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수학은 어떻게 돈이 되는가
누구도 알려주지 않았던 돈의 수학

평일 한낮. 낯선 여행지의 카페에 들어가 책을 편다. 비스듬한 햇빛, 조용한 비트의 노래. 혼자 뭘 먹어도 좋고, 누구랑 한동안 얘기를 나눠도 좋다. 시간을 무심히 흘려보낸다는 감각에 마음이 평온해진다. 만약 경제적 자유가 있다면 매일을 그렇게 보낼 수 있을 텐데.

이 책은 수학을 실타래 삼아 경제적 자유의 가능성을 짜나간다. 현대 사회에서 수학이 돈이 되는 구체적인 장면과 그 원리들을 알기 쉽게 설명한다. 주식이나 복권 등에 적용할 수 있는 수학적 전략은 물론, 그 기본이 되는 베팅의 수학을 차근차근 풀어낸다. 아울러 비트코인과 인터넷뱅킹, 그리고 구글과 페이스북의 저변에 어떤 수학적인 원리가 깔려 있는지 다룬다. 실무에서 수학을 활용하는 방법 같은 쏠쏠한 지식도 담겨 있다. 저자는 수학을 통해 현대 사회에 대한 이해도를 높이고, 이를 영리하게 파고들어 경제적 자유에 이르도록 안내해준다.

“수학을 대체 어디에 써먹을까?”
경제적 자유에 대한 수학의 대답

수학에 대한 가장 큰 의문은 “이걸 대체 어디에 써먹을까?”이다. 많은 사람들이 그런 의문을 가지고 있다. 입시 변별력 정도로 수학의 가능성을 닫아버릴 때, 많은 것을 놓칠지도 모른다.

이 책은 수학이 ‘직접적으로’ 부를 창출하는 장면에 주목한다. 다시 말해 수학으로 돈을 벌고, 관리하고, 수익을 내는 여러 방법들을 제시한다. 그 중심에 있는 것이 ‘확률의 수학’이다. 저자는 16세기 이래 카르다노, 파스칼, 페르마 등 저명한 수학자들에 확립되어온 확률의 수학에 근거하여, 세상 모든 베팅에 일반적으로 적용할 수 있는 수학을 흥미롭게 보여준다.

저자는 책의 초반부에서 직관적으로 이해하기 쉬운 내기의 장면을 이용해 확률의 수학, 베팅의 수학을 독자들에게 소개한다. 그리고 이 수학 지식을 주식이나 저축, 기타 금융상품 등 현실적인 부의 증식 방법에 적용해나간다. 많은 사람들이 소위 ‘감’으로 하는 것들이 사실 수학적 합리성의 지배를 받는다는 것이 드러난다. 예컨대 내 자산 중에서 얼마를 투자해야 하는지도 수학적으로 결정될 수 있다. 1백만 원만 투자할까? 아니, 1천만 원 해볼까? 저자는 파산에 이르지 않으면서 가장 적절한 투자금액을 산출하는 방법을 알려준다(켈리 조건 베팅).

또한 내 이익 규모 혹은 손실 규모가 어느 정도일지 가늠해볼 수도 있고(68/95/99.7%법칙), 상한가나 하한가를 세 번 연속 친 종목에 들어갈지 말지도 합리적으로 판단해볼 수 있다(몬테카를로 오류). 혹은 수익률에 근거해 내가 투자한 돈이 2배가 되는 기간을 단숨에 계산해내는 방법도 소개해준다(72의 법칙).

요컨대 이 책은 수학이라는 마법을 통해, 불확실한 투자 상황을 보다 확실하게 만드는 방법을 알려준다. 경제적 자유로 가는 길이 깜깜하게만 느껴지는 독자들에게 좋은 길잡이가 될 것이다.


“명쾌하고 독창적이며 술술 읽힌다”
_이언 스튜어트(수학자, 왕립학회 회원)

이 책에는 수학으로 경제적 자유를 획득한 놀라운 사람들의 이야기가 여럿 담겨 있다. 그중에 인상적인 사례로 루마니아의 경제학자 스테판 만델이 있다. 그는 ‘발행된 복권을 모두 사버리면 어떨까’라는 대담한 발상을 한 후, 복권 구입비용과 당첨금 수익을 수학적으로 계산하여 이를 실제로 행동에 옮긴다. 그 결과 호주에서만 1등 복권에 12번 당첨되었으며, 미국에서는 13만 5,000개의 복권에 당첨되기에 이른다. 큰돈을 번 그는 은퇴 후 남태평양의 작은 섬으로 이주했다고 한다.

