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[eBook]중1이 알아야 할 수학의 절대지식 : 개정 교과서에 맞춘 영역별, 주제별 수학 이야기

저 : 나숙자 ㅣ 출판사 : 북스토리 ㅣ 발행일 : 2014년 08월29일 | 종이책 발행일 : 2014년 01월02일

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수학의 기본 개념부터 배경 원리까지!
교과서 옆에 두고, 수업 진도에 맞춰 따라 읽는 재미있는 수학 교과서

중학 수학, 두 마리 토끼를 다 잡아야만 한다
학교 공부를 꽉 잡는 '개념수학'부터 논리적 사고를 키우는 '융합수학'까지!
최근 수능의 '수학' 문항을 통해 다시 한 번 확인하게 된 것은 바로 '개념의 중요성'이었다. 정확한 개념과 정의를 알면 문제의 실마리가 보이고, 그 실마리를 바탕으로 사고력과 문제해결력을 발휘하면 해결할 수 있는 문제들이 주를 이루었다. 즉 이는 학생들이 '정의'와 '개념'에 입각해서 문제를 바라볼 줄 아는 힘이 있어야 한다는 것이다. 그러기 위해서는 개념에 대한 정확한 이해가 필수적으로 요구된다.
그렇다면 수학 개념을 가장 잘 이해하고 쉽게 응용할 수 있는 가장 확실한 방법은 무엇일까? 그것은 단순히 개념만을 외우고 익히는 것이 아니라, 그 개념이나 공식이 탄생된 배경과 그에 접근할 수 있었던 논리적 단계들을 이해하는 것이다. 이런 배경 원리에 대한 이해는 수학에 대한 흥미를 키워줄 뿐만 아니라, 학생 스스로가 개념을 정확히 이해하고 응용할 수 있게 해주며, 더 나아가 2013년부터 새로 도입된 수학 교육 선진화 방안의 취지에도 정확히 부합되는 것이다.
좀 더 이해를 돕는다면, 대학 입시를 위한 필수 과목으로만 치부해왔던 수학이 2013년 수학 교육 선진화 방안에 맞추어 스토리텔링 스팀(STEAM) 수학으로 변화하면서 '쉽게 이해하고 재미있게 배우는 수학'을 위해서 초등학교 1?2학년 수학 교과서가 스토리텔링 교과서로 변경됐으며, 순차적으로 초등학교 전 과정과 중학교 수학 교과서도 스토리텔링 방식으로 바뀌었다. 수학은 이제 공식 중심의 문제풀이 방식에서 벗어나 공식이 가지고 있는 배경지식에 대한 논리력과 치밀한 추론, 그리고 다양한 분야를 융합할 수 있는 기초 학문으로서의 역할이 커진 것이다. 이에 중학교 수학은 다양한 사고를 통해 자신의 생각을 잘 표현할 수 있는 수학적 개념을 찾아내 증명할 수 있어야 한다. 그리고 이런 과정에서 다시 한 번 필연적으로 개념에 대한 숙지와 배경 원리에 대한 이해가 중요해진 것이다.
한편 중학 수학이란 수학 교육 전체 과정에서 수학의 핵심 개념과 각 단원별로 파생되는 공식, 그 공식이 탄생하게 된 배경 원리를 배우는 첫 단계이기도 하다. 즉 중학 수학부터는 암기 위주의 빠른 학습이 아니라, 하나의 개념을 익히더라도 그 개념이 어떻게 다른 단원과 관련이 되는지까지 꼼꼼히 따져보고, 그 개념을 심화해보는 과정의 시작인 것이다. 단편적인 개념 알기가 아니라 포괄적인 개념을 이해할 수 있어야 하며, 자신이 이해한 개념을 바탕으로 문제를 해결하는 과정을 습득해 나가는 것이 바로 중학 수학이다. 그러므로 중학 수학을 공부하면서 개념과 배경 원리에 대한 이해를 도외시한다는 것은 핵심을 피해 학습하는 무의미한 공부법이 될 수 있는 것이다.
이 책 [중1이 알아야 할 수학의 절대지식]에서는 중학 수학의 핵심 개념에 대한 확실한 이해와 함께 수학과 관련된 다양한 배경지식을 자연스럽게 접할 수 있도록 구성하였다. 초등 수학을 마치고 중등 수학으로 넘어가는 이때에는 용어도, 개념도 어려워져 수학을 포기하는 시기가 되기도 하는데, 이 책은 수학에 대한 관심과 흥미를 높여 학습에 대한 자신감을 키우고, 수업에 적극적으로 참여할 수 있는 계기를 만들어줄 수 있을 것이다.

