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합리적인 추론과 간단한 어림셈으로 알아보는 페르미 추정!

페르미 추정은 ‘시카고에 피아노 조율사는 몇 명일까?’라는 문제로 알려지기 시작했다. 기초적인 지식과 논리적 추론만으로 짧은 시간 안에 대략적인 근사치를 추정하는 방법을 페르미 추정이라고 한다. 이 수학적 방법은 원자폭탄 실험을 했을 때, 종이가 날아간 거리를 보고 간단히 그 폭탄의 위력을 추론한 엔리코 페르미라는 핵물리학자가 개발한 추론 방법이다.

이런 페르미 추정이 미국 대학들과 기업, 그리고 우리나라 대학과 기업들의 구술면접에 활용되고 있다. 페르미 추정은 완벽하게 사실에 부합하는 정확한 답을 구하는 것이 아니다. 정확한 답은 출제자도 모른다. 이것은 창의적이고 유연한 사고를 가진 사람을 가리기 위한 테스트인 것이다. 대략의 답, 근사치의 답을 구하는데, 얼마나 설득력 있는 과정을 거쳐서 나온 답인가를 평가하는 것이 페르미 추정의 묘미이다.

이 책에는 붕어빵은 하루에 몇 개나 팔릴까? 오늘 전교생이 먹은 밥은 몇 알일까? 평생 마실 물로 욕조를 채운다면 몇 개나 필요할까?와 같은 페르미 추정으로 답을 내기에 알맞은 10개의 질문이 실려 있다. 무심이와 수담이의 대화를 읽다보면 어느새 페르미 추정에 통달한 자신을 발견하게 될 것이다. 부록으로 실린 10개의 문제로 자신의 실력도 가늠해볼 수 있다.

붕어빵은 하루에 몇 개나 팔릴까?

비행기에 골프공을 꽉 채운다면 몇 개가 들어갈까? _ 구글
우리나라에 이발사는 몇 명이나 있을까? _서울대 구술
남산을 옮기려면 며칠이 걸리겠는가?_두산그룹
서울 시내 10층 이상 건물은 몇 개인가?_SK그룹
서울 시내 중국집 음식 판매량은 어느 정도 될까?_LG생활건강

위 문제들에 대한 정답은 무엇일까? 출제자가 정확한 답이 궁금해서 냈을까? 아마도 아닐 것이다. 중요한 것은 정답이 아니라, 질문의 답을 구하는 ‘과정’이다. 얼마나 모델화를 잘 했는지, 창의적이고 유연하게 문제에 접근하고 있는지, 그런 것들을 보는 문제들이다.
그런 측면에서 이 책에 실린 문제들은 정답이 없기도 하고 있기도 하는 문제이다.

수학, 조금만 생각하면 별 거 아니야!

주인공 수담이는 학교가 끝나고 부리나케 붕어빵 가게로 달려갔지만 이미 줄이 길게 늘어서있다. 쌍둥이인 무심이가 줄 앞쪽에서 보이자 무심이에게 내 것도 사달라고 말한다. ‘네 건 네가 사야지.’라는 무심이의 무심한 말에 내기를 하게 되고, 붕어빵이 하루에 몇 개가 팔리는 지 알아내는 내기를 하게 된다. 독자들은 페르미 추정에 대해서 전혀 모르는 무심이가 더듬더듬, 투닥투닥 문제를 풀어가는 과정을 보면서 페르미 추정에 대해서 배우게 된다.

『무심이와 함께 하는 페르미 추정』은 수담이와 무심이가 티격태격하면서 이끌어간다. 둘은 아웅다웅하면서 질문에 대한 합리적인 가정을 만들어내고 논리적인 사고를 펼쳐간다. 질문을 정량화하고 모델을 만든다. 무심이는 무심한 듯하면서도 이 과정을 타당하게 이끌어나가 계산 결과를 인정받는다. 붕어빵이 하루에 몇 개 팔리는지도 구하고, 전세계 사람들이 우리나라에 와서 앉을 수 있는지 없는지도 판단한다.
두 주인공의 맛깔나는 대화는 정답이 없는 문제, 정답이 있는 문제 모두 조금만 더 생각하면 답으로 가는 길이 보인다는 사실을 알려준다. 여기에 간결하게 원리를 전달하는 그림은 읽는 재미를 더해준다.

이 책에는 또한 수학에서 사용하는 평균의 의미, 넓이의 단위, 부피의 단위, 속력의 단위의 의미에 대해서 설명하고 있으며, 계산을 간단하고 쉽게 하는 방법 등이 소개되어 있다. 또한 책의 맨 뒤에 페르미 추정을 적용해 볼 수 있는 문제 10개 정도를 소개해서 연습할 수 있게 되어 있다.

