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’피타고라스의 정리’에 숨겨진 비밀
‘직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이 각각의 제곱의 합과 같다(c2= a2+b2).’ 이 유명한 ‘피타고라스의 정리’는 어떻게 탄생했을까?

고대 그리스의 철학자이자 수학자인 피타고라스는 기원전 6세기경 수에 관해, 그리고 수 사이의 관계에 대해 연구하며 간단한 수학 문제뿐 아니라 우주의 조화를 밝혀내려고 했다. 과학이라는 새로운 개념이 이 수수께끼 같은 인물과 함께 탄생했고, 그의 충실한 제자들은 여러 세기에 걸쳐 그가 전하는 말을 가슴에 품고 그의 메시지를 전파했다. ‘피타고라스의 정리’ 또한 피타고라스가 생전에 발견한 것이 아니라 제자들이 그의 수학적 개념을 체계화한 것이다.
전해 내려오는 이야기에 따르면, 정수를 통해 세계를 묘사하고자 했던 피타고라스와 그의 제자들은 오늘날 2의 ‘무리수성’이라 불리는 개념을 수치스럽게 여겼다. 이 발견 이후 인류는 좋든 싫든 우리가 매일 경험하는 물리적 세계 외에 우리가 그 법칙을 선택할 수 없는 다른 세계, 즉 수, 기하학적 공간, 추상적 구조라는 또 다른 세계가 존재한다는 새로운 관념에 익숙해졌다. 이 책은 추론과 수학적 작업을 통해 그 관념을 알아내고, 이를 통해 우주를 이해하도록 돕는다.
이 책은 ‘수학’이라는 수와 도형을 고찰하는 새로운 방식을 통해 생겨난 진지하고 흥미로운 여러 주제를 살펴본다. 그 과정에서 논리적 추론의 놀라운 힘을 보며, 소수와 그에 관한 골드바흐의 혜성을 만나고, 피보나치수열에 대해 알아보면서 이것의 아름다운 프랙털 구조에 감탄할 것이다. 또한 말이 필요 없는 증명을 이해하며, 뜻밖의 진리들을 깨달을 것이다. 그리고 일상에서 쓰이는 숫자들의 기이한 확률을 알려 사기 행각을 막아주는 벤포드의 법칙과 2,000년간의 망설임과 답보 상태 끝에 원적 문제의 비밀을 밝혀준 까다로운 초월수까지 만날 것이다. 한마디로, 이 책은 수학의 탄생에서부터 수학이 어떻게 발전해왔고 오늘날 어떻게 사용되는지를 하나의 스펙트럼처럼 보여준다.

피타고라스학파와 ‘피타고라스의 정리’ 증명


피타고라스는 우리에게 어떤 문헌도 남기지 않은 수수께끼와도 같은 인물이다. 그가 사망한 지 한참 후에 기록된 모순되는 이야기들을 통해서만 그의 삶을 알 수 있다. 피타고라스는 기원전 530년경 이탈리아반도 최남단 크로토네에 제자들과 함께 정착해 자신의 첫 학파를 세우고, 특히 정수가 우주의 핵심 역할을 한다고 가르쳤다. 크로토네에 있던 제자들의 공동체 외에도 피타고라스를 따르는 다른 공동체들이 그리스 여러 도시에 세워졌다. 그들은 가르침에 관한 비밀을 지켰다. 모두가 어떤 대가를 치르더라도 서로 돕는 것을 의무로 여겼다. 오늘날 이해하기에는 학파보다 하나의 종파에 가까웠다!
피타고라스학파의 철학에 따르면 세상의 모든 것은 수에 토대를 두고 있으며 이 수의 범위는 1, 2, 3, …과 같은 자연수로 제한되었다. 피타고라스의 핵심 사상은 수에 기초해 세계를 고찰해야 한다는 것이다. 세계에 대한 이해를 추상적이고 수학적인 개념에 연계시키는 피타고라스의 방식은 물리학의 토대가 되었다. 특히 아르키메데스와 갈릴레오 갈릴레이는 이 방식을 사용해 결국 단순하고 유용하며 경험적으로 입증되는 법칙을 끌어낼 수 있었다. 피타고라스학파의 사상은 총체적 학문에 적용되며, 오늘날에도 여전히 유효해 이를 토대로 연구자와 공학자들이 대상과 공간을 수학적 구조물에 동일시하는 모델을 만든다.
피타고라스가 직접 쓴 글이 남아 있지 않아 그의 수학적 지식을 정확히 복원할 수는 없으나 유클리드와 레오나르도 다빈치는 각각 사각형과 육각형을 이용해 피타고라스의 정리를 증명했다. 피타고라스의 정리는 다양한 경우에 쓰이는데, 특히 기하학적 추론이나 일상생활에서 거리를 측정할 때 사용된다.