[친절한 수학 교과서] 꼼지샘의
개정 교과서에 맞춘 영역별, 주제별 수학 이야기
26년 동안 수학 시(詩) 짓기, 수학 만화 그리기, 수학 일기 쓰기, 수학 신문 만들기 등 다양한 방법을 통해 재미있는 수학 시간을 꾸려오며 수많은 학생들을 '수학은 재미없고 어렵다'는 편견에서 벗어나게 해준 친절한 수학 선생님 '꼼지샘'이 이번에는 수학 기본 원리를 단단하게 다질 수 있는 중학생을 위한 [중1이 알아야 할 수학의 절대지식]을 내놓았다. 나긋나긋 학생들과 대화하듯 수학의 원리와 기초 개념을 풀어내고, 더불어 수학과 관련된 역사적 에피소드와 실제 일상생활에서 접할 수 있는 응용 사례까지 들려주어 친절한 꼼지샘의 수업 시간을 그대로 옮겨놓은 듯한 이 책은 중학교 1학년 개정 교과서에 맞추어 영역별, 주제별로 구성된 이야기 수학책이다.
이 책은 암기나 수식을 계산해야 하는 문제 풀이식 구성이 아니라, 수학의 개념과 성질을 학생들이 이야기를 통해 쉽게 이해할 수 있도록 구성하여, 교과서와 똑같은 흐름을 천천히 따라가다 보면 자연스럽게 개념이 이해가 되고, 이는 문제해결력으로 이어져 조금씩 수학 공부의 즐거움에 빠져들 수 있을 것이다. 또한 꼼지샘 나숙자 선생님의 가장 큰 장점 중 하나인 쉽고 논리적인 접근은 학생들까지도 자연스럽게 논리적인 사고를 할 수 있는 습관을 만들어줄 것이다.
이 책은 크게 7개의 마당, 즉 자연수와 소인수분해, 정수와 유리수, 문자와 식, 함수, 통계, 기본도형, 평면도형과 입체도형으로 나누었으며, 이러한 구성은 중학교 1학년 교과서의 체계를 따른 것이다. 내용을 전개할 때는 교과서 순서에 맞추어 주제별로 정리했고, 그중에 중학교 1학년 교과서에 있는 내용이면서 반드시 알아둬야 하거나 개념을 분명하게 해두고 싶은 것은 '교과 학습'에, 융합사고력 수학의 전반적인 기초 지식을 다룬 것은 '융합 학습'으로 나누어 설명하고 있다.

1. 새로운 교육과정에 맞추어 학년별, 주제별, 교과서 순으로 전개했다.
2. 공식을 무조건 외우게 하는 것이 아니라 스스로 만들어보고 적용하는 방법을 제시했다.
3. 수학 용어에 대한 개념과 원리를 꼼꼼하게 설명했다.
4. 주먹구구식이 아니라 논리에 이야기를 입혔다.
5. 수학의 전체 모습을 보여주기 위해 애썼다. 수학의 기본 개념부터 배경 원리까지!
교과서 옆에 두고, 수업 진도에 맞춰 따라 읽는 재미있는 수학 교과서