글을 시작하며 페르미가 들려주는 페르미 추정
1장 붕어빵은 하루에 몇 개나 팔릴까?
1 접근 팔리는 개수는 어떻게 가늠할까?
2 설정 붕어빵 굽는 데 걸리는 시간
3 모델화 하루에 굽는 붕어빵 개수
4 계산 하루에 팔리는 붕어빵 개수
5 검증 굽는 개수? 파는 개수?
평균이 뭘까

2장 개는 평생 발바닥을 몇 번 핥을까?
1 접근 어느 개?
2 설정 한 시간에 발바닥을 몇 번이나 핥을까?
3 모델화 깨어 있는 시간
4 계산 평생 발바닥을 핥는 횟수
5 검증 신발 바닥보다 깨끗한 개 발바닥
큰 수 읽기
계산을 쉽게 하는 방법

3장 코로나 기간에 쓰고 버린 마스크의 무게?
1 접근 어떤 마스크?
2 설정 하루 몇 장?
3. 모델화 3년간 쓰고 버린 마스크는 몇 장?
4 계산 쓰레기가 된 마스크의 무게는? 5
5 검증 쓰레기 문제를 해결할 그날까지
무게 단위 알아보기

4장 한 해 동안 사용하는 야구공은 몇 개?
1 접근 한 해 동안 사용하는 야구공이란?
2 설정 프로야구 경기는 몇 경기?
3. 모델화 한 경기에서 사용하는 야구공은 몇 개?
4 계산 한 해 동안 사용하는 야구공은 몇 개?
5 검증 야구공 실밥의 비밀

5장 오늘 전교생이 먹은 밥알은 몇 알?
1 접근 먹는 양은 모두 같다
2 설정 한 숟가락은 몇 알?
3 모델화 식판에 담긴 밥은 몇 숟가락?
4 계산 오늘 전교생이 먹은 밥알의 개수는?
5 검증 밥 대신 쌀

6장 전 세계 사람들이 우리나라에 다 앉을 수 있을까?
1 접근 세계 인구는? 우리나라 넓이는?
2 설정 정해진 넓이 안에 앉기
3. 모델화 전 세계 사람들이 모두 앉으면?
4 계산 우리나라 넓이와 비교하기
5 검증 사람과 땅
넓이 단위 알아보기

7장 내 머리카락은 몇 가닥?
1 접근 무얼 알아야 할까?
2 설정 모낭과 머리카락
3. 모델화 두피 넓이는?
4 계산 무심이 머리카락 개수
5 검증 나와 머리카락 수가 같은 사람
다각형의 넓이, 원의 넓이 알아보기

8장 평생 마실 물로 욕조를 채운다면?
1 접근 누가 마시는 물로 할까?
2 설정 내가 마시는 물의 양
3-1 모델화 평생 마시는 물의 양
3-2 모델화 욕조의 부피
4 계산 욕조는 몇 개?
5 검증 페트병에 담는다면?
부피와 부피 단위 알아보기

9장 시험 문제를 찍어서 다 맞히려면?
1 접근 한 문제를 찍어서 맞힐 가능성
2 설정 두 문제를 찍어서 맞힐 가능성
3. 모델화 5가지 중에 하나, 10문제!
4 계산 5를 10번 곱하기
5 검증 찍어서 만점 받기
가능성

10장 자전거 타고 달까지 가려면 얼마나 걸릴까?
1 접근 자전거를 타고 달까지
2 설정 달까지의 거리
3. 모델화 자전거 속력과 시간
4 계산 얼마나 걸릴까?
5 검증 거북이처럼 꾸준히 가는 우주선
속력과 속력의 단위 알아보기
속력과 속력의 단위

부록 페르미 추정 문제 10개와 풀이 예시

갑자기 굉음과 함께 어마어마한 섬광이 터졌습니다. 태양을 천개 합친 것보다 더 밝은 빛이 쏜살같이 사방으로 날아갔습니다. 몇 초 후에 버섯구름이 피어오르기 시작했습니다. 과학자들은 핵실험이 성공했음을 알아차렸어요. 핵폭발로 인한 폭풍이 그들이 있는곳에도 세차게 불어닥쳤습니다.
페르미는 종이를 잘게 찢어 머리 위로 들어 올렸다가 떨어뜨렸습니다. 떨어지던 종잇조각들은 폭풍에 밀려 날아갔습니다.

“종잇조각들이 2.5미터 정도 날아갔어요.”

종이가 날아간 곳까지의 거리를 발걸음으로 잰 페르미가 말했습니다. 그리곤 탁자로 돌아와서 끄적거리며 뭔가를 계산했어요. 잠시 후 페르미가 사람들 쪽으로 돌아보며 입을 열었습니다.
“이 정도 폭풍이면 TNT 1만 톤에 해당하는 폭발 위력이네요.”

