만 이 경우 오차가 0.00781일이 있다. 따라서 ‘4로 나누어지는 해는 윤년으로 하지만 100으로 나누어지고 400으로 나누어지지 않는 해는 윤년으로 하지 않는다’는 규칙에 따라 만든 달력이 지금 우리가 쓰고 있는 그레고리우스력이다. 수학자들만의 전유물 같은 ‘소수’도 우리 생활 깊숙이 자리 잡고 있다. 수의 비밀을 품고 있어 ‘수의 아톰’이라고도 불리는 소수는 고대 그리스부터 현대까지 수학자들을 매료시킨 개념이다. 수학자들은 소수의 출현 패턴이나 소수 판정법을 연구하고 있지만 아직까지도 소수에는 풀리지 않은 문제가 많다. 그럼에도 소수는 우리 생활에서 긴요히 쓰이고 있다. 바로 인터넷 상에서 쇼핑이나 결제를 할 때 사용되는 암호 시스템이 소수의 성질을 응용해 개발된 것이다. 그동안 암호 기술은 아무리 복잡해도 암호화의 규칙이 노출되면 금방 풀 수 있었다. 그런데 소수를 이용한 암호는 암호화의 규칙을 알고 있어도 풀 수 없다. 예컨대 자물쇠는 그것을 푸는 방법을 알고 있더라도 열쇠가 없으면 풀지 못한다. 마찬가지로 소수를 이용함 암호 체계도 큰 수는 소인수분해가 어렵다는 소수 특유의 성질을 이용해 각 사용자에게 고유한 ‘열쇠’를 제공할 수 있도록 한 기술이다. 이처럼 오구리 히로시는 수학이 우리 생활을 크게 바꾼 사례를 통해 일상과는 동떨어진 것 같은 수학이 실제로 얼마나 강력한 도구인지 보여준다. 왜 수학을 알아야 하는가 세상으로 나가는 딸에게 들려준 가장 강력한 무기, 수학 학교에서 처음 수학을 배웠을 때 느낀 당혹감을 누구나 기억하고 있을 것이다. 말로 풀어서 설명해주는 다른 과목과는 달리 수학에서는 무엇이든 기호로 압축해버리기 때문이다. 손가락으로 셈을 할 수 있는 수들을 넘어 음수, 분수, 그리고 소수를 배우면서 덧셈 뺄셈만 기계적으로 하는 동안 과연 이게 실생활에 얼마나 도움이 될까 의심해본 사람도 있을 것이다. 이런 당혹감은 학년이 올라갈수록 더 심화된다. 삼각형과 원, 지수와 로그, 미분과 적분 등 무의미해 보이는 기호와 도형들은 자꾸만 늘어난다. 언젠가는 도움이 된다는 선생님의 말을 믿으며 기계적으로 문제를 풀어나갈 뿐이다. 하지만 수학적 개념이 왜 만들어졌는지 알고 나면 수학도 좀 더 친밀해질 수 있지 않을까? 가령 많은 사람들이 음수와 음수를 곱하면 양수라고 외우면서 왜 그렇게 되는지는 이해하지 못한다. 애초에 음수는 머릿속으로 떠올리기 힘든 개념이기 때문이다. 음수를 받아들이기 어려웠던 것은 저명한 수학자도 마찬가지다. 17세기까지도 수학계는 음수를 받아들이길 주저해 수학자 블레즈 파스칼은 ‘0에서 4를 빼면 0 그대로다’고 주장하고, 르네 데카르트도 방정식을 풀었을 때 음수가 나오면 ‘무보다 작은 수는 없다’며 거부했다. 무리수는 더욱 받아들이기 힘들었다. 피타고라스는 정사각형의 한 변과 대각선의 비에서 무리수를 발견한 히파소스를 바다에 빠뜨려 죽였다고 한다. 납득하긴 어렵지만 음수와 무리수는 분명 자연계에 존재하는 수이고 자연 현상을 설명하기 위해 꼭 필요한 개념이다. 인류는 이런 수들을 이용해 보다 강력한 계산방법을 활용할 수 있었다. 단순한 셈을 위한 자연수에서 시작해 뺄셈을 자유롭게 하기 위해 0과 음수를 생각해냈고, 나눗셈을 자유롭게 하기 위해 분수를 생각했고, 도형을 작도하기 위해 무리수를 발견했다. 이처럼 수의 세계가 넓어지면서 자연 현상에 대한 이해도 깊어졌다. 2차방정식의 해의 공식을 발견함으로써 대포의 포탄이 어디에 떨어질지 예측하게 되었고, 대수함수의 도입으로 지구의 공전주기를 계산할 수 있게 되었으며, 이것은 뉴턴의 중력 법칙으로 이어진다. 이처럼 수학을 통해 자연 현상을 해명하는 것을 오구리 히로시는 “말할 수 없었던 것을 말하고 풀 수 없었던 문제를 풀 수 있는” 언어를 얻은 것과 같다고 말한다. 사물에 대한 정확한 표현을 위해서 만든 언어가 바로 수학이다. 수학은 이제 세상으로 나갈 딸에게 아버지가 준비해준 가장 강력한 도구인 것이다. 이 책은 딸에게 전하는 간곡한 목소리로 21세기에 의미 있는 생을 살아가기 위한 도구로서 수학의 중요성을 역설한다.