중학 수학, 두 마리 토끼를 다 잡아야만 한다
학교 공부를 꽉 잡는 '개념수학'부터 논리적 사고를 키우는 '융합수학'까지!
최근 수능의 '수학' 문항을 통해 다시 한 번 확인하게 된 것은 바로 '개념의 중요성'이었다. 정확한 개념과 정의를 알면 문제의 실마리가 보이고, 그 실마리를 바탕으로 사고력과 문제해결력을 발휘하면 해결할 수 있는 문제들이 주를 이루었다. 즉 이는 학생들이 '정의'와 '개념'에 입각해서 문제를 바라볼 줄 아는 힘이 있어야 한다는 것이다. 그러기 위해서는 개념에 대한 정확한 이해가 필수적으로 요구된다.
그렇다면 수학 개념을 가장 잘 이해하고 쉽게 응용할 수 있는 가장 확실한 방법은 무엇일까? 그것은 단순히 개념만을 외우고 익히는 것이 아니라, 그 개념이나 공식이 탄생된 배경과 그에 접근할 수 있었던 논리적 단계들을 이해하는 것이다. 이런 배경 원리에 대한 이해는 수학에 대한 흥미를 키워줄 뿐만 아니라, 학생 스스로가 개념을 정확히 이해하고 응용할 수 있게 해주며, 더 나아가 2013년부터 새로 도입된 수학 교육 선진화 방안의 취지에도 정확히 부합되는 것이다.
좀 더 이해를 돕는다면, 대학 입시를 위한 필수 과목으로만 치부해왔던 수학이 2013년 수학 교육 선진화 방안에 맞추어 스토리텔링 스팀(STEAM) 수학으로 변화하면서 '쉽게 이해하고 재미있게 배우는 수학'을 위해서 초등학교 1?2학년 수학 교과서가 스토리텔링 교과서로 변경됐으며, 순차적으로 초등학교 전 과정과 중학교 수학 교과서도 스토리텔링 방식으로 바뀌었다. 수학은 이제 공식 중심의 문제풀이 방식에서 벗어나 공식이 가지고 있는 배경지식에 대한 논리력과 치밀한 추론, 그리고 다양한 분야를 융합할 수 있는 기초 학문으로서의 역할이 커진 것이다. 이에 중학교 수학은 다양한 사고를 통해 자신의 생각을 잘 표현할 수 있는 수학적 개념을 찾아내 증명할 수 있어야 한다. 그리고 이런 과정에서 다시 한 번 필연적으로 개념에 대한 숙지와 배경 원리에 대한 이해가 중요해진 것이다.
한편 중학 수학이란 수학 교육 전체 과정에서 수학의 핵심 개념과 각 단원별로 파생되는 공식, 그 공식이 탄생하게 된 배경 원리를 배우는 첫 단계이기도 하다. 즉 중학 수학부터는 암기 위주의 빠른 학습이 아니라, 하나의 개념을 익히더라도 그 개념이 어떻게 다른 단원과 관련이 되는지까지 꼼꼼히 따져보고, 그 개념을 심화해보는 과정의 시작인 것이다. 단편적인 개념 알기가 아니라 포괄적인 개념을 이해할 수 있어야 하며, 자신이 이해한 개념을 바탕으로 문제를 해결하는 과정을 습득해 나가는 것이 바로 중학 수학이다. 그러므로 중학 수학을 공부하면서 개념과 배경 원리에 대한 이해를 도외시한다는 것은 핵심을 피해 학습하는 무의미한 공부법이 될 수 있는 것이다.
이 책 [중1이 알아야 할 수학의 절대지식]에서는 중학 수학의 핵심 개념에 대한 확실한 이해와 함께 수학과 관련된 다양한 배경지식을 자연스럽게 접할 수 있도록 구성하였다. 초등 수학을 마치고 중등 수학으로 넘어가는 이때에는 용어도, 개념도 어려워져 수학을 포기하는 시기가 되기도 하는데, 이 책은 수학에 대한 관심과 흥미를 높여 학습에 대한 자신감을 키우고, 수업에 적극적으로 참여할 수 있는 계기를 만들어줄 수 있을 것이다.

[친절한 수학 교과서] 꼼지샘의
개정 교과서에 맞춘 영역별, 주제별 수학 이야기
26년 동안 수학 시(詩) 짓기, 수학 만화 그리기, 수학 일기 쓰기, 수학 신문 만들기 등 다양한 방법을 통 ...

첫째 마당_ 자연수와 소인수분해
약속으로부터 출발한 수학
약수에 대한 약속
소수는 자연수에서 태어난 수이다
자연수의 바탕이 되는 수가 소수이다
에라토스테네스의 체가 고마운 이유
소수는 무한히 많다?
새로운 소수를 찾아라
지금까지 발견한 가장 큰 소수는 메르센 소수이다
소수도 아니고 합성수도 아닌 자연수는 존재할까?
소인수분해는 왜 하는 거야?
소인수분해의 3대 역할
소인수분해를 이용하면 암호도 풀 수 있다
곱셈을 한 단계 업그레이드시켜 봐! 거듭제곱이 보여
24은 8이 아니다
거듭제곱! 무서워~
우린 항상 서로소 관계에 있는 거니?
따돌림 없는 ...