“자연계를 지배하는 것은 수이다”
-과학이 발전하고 세상이 돌아가게 하는 중심에 수학이 있다

수학의 세계, 특히 수의 세계에 대한 관찰과 연구는 2,000년이 넘는 옛날부터 시작되었다. 이 기나긴 역사에 걸쳐 수수께끼들이 이어졌으나 역사가들은 피타고라스와 그의 학파가 수학의 탄생에 이바지했고 옛적부터 커지던 움직임에 활기를 불어넣었다고 믿는다. 수에 대한 그들의 열정과 발견 덕분에 형이하학과 여러 학문이 발전할 수 있었다. 과학과 기술에 사용할 수 있는 어마어마한 지식의 산에서 모든 지식이 즉시 적용되지는 못하지만, 적용법을 찾는 것은 시간문제일 뿐이다. 그 증거로 예전에는 쓸모없다고 생각되던 수 이론이 최근에는 정보 보안과 암호학의 핵심이 되었다.
정보공학에서의 중요성에 더해 우리 사회에 미치는 수의 영향력은 더 강해졌다. 이 영향력은 때로 감춰져 사람들이 모를 때도 많고 오해를 받는 경우도 잦으며 수학의 경이로움을 모르는 이들에게는 지나친 것으로 생각되기도 한다. 수는 우리 일상의 중심에 있다. 이것은 우리가 쓰는 스마트폰의 숨겨진 행위자이고, 통신망을 통해 유통되어 우리의 TV 화면에까지 도달하는 영화를 코드화하며, 우리가 만들거나 듣는 음악으로부터 쏟아져 나오고, 재택근무를 조직하며, 통계 연구의 바탕을 이루고, 우리가 질병을 이해하고 치료법을 선택하도록 한다.
피타고라스는 자연계를 지배하는 것이 수라고 주장했다. 더 나아가, 우리가 창조한 세상의 주된 본질이 수이다. 우리 세상을 돌아가게 하는 것이 바로 수라는 사실은 변하지 않을 것이다!

“피타고라스는 최초의 세계적 스승이다.”
-철학자 게오르크 빌헬름 프리드리히 헤겔

프롤로그: 피타고라스, 현대 과학의 아버지?·5

1장 피타고라스, 피타고라스학파와 피타고라스의 정리·9
2장 수의 계열·35
3장 소수·57
4장 피타고라스 삼조·81
5장 피보나치수열과 황금비·103
6장 벤포드의 법칙·127
7장 파이와 초월수·149

에필로그: 끝이 없는 이야기·185
참고문헌·187
찾아보기·193

1. 기원전 6세기 피타고라스는 수란 어디에나 있고 우리에게 우주의 실마리를 준다고 믿는 학파의 스승이었다. 아마도 그가 피타고라스의 정리를 공식화한 최초의 인물은 아니겠지만, 어쨌든 그의 이름으로 명명된 이 정리는 수와 기하학 사이의 깊은 관계를 보여준다. 그런데 이 정리를 어떻게 증명해야 할까? 이 정리는 어떤 기하학적 공간에서도 참인가? 그리고 우리가 사는 물리적 공간에서도 참인가? _1장 9쪽

2. 피타고라스는 짝수와 홀수를 구별할 뿐 아니라 또 다른 범주도 구분해 모듈로modulo 계산을 통해 그 정수들의 관계와 특성을 찾아낸다. 도형수는 기하학에 관한 것으로, 삼각수, 사각수, 입방수, 오각수 또는 육각수 등으로 불린다. _2장 35쪽

3. 소수가 끼어들면 모든 것이 더 심각해진다. 소수를 얻기 위해 사용할 수 있는 공식도 없고 소수의 분포는 수수께끼처럼 불규칙성을 띠기 때문이다. 정수를 열거할 때 소수가 얼마나 드물게 나오는지 계산하고 증명하는 데만 2,000년이 걸렸다. _3장 57쪽

4. 피타고라스의 정리와 관련된 세 수를 피타고라스 삼조Pythagorean triple라고 한다. 이것은 기하학과 수 이론을 이어준다. 이 수는 잘 정리된 구조를 이루지만 처음 보면 우연히 생긴 듯 복잡한 모습을 보인다. 오늘날에도 여전히 이 수를 계산하는 방법과 이것을 규칙적인 트리 구조로 정리하거나 기하학적으로 구성하는 방법을 찾아내고 있다. _4장 81쪽

5. 신화 속에 등장했던 그 유명한 ‘황금수(또는 황금비)’는 고대 그리스에서 이미 알려져 있었다. 이것은 유클리드의 『원론』에 ‘극대와 극대가 아닌 비의 분할’이라는 이름으로 등장하며 피타고라스도 이것을 알고 있었을 가능성이 있다. 13세기에 놀라운 수열 하나가 레오나르도 피보나치에 의해 정의되었고, 기하학의 개입 없이 정수 간의 순수한 게임으로부터 이 황금비를 탄생시킨다. 오늘날 이 수열을 통해 드러난 경이로움은 널리 알려졌고, 전 세계 연구자들을 통해 주의 깊게 연구되고 있다. _5장 103쪽

6. 일상 속의 수는 때로 상식과 어긋나 보이는 규칙성을 나타낸다. 벤포드의 법칙은 수열이 가진 뜻밖의 속성 중 하나다. 처음에 이 법칙은 모순적인 것처럼 보였다. 그러나 이 법칙이 참인 경우와 그렇지 않은 경우를 명확히 구별한 후, 수열을 점점 더 잘 설명하고 심지어 수학적으로 정당화하기에 이르렀다. _6장 127쪽

7. 누구나 π를 알고, 초등학교 때부터 사용법을 배운다. 그 유명한 ‘원적圓積 문제’가 보여주듯, 수학자들은 2,000년 넘게 파이의 성질을 이해하려 애쓰고 있다. 마침내 수학자들은 실수를 여러 범주로 분류했고, π는 가장 흥미롭고 신비로운 범주인 ‘초월수’에 속한다. _7장 149쪽