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유구한 π 규명의 역사 속으로!

원주율 π는 참으로 불가사의한 수이다. 놀랍게도 이 무리수는 이미 지금으로부터 4,000년 전인 기원전 2,000년쯤의 바빌로니아에서 발견됐다. 음수나 허수처럼 인간이 만들어낸 수가 아닌, 자연 속에 교묘히 숨겨져 있던 수이다.
수학사에서 원주율의 계산만큼 수많은 수학자를 고생시킨 문제가 있을까? 거의 모든 수학자가 한 번은 의 계산에 열중했다. 심지어는 π의 계산에 일생을 바친 수학자가 있었을 정도다. π가 얼마나 불가사의하게 여겨지고, π의 계산이 얼마나 중요하게 여겨졌는지 알 수 있는 부분이다.
이 책은 그러한 π계산의 역사를 다룬다. 아르키메데스가 살았던 기원전 시대부터, 컴퓨터가 발달해 π의 수조 자리까지 알 수 있게 된 지금까지의 이야기를 담고 있다. 수학의 전역에서 활동하고 있는 라는 수의 근사함과 재미, 불가사의함을 이해해 보자!

유용하고 신비한 수 π,
그 정체를 알아내기 위하여

원주율 의 값은 오랫동안 신비의 영역이었다. 소수점 이하 자릿수가 무한하지만, 그 규칙성이 없기 때문이다. 어떤 패턴도 없이 무한한 길이로 이어지는 수. 끝없이 계산될 수 있다는 사실은 수많은 수학자들이 원주율 계산에 매달리게 만들었다.
원주율은 기하학, 삼각함수, 미적분, 확률 등의 수학 이론뿐만 아니라 기하학, 엔지니어링, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 사용된다. 가령 컴퓨터 과학에서는 알고리즘과 프로그래밍에 사용될 뿐만 아니라, 컴퓨터의 성능을 평가하는 데도 이용된다. 원주율의 자릿수를 계산하는 능력은 컴퓨터의 성능을 평가하는 하나의 척도인 것이다.
과거 원주율의 정확한 값은 직접 공식을 도출해 계산하는 수밖에 없었지만, 컴퓨터 기술의 발전과 알고리즘 개선으로 현재는 더 많은 자릿수의 원주율 값을 계산할 수 있게 되었다. 그러나 원주율은 무한하게 펼쳐지는 수인만큼, 그 계산과 연구는 아직도 진행 중이다. 원주율의 불가사의가 아직도 남아 있는 셈이다.
이 책은 원주율이 발견된 시점부터 오늘날까지 계산해온 역사와 여러 모습으로 변모한 원주율 계산의 전개 공식에 대한 내용을 담고 있다. 하나의 개념이지만 규정지을 수 없으며, 수많은 세월 인류와 함께한 원주율의 미스터리가 궁금하다면 이 책을 펼쳐 보자.

1장 π는 옛날부터 알려져 있었다
기원전의 태양도 둥글었다!
원주와 지름은 비례한다
원주율은 기원전부터 있었다
원적 문제란?
아르키메데스의 원주율
처음으로 원주율을 계산한 사람
원주율의 근삿값 355/113는 누가 발견했나?
독일에서는 원주율은 루돌프 수라고 한다.
중국에 전해진 루돌프 수
일본의 원주율은 어떻게 되어 있었는가?
원주율 π의 어원은?
여러 사람에 의한 π값

제2장 미분·적분과 π의 전개공식
π의 자릿수를 늘리는 경쟁은 끝났다.
π는 순환소수가 아니다?
미분법이란 어떤 계산인가?
적분법이란 어떤 것인가?
정적분과 그 응용
테일러의 전개 공식이란 어떤 식인가?
테일러 급수, 매클로린 급수
무한급수를 사용한 π의 자릿수
π계산에 사용된 전개식
호도법의 π
삼각함수와 호도법의 관계

제3장 π를 사용하여 계산한다
반지름 r의 원주는 2πr
반지름 r, 중심각 θ의 호 AB의 길이
원의 넓이를 구한다
부채꼴의 넓이를 구한다
활꼴의 넓이를 구한다
타원의 넓이를 구한다
구의 표면적과 부피를 구한다
원뿔의 부피와 표면적을 구한다
원뿔대의 부피와 표면적을 구한다

제4장 호도법, 부채꼴, 삼각함수와 π
호도법과 호의 길이
호도법과 부채꼴의 넓이
사인 곡선을 그리는 법과 역사인 함수
코사인 함수의 그래프와 역코사인 함수
탄젠트 함수의 그래프와 역탄젠트 함수
역사인, 역코사인, 역탄젠트 함수의 주치
흔들이의 진동과 삼각함수
허수 단위 i와 π의 접점
π는 무리수이다.
π가 초월수인 것을 증명한 사람

제5장 π의 계산 방법은
기원전부터 정다각형을 이용했다
연분수로 계산한 시대
호도법을 발견한 사람은 누구?
전개 공식에 의한 π의 계산
그 밖의 유명한 수학자의 계산 공식
π의 공식과 전개식을 모아 보면

제6장 π의 전개 공식을 알아본다
탄젠트 함수와 역탄젠트 함수의 복습
역탄젠트 함수를 사용한 π의 전개식의 수렴
분수와 분수식과 번분수식
π와 연분수식
반지름 1의 4분원의 넓이는 π/4
역탄젠트 함수를 사용하여 π의 식을 생각하자.
오일러의 전개 공식을 사용해 보면
뉴턴의 공식을 사용하여 계산한다.

제7장 π의 자릿수를 늘리는 경쟁
π의 자릿수의 길이와 근사의 정도
355/113를 발견한 사람
22/7는 기원전의 것, π는 몇 자리로 좋은가?
컴퓨터에 의한 π 자릿수의 신장
기원전에 타임슬립
소수의 발견과 스테빈
컴퓨터에 사용하는 전개 공식
전개 공식에 arctan x가 잘 사용된다.
2진법과 컴퓨터의 보급
컴퓨터로 π의 근삿값을 계산한다.

제8장 π는 통계에도 사용된다
확률·통계의 역사
확률·통계를 연구한 사람들
정규분포와 신뢰도