RSA 암호체계에 대해서 들어 본 적이 있을지 모르겠다. RSA 암호체계는 1978년 미국 매사추세츠 공과대학의 리베스트(Rivest), 샤미르(Shamir), 아델먼(Adelman) 등이 공동 개발한 소인수분해를 이용한 암호체계를 말하며, 세 사람의 이름 앞 글자를 따서 명명하였다. 잠깐 상상력을 발휘해 보자. 우리 친구는 지금 스파이 임무를 맡고 있다! 위기의 순간, 동료에게 중요 서류가 있는 장소를 알려주어야 하는데 비밀번호를 그대로 적어 전달하기에는 위험이 너무 크다. 그래서 비밀번호 대신에 동료가 풀 수 있는 암호를 전달하기로 했다. 바로 소인수분해를 사용해 풀 수 있는 RSA 암호 말이다.
이 암호체계는 자물쇠(공개키)와 열쇠(비밀키)로 이루어져 있다. 이때 자물쇠(공개키)는 비밀번호의 힌트가 되는 암호로 특정 숫자를 말하며, 열쇠(비밀키)는 암호를 소인수분해해야 알 수 있는 비밀번호를 말한다. 조금 복잡해 보이지만 예를 들어 살펴보면 간단하다. 일단 공개키 암호로 임의의 수 420이 주어졌다고 하자. 이 420을 소인수분해하면 420=2²×3×5×7이다. 이때 420의 소인수는 2, 3, 5, 7이다. 바로 이 수 2357이 비밀키로, 자물쇠를 풀 수 있는 비밀번호가 되는 것이다! 즉 420을 공개키로 할 때 비밀키는 2357이다.
(/ [소인수분해를 이용하면 암호도 풀 수 있다] 중에서)

고대 그리스에서는 수와 더불어 기하학을 중시했다. 이때 수는 자연수를 말하고 기하학은 도형을 연구하는 학문을 일컫는다. 기하학에서는 선분의 길이나 도형의 넓이를 나타내기 위해 수를 사용했는데, 이런 길이와 넓이는 자연수만으로 충분히 표현이 가능했다. 그 때문에 그리스인들은 음수의 필요성을 느낄 수 없었고, 이 같은 사정은 중세까지 이어져 음수의 출생은 더욱 늦어졌다. 게다가 음수는 손에 잡히는 수가 아니다. 일상생활에 자주 사용할 수 있어서 실용성을 겸비한 수라고 생각되는 자연수나 분수와는 달리 뜬구름 잡는 수처럼 생각되기 쉽다. 이러한 이유로 일찍 태어날 수 없었던 음수가 수로 받아들여지기 시작한 것은 17세기 프랑스의 수학자 데카르트가 음수를 수직선 위에 나타내면서부터다. 이후 19세기 독일의 수학자 한켈이 음수의 체계를 자세히 확립하였으니 음수의 나이는 이제 겨우 400살 정도! 2000살이 넘는 자연수나 분수, 무리수에 비하면 참으로 어린 동생일 수밖에!
(/ [음수가 지각생이라고?] 중에서)

수 계산은 누구보다 잘하는데 문자만 나오면 버벅거리는 친구들이 의외로 많다. 1개에 1000원 하는 아이스크림을 3개 사고 5000원 냈을 때 거스름돈은 자연스럽게 받아오면서도 x원짜리 아이스크림을 3개 사고 5000원 냈을 때 거스름돈이 얼마냐는 물음에는 당황하는 친구들이 은근히 많은 것처럼 말이다. 그런데 잘 보자. 이 둘의 차이가 무엇인지 말이다. 둘의 차이는 아이스크림 가격이 1000원에서 x원으로 바뀐 것밖에 없다. 그러니까 5000원 내고 1000원짜리 아이스크림 3개 사고 남은 거스름돈이 5000-1000×3이면 x원짜리 아이스크림을 3개 사고 남은 거스름돈은 1000 대신 x를 써서 나타낸 5000-x×3이다. 이렇게 하나하나 헤쳐 보면 별 어려움이 없는데도 버벅거리는 이유는 익숙지 않기 때문이다. 우리는 습관적으로 숫자를 써서 계산을 하지 문자를 사용하지는 않으니 말이다. 그렇기 때문에 우리 친구들이 문자가 등장하는 수학 언어에 겁을 먹지 않으려면 무엇보다 문자에 익숙해져야 한다.
(/ [문자를 사용한 식을 만들어 봐] 중에서)