머리말 _ 아버지가 딸에게 전하는 수학 제1장 불확실한 정보를 가지고 판단한다 O. J. 심슨 재판, 변호측 교수의 주장 · 우선 주사위를 던져본다 · 도박에서 지지 않는 방법 · 조건부 확률과 베이즈의 정리 · 유방암 검진을 받을 의미가 있는가 · ‘경험으로 배운다’를 수학적으로 배운다 · 원자력발전소 중대사고가 다시 발생할 확률 · O. J. 심슨은 부인을 죽였을까 제2장 기본원리로 되돌아가본다 기술혁신을 위해서 필요한 것 · 덧셈, 곱셈 그리고 세 가지 규칙 · 뺄셈, 그리고 영의 발견 · (-1)×(-1)은 왜 1이 되는가? · 분수가 있다면 무엇이라도 나눌 수 있다 · 가분수 → 대분수 → 연분수 · 연분수로 달력을 만든다 · 정말 인정하고 싶지 않았던 ‘무리수’ · 2차방정식의 화려한 역사 3장 큰 수도 무섭지 않다 세계 최초의 원자폭탄실험과 페르미 추정 · 대기 중 이산화탄소는 어느 정도 증가했을까 · 큰 수가 나와도 두렵지 않다 · 천문학자의 수명을 2배로 늘린 비밀병기 · 복리효과를 최대로 하는 예금방법은? · 은행예금이 배가 되려면 몇 년이나 맡겨야 할까? · 자연법칙은 대수로 간파한다 제4장 소수의 불가사의 순수수학의 꽃으로 · ‘에라토스테네스의 체’로 소수를 발견하다 · 소수는 무한개 있다 · 소수의 출현에는 패턴이 있다 · 파스칼의 삼각형으로 소수를 판정한다 · 페르마 테스트에 합격하면 소수? · 통신 비밀을 지키는 ‘공개 열쇠 암호’란? · 공개 열쇠 암호가 열쇠, 오일러의 정리 · 신용카드 번호 주고 받기 제5장 무한세계와 불완전성 정리 호텔 캘리포니아에 잘 오셨어요! · ‘1=0.99999…’는 납득할 수 없다? · 아킬레우스는 거북이를 따라잡을 수 없는 걸까? · ‘지금 나는 거짓말을 하고 있다’ · ‘알리바이 증명’은 ‘귀류법’ · 이것이 괴델의 불완전성 정리다! 제6장 우주의 형태를 측정하다 고대 그리스인은 지구의 크기를 어떻게 측정했을까? · 기본 중의 기본, 삼각형의 성질 · 데카르트 좌표라는 획기적인 아이디어 · 6차원이라도 9차원이라도 10차원이라도 · 유클리드 공리가 성립하지 않는 세계 · 평행선 공리만이 성립하지 않는 세계 · 외부에서 보지 않아도 형태를 알 수 있는 ‘경이로운 정리’ · 한 변이 100억 광년인 삼각형을 그린다 제7장 미적분은 적분부터 아르키메데스로부터의 편지 · 왜 ‘적분부터 먼저’ 일까? · 원래 면적은 어떻게 계산하지? · 어떤 도형이라도 OK, ‘아르키메데스의 구적법’ · ‘적분’에서는 무엇을 계산하고 있을까? · 여러 가지 함수를 적분해보자 · 날아가고 있는 화살은 멈춰 있는가? · 미분은 적분의 역 · 지수함수의 미분과 적분 제8장 정말로 존재하는 ‘공상의 수’ 공상의 수, 공상의 친구 · 어떻게 해도 나오는 ‘제곱하여 음수가 되는 수’ · 1차원의 실수에서 2차원의 복소수로 · 복소수의 곱셈은 ‘돌려서 늘인다’ · 곱셈으로 이끄는 ‘덧셈정리’ · 기하의 문제가 방정식으로 풀린다! · 삼각함수와 지수함수를 연결한 오일러공식 제9장 ‘어려움’과 ‘아름다움’을 측정한다 갈루아, 20년의 생애와 불멸의 공적 · 도형의 대칭성이란 무엇인가? · ‘군’의 발견 · 2차방정식 ‘해의 공식’의 비밀 · 3차방정식은 왜 풀 수 있을까? · ‘방정식을 풀 수 있다’란 어떤 것인가? · 5차방정식과 정20면체 · 갈루아로부터의 편지 · 식의 어려움과 형태의 아름다움 · 또 하나의 혼을 얻다 후기

