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허를 찌르는 질문, 생각을 넓히는 대답

익숙한 수학 주제의 낯선 얼굴을 보여주며 생각을 넓혀주는 문답집으로 학교 현장의 수업에서 ‘수학을 어떻게 하면 잘 가르칠까?’ 또는 ‘내가 가르치고 있는 것이 무엇인가? 어떤 의미를 지니는가?’ 또는 ‘수학적 지식은 무엇인가?’와 같이 수학을 잘 가르치고 쉽게 설명하기 위해 고민하는 선생들에게 꼭 필요한 책이다.

책의 특징

ㆍ 중ㆍ고등학교 수학 교과서에 있는 소재와 주제를 그대로 다루고, 그 주제에 내재해 있는 수학적 기초 또는 고급 수학적 지식 또는 교사와 학생들이 범하기 쉬운 오개념과 조작 활동에서의 오류 등을 소개한다.

ㆍ 중ㆍ고등학교 수학 수업에서 일어날 법한 문제를 질문하는 형식으로 풀고 있다. 학생의 시선에서 할 수 있는 질문에 교사가 할 수 있는 대답의 가능성을 비교하여 액자형 대화로 전개한다.

ㆍ 학교 수업에서 교사가 생각해 보지 않았거나 고민해본 적이 없는 낯선 수학적 질문을 담고 있다. 풀이를 보고 나면 별것 아닌 것처럼 보이지만, 한 번도 생각해 보지 못했던 점을 고려하면, 단순한 질문들도 수학적 지식과 전개 방식에 대한 생각을 넓혀준다.

ㆍ 답을 찾으려면 고급 수학의 지식이나 수학의 기초에 해당하는 근본적인 지식이 필요한 문제도 다수 실려 있다. 이를 위해 저자는 수학적 지식과 관련된 내용을 부록으로 정리하여 함께 공부할 수 있도록 하였다.

ㆍ 이 책의 많은 예는 저자가 교재 연구 수업에서 교사들에게 질문하고 들었던 대답이나 설문으로 얻었던 자료를 바탕으로 각색한 것이다. 실제로 교사들이 바르게 답하지 못한 문제들이 많이 제시되어 있다.

제1장 논리와 집합

명제란?_2 / 동등관계_5 / 집합의 정의_6 / 집합의 이름_8 / 무한집합_10 / 개체와 전체_12 / 개체와 전체의 부정_14 / 명제의 부정_16 / 수학적 정의에 대하여_17 / 수학적 정의_21 / 수학적 용어_22 / 수학적 기호_24 / ■쉬어가는 코너_26 / 연습문제_27

제2장 수체계

자연수 - 1+1에 대하여_32 / 수학적 귀납법_34 / 수학적 귀납법의 적용_36 / 수학적 귀납법의 활용_38

실수 - 정수와 분수_41 / 교환법칙과 분배법칙_43 / 나눗셈의 분배법칙_45 / aㆍ0=0과 (-1)？(-1)=1과 -1-1=-2_47 / 순서공리와 1〉0_49

유리수 - 분수와 유리수_51 / 분수의 연산_52 / 분수와 소수_56 / 유리수의 조밀성_58

무리수 - 무리수의 존재_60 / 분모의 유리화_62 / 무리수의 연산_63

실수 - 실수란?_65 / 실수의 예_66 / 0.dot9=1에 대하여_68 / 소수와 수직선_72 / 실수의 연속성_74

지수 - 지수란?_76 / 유리지수의 정의_77 / 지수의 정의_79 / 지수법칙_82 / 로그의 성질_83 / 근호 계산_85 / 제곱근 계산_88 / 지수의 크기_89 / 지수의 닫혀있음_91 / 이중근호_93 / 복소수의 지수_94 / 근호 속의 음수_97 / 음수에 대한 지수_99
■재미있는 관계식_101 / 연습문제_102

제3장 수식의 계산

다항식 - 다항식이란?_108 / 사칙연산의 순서_110

약수와 배수 - 소인수분해_112 / 약수와 배수의 활용_113 / 인수분해_115 / 최대공약수와 최소공배수_119 / 인수분해와 약분_121 / 수와 식의 공약수_123

다항방정식 - 인수와 체공리_124 / 복소수 해_126 / 인수정리_128 / 이차방정식과 판별식_130 / 이차방정식의 기하적 풀이_132 / 부등식의 해와 논증_135 / 삼차방정식의 근의 공식_137

방정식 - 방정식의 분류_138 / 풀이와 검증_141 / 함수의 성질과 해_143 / 연립일차방정식의 해_145 / 연립이차방정식_147 / 연립방정식과 공통근_149 / 행렬방정식_152 / 정수방정식_153 / 가우스함수 방정식_155 / 지수방정식_157

문제접근방법 - 직관과 연립방정식_160 / 직관과 방정식_161 / 문제 상황 판단_163 / 연립방정식 변형_164 / 지수방정식_167 / 삼각방정식_168 / 방정식의 근과 계수_170 / 다항식의 인수_172 / 다항식의 나눗셈_ 176 / 직선의 교점과 연립방정식_179

무리수 - 무리수 판별법_181 / 무리수의 종류_183 / e와 cos1_185 / 삼각비_187 / 작도가능한 각도_189

■학생들이 자주 범하는 오류_190 / 증명 오류 찾기_192 / 연습문제_194

부록
1. 집합 공리에 대하여_202 / 2. 기수와 연속체 가설_208 / 3. 페아노 공리와 자연수집합_213 / 4. 실수집합_217 / 5. 무한소와 아르키메데스 공리_225 / 6. 지수의 정의와 연산_229 / 7. 고차방정식의 해법_244 / 8. √2에 대하여_254

풀이 259