무엇이든 처음부터 완벽한 것은 없다. 컴퓨터도 처음엔 어마어마한 크기의 계산기인 에니악으로부터 출발해서 많은 세월 동안 숱한 사람들의 생각과 발명 그리고 섬세한 손을 거쳐 오늘날 우리의 손바닥에 쥐어진 스마트폰으로 변신했다. 함수도 마찬가지이다. 함수라는 용어를 처음으로 사용하여 그것의 개념을 도입한 사람은 18세기 독일의 수학자 라이프니츠이다. 하지만 이후 함수의 정의는 많은 수학자들의 노력으로 그때그때 시대적인 필요나 새로운 발견을 통해 점점 발전했다. 즉, "변수 x값의 변화에 따라 다른 변수 y가 정해지면 함수이다"였던 라이프니츠의 함수에 대한 정의가 시간이 흐르면서 좀 더 구체화되었다. 라이프니츠 이후 18세기의 수학자 오일러가 y=2x+4와 같은 함수식과 f(x)라는 함수 기호를 만든 것이나 19세기의 수학자 디리클레가 함수를 집합 관계의 대응 관계로 파악한 것과 같이 말이다. 물론 함수라는 용어를 처음으로 사용하고 정의한 라이프니츠의 업적을 잊어선 안 된다. 라이프니츠는 함수를 통해 처음으로 수학에서 움직이는 것, 변화를 다루고자 시도한 인물이기 때문이다. 라이프니츠 이전에는 수학에서 움직이는 것을 다룬 적이 없었다는 사실을 떠올려 본다면 라이프니츠의 생각이 얼마나 놀라운 것이었는지 능히 짐작할 수 있다. 라이프니츠 이후에서야 수학에서 흐르는 액체의 부피나 가격의 순간 변화, 대기압의 변화 등을 다룰 수 있게 되었으니 말이다.
(/ [누가 처음으로 함수를 발견했을까?] 중에서) RSA 암호체계에 대해서 들어 본 적이 있을지 모르겠다. RSA 암호체계는 1978년 미국 매사추세츠 공과대학의 리베스트(Rivest), 샤미르(Shamir), 아델먼(Adelman) 등이 공동 개발한 소인수분해를 이용한 암호체계를 말하며, 세 사람의 이름 앞 글자를 따서 명명하였다. 잠깐 상상력을 발휘해 보자. 우리 친구는 지금 스파이 임무를 맡고 있다! 위기의 순간, 동료에게 중요 서류가 있는 장소를 알려주어야 하는데 비밀번호를 그대로 적어 전달하기에는 위험이 너무 크다. 그래서 비밀번호 대신에 동료가 풀 수 있는 암호를 전달하기로 했다. 바로 소인수분해를 사용해 풀 수 있는 RSA 암호 말이다.
이 암호체계는 자물쇠(공개키)와 열쇠(비밀키)로 이루어져 있다. 이때 자물쇠(공개키)는 비밀번호의 힌트가 되는 암호로 특정 숫자를 말하며, 열쇠(비밀키)는 암호를 소인수분해해야 알 수 있는 비밀번호를 말한다. 조금 복잡해 보이지만 예를 들어 살펴보면 간단하다. 일단 공개키 암호로 임의의 수 420이 주어졌다고 하자. 이 420을 소인수분해하면 420=2²×3×5×7이다. 이때 420의 소인수는 2, 3, 5, 7이다. 바로 이 수 2357이 비밀키로, 자물쇠를 풀 수 있는 비밀번호가 되는 것이 ...

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