페르미는 “거리가 16킬로미터 떨어진 곳에서 일어난 폭발로 생긴 폭풍이 종잇조각을 2.5미터 날아가게 했다면 폭발의 위력은 TNT1만 톤 정도이다”라고 예측한 거예요.
-본문 5쪽


페르미 추정을 하다 보면 답이 정해지지 않은 문제에 대해서도 스스로 생각해서 답을 찾아내는 힘을 기를 수 있습니다. 앞이 전혀 보이지 않는 문제 상황에서도 틈을 만들어 비집고 들어가 문제를 해결하는 힘을 기를 수 있고요. 바로 창의적인 사고, 논리적인 사고를 할 수 있게 되는 거예요.
-본문 8쪽


댕댕이가 자기 발바닥을 한 시간에 11번 핥는다고 해도 24시간 내내 핥는 건 아니다. 자는 시간도 있으니까. 개의 수명까지 생각해서 평생 몇 시간 동안 깨어 있는지 알아야 한다. 무심이는 이걸 추정할 수 있을까?

무심 : 개는 얕은 잠을 길게 자. 하루에 14시간 정도. 어릴 때나 늙어서는 2시간 정도 더 잔다고 봐야 해.
수담 : 개는 몇 년 살아?
무심 : 보통 10년에서 13년 정도. 댕댕이 수명을 10년이라고 하면 3살에서 8살까지를 성년이라고 할 수 있으니 성년은 6년, 나머지 4년이 유년기, 노년기야.
수담 : 좀 복잡한데?
무심 : 그렇지. 우린 대강만 알아보면 되니까 자는 시간을 하나로 정하는 게 좋아. 자는 시간이 보통 14시간과 16시간이니까 15시간으로 할래.

하루에 15시간을 자면 깨어 있는 시간은 9시간이다. 깨어 있는시간에만 한 시간에 11번 핥는다는 말이다. 이제 계산할 준비가 끝났다.
-본문 34쪽


그래도 날아가지 않은 것이 있긴 하다. 우리 학교 학생들이 점심시간에 얼마나 많은 양의 밥을 먹는지, 즉 몇 톨의 쌀을 먹는지에 대한 궁금증은 아직 그대로 있다.

수담 : 너 우리 학교 애들이 오늘 점심시간에 먹어 치우는 쌀이 몇 톨인지 알아?
무심 : 알아서 뭐 하게?

알아서 뭐 하긴. 꼭 뭘 해야 하는 건 아니다. 나는 아는 거 자체가
재미있는데, 무심이는 쌍둥이지만 나와는 확실히 다르다.
-본문 71쪽


전 세계 사람들이 모두 우리나라에 와서 앉을 수 있는지 알아볼때, 직접 올 필요는 없다. 모두 왔다고 가정하고 앉을 수 있는지 판단하면 되는 거다. 그러기 위해서는 뭘 알아야 할까?

수담 : 우리가 뭘 알아야 시작할 수 있을까?
무심 : 우선 전 세계 인구가 몇 명인지 알아야겠지?
수담 : 60억 명 아닌가?
무심 : 80억 명이야. 2022년 가을에 국제연합에서 발표했어.

무심이가 요새 뉴스를 열심히 보더니 이런 데 쓸모가 있으려고 그랬나 보다. 10억 명씩 늘어나는 데 걸리는 햇수가 점점 줄어든다는 기사는 읽은 적이 있는데, 벌써 80억 명이라니.

수담 : 오, 똑똑한데? 그럼 우리나라 땅 넓이는 얼마야?
무심 : 남북한 합치면 22만 km2라고 배웠지.
수담 : 그중에 남한 넓이만 쳐야겠지?
무심 : 좋아. 80억 명이 10만 km2에 앉을 수 있느냐, 없느냐로 문제가 명료해졌어.
수담 : 그럼 이제 앉는 문제를 해결하자. 80억 명에서 시작할 수는 없고, 작은 단위에서 시작해야겠지? 한 사람이 앉으려면 어느 정도의 넓이가 필요할까?
-본문 85쪽

터덜터덜 걸어가는 무심이 표정이 어둡다. 무심이는 성적에 별로신경 쓰지 않지만, 오늘 보는 시험은 잘 보고 싶어 한다는 걸 안다.
엄마에게 뭔가를 제안하는 것을 보았기 때문이다. 시험에 뭘 걸다니, 바보 같은 짓이다. 나라면 몰라도 무심이가 시험 점수로 뭔가를 얻어낼 수는 없다. 그건 내가 장담한다.

수담 : 오늘 시험 걱정되냐?
무심 : 응, 며칠 동안 열심히 준비하긴 했는데.
수담 : 오늘 시험은 모두 선다형이라고 했으니, 찍어!
무심 : 찍어서 다 맞힐 수 있을까?

글쎄. 나도 가끔 한두 문제 찍어서 맞힌 적은 있지만 다 찍어서 맞힌다고? 그게 가능해?

무심 : 며칠 공부해서 풀 줄은 아는데, 시간이 부족할 거 같아. 절반 정도 풀면 시간이 다 될 거 같거든.

무심이는 좀 느리다. 무심하게 느리다. 그러니 알아도 시간이 부족할 거라는 말은 맞는 말이다. 왜 느릴까? 우리는 쌍둥이지만 참 다르다.

무심 : 찍어서 맞힐 가능성이 얼마나 될까?
수담 : 시험 문제 전부를? 가면서 추정해 보자.
-본문 128~129쪽