음수와 음수의 곱셈에 대해서 생각해보자. 네가 매일 하교 길에 100원짜리 주스를 사마셨다고 하자. 이번에는 용돈이 없다고 한다. 저금이 매일 100원씩 줄어들 것이다. 하루가 지나면 100원, 이틀이 지나면 200원 줄어든다. n일이 지나면 100×n원 줄어든다. 이것을 (-100)×n으로 나타낼 수 있다. 여기서 하루 전의 경우, n=-1이라고 한다면 어떨까. 매일 100원짜리 주스를 사서 마셨기 때문에 100원씩 저금이 줄어드는 것이니 어제는 오늘보다 100원 더 많은 저금이 있었을 것이다. 즉 (-100)×(-1)=100이어야 한다. 그저께 즉 n=-2에는 200원 많았을 것이므로 (-100)×(-2)=200이 된다. 음수와 음수를 곱하면 양수가 된다고 예상할 수 있다.(55쪽) 1945년 7월, 미국 뉴멕시코 주의 트리니티 실험장에서 세계 최초의 원자폭탄실험이 행해졌다. 그 3년 전에 시카고 대학에서 원자로를 건설하여 원자핵 분열의 지속적인 연쇄반응을 가능하게 한 엔리코 페르미도 맨해튼 계획의 일원으로 실험에 참가했다. 폭발하고 40초 후 관측기지에도 폭풍이 도달했다. 폭발이 있었던 지점을 바라보고 있던 페르미는 일어서서 머리 위로 두 손을 번쩍 들었다. 손에는 미리 준비해둔 메모용지가 있었다. 폭풍이 도달하자 양손을 펼쳤다. 종이쪽지는 2미터 반 정도 날아서 지면에 떨어졌다. 이것을 본 페르미는 잠시 생각한 후 참가자들을 보고 말했다. “TNT 화약 2만 톤에 상당하는 위력이군요.”(81쪽) 소수가 무한개 있다는 것을 알았는데, 소수를 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43… 이렇게 나열해보면 거기에는 어떤 패턴이 있지 않을까? 이 문제는 고대 그리스시대부터 현대에 이르기까지 수학자를 매료시켰다. 소수의 패턴을 찾는 것은 원자의 주기율표를 찾는 것과 같다고 생각한다. 19세기 화학자 드미트리 멘델레예프가 그때까지 발견된 원소를 원자량 순으로 나열하자, 그 성질에 주기적 패턴이 있다는 것을 알았다. 그 주기성을 가지고 새로운 원자의 존재를 예언했다. 그리고 멘델레예프의 주기율표는 20세기의 원자구조의 해명에 큰 영향을 미쳤다. 이와 마찬가지로 수의 아톰인 소수의 패턴을 이해하면, 수의 비밀을 보다 깊이 해명할 수 있다고 기대할 수 있다.(116~117쪽) 1=0.99999…를 이해할 수 없다면 이 두 숫자의 차이는 무엇인가. 제2장에서 본 것처럼 덧셈과 뺄셈의 기본 규칙을 적용하면 a-b=0이라면 a=b가 된다. 그러므로 1-0.99999…=0이라고 하면 1=0.99999…도 인정하지 않을 수 없다. 그럼 1-0.99999…가 0이 아니라면 어떨까? 그때는 1과 0.99999…의 차이는 도대체 무엇인가가 문제가 된다. 생각해보면 0.99999…라는 무한 소수의 표기는 어쩐지 꺼림칙하다. 원래 ‘…’에는 무엇이 들어가는 것일까? 유한한 존재인 우리에게는 무한한 숫자가 늘어서 있는 무한 소수를 단번에 이해할 수 없다. 그래서 우리가 이해할 수 있는 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999라는 유한 소수의 열을 생각해보자. 이처럼 숫자가 늘어서 있는 것을 ‘수열’이라고 한다. 이 수열과 1과의 차이를 계산해 보면 다음과 같다.(157쪽) 고등학교 수학에서는 거의 모든 교과서가 미분을 먼저 설명한 후에 그 역연산으로서 부정적분을 도입한다. 그리고 면적을 계산하기 위한 정적분은 부정적분의 차이로서 정의한다. 이러한 순서는 완성된 수학을 논리적으로 가르친다는 의미에서는 이치에 맞지만, 역사적인 발전 순서로 보면 정반대이다. 아르키메데스가 면적을 계산하기 위해 적분을 연구한 것은 기원전 3세기이고 뉴턴과 라이프니츠가 미분법을 고안해낸 것은 17세기. 두 시기 사이에는 1800년 이상이나 차이가 있다. 역사적으로 적분이 먼저 발견된 것에는 이유가 있다. 적분은 면적이나 체적 등 눈에 보이는 양을 계산하는 데 직접 관계가 있다. 반면, 미분의 경우에는 무한 소수나 극한 등의 개념을 확실하게 이해할 필요가 있다. 예를 들면 운동하는 물체의 속도는 미분으로 정의할 수 있지만, 고대 그리스 시대에는 극한의 개념이 아직 확립되지 않았기 때문에 나중에 이야기하는 ‘날아가고 있는 화살은 멈춰 있다’라는 제논의 역설이 문제가 되었다. 미분은 수학적으로 더 ‘고상’한 개념이다.(226~227쪽)