또 다른 사례로 주식시장에서는 에드 소프라는 인물이 유명하다. 그는 수학 교수이자 세계 최초의 퀀트 헤지펀드의 설립자이다. 대학원 시절에 켈리 베팅 조건에 관심을 갖게 되었고 카지노에 확률의 수학을 전략적으로 적용해 큰돈을 벌었다. 급기야 수학을 주식시장에 적용해 안정적인 수익을 이끌어내는 방법을 찾았고, 컴퓨터 프로그램 매매로 설립 후 18년 동안 단 한 분기도 빼놓지 않고 수익을 냈다. 그의 초기 투자금 140만 달러는 2억 7,300만 달러가 되기에 이르렀다.

수학을 사업적으로 적용해 큰 성공을 이룬 대표적인 기업은 구글이다. 당시 기존의 검색엔진들은 검색어가 많이 등장하는 웹페이지를 상단에 결과값으로 제시했다. 그런데 구글은 각각의 웹페이지가 얼마나 많은 다른 웹페이지들이 연결하고 있는가를 동시에 고려했다. 이를 계산해내기 위해 페이지와 브린은 행렬과 확률을 이용한 아주 기본적인 수학을 활용했다. 저자는 구체적인 계산 과정을 보여주며 단순하지만 강력한 수학의 힘을 보여준다.

사실 현대 사회에서 수학은 더욱더 중요해지고 있다. 수학은 유용성과 관련 없는 순수 기초학문이라는 것이 오히려 판타지이다. 현대 금융은 이미 수학 없이는 성립되지 않을 정도이며, 월스트리트에서 수학자가 받는 대우가 이를 방증한다. 오늘날 인터넷 세계가 활짝 열리게 된 바탕인 전자상거래와 인터넷뱅킹 역시 결국 아주 큰 수의 소인수를 찾는 수학 문제에 다름 아니다. 비트코인은 ‘비잔틴 장군 문제’라고 불리는 특이한 수학 문제의 개념을 활용해 새로운 지평을 열었다. 저자는 현대 사회를 수학적 관점에서 이해할 수 있도록 다양한 사례를 흥미롭게 펼쳐놓는다.

윌리엄 파운드스톤(과학 논픽션 작가)
“투자, 경영, 베팅에 대해 수학적으로 생생하게 풀어낸다. 작가의 손을 거치면 심오한 수학이 재미있고 짭짤한 아이디어로 변한다.”

이언 스튜어트(수학자, 왕립학회 회원)
“재미가 보통이 아니다. 명쾌하고 독창적이며 술술 읽힌다. 수학과 돈의 흥미로운 관계에 대한 책.”

1장 마법의 콩을 찾아서
돈이란 무엇인가
싸게 사서 비싸게 판다
72의 법칙
손쉽게 100만 파운드 만들기
현실에서의 마법의 콩
지수적 증가의 힘

2장 카지노와의 수 싸움
도박에 담긴 수학
행운의 여신
동전 던지기 게임
카지노에 간 부자와 빈자
정규분포 이외의 분포 패턴
배당률을 확률로 변환하는 법
카지노의 확률적 몫
하우스 에지 알아내기
도박의 양면성을 이해하자
역72의 법칙

3장 세상 모든 베팅의 원리
확실하게 돈을 따는 베팅 방법?
적정한 베팅 금액 산정하기
워런 버핏도 즐겨 쓰는 켈리 베팅
헤징: 실패에 대비하다
저평가된 가치를 찾을 것
작은 수와 큰 수의 법칙
상트페테르부르크 복권
실질적 확률과 비이성적 함정
무작위성 속에 숨겨진 패턴 찾기
룰렛과 수학

4장 성공적인 투자자가 되려면
주식시장의 기본
회사의 가치를 소유하다
내 주식은 고평가됐을까, 저평가됐을까
돈의 시간적 가치
불확실성 관리하기
변동성: 큰돈 혹은 파산
위험을 줄이는 방법
시장의 틈새를 찾아서
상승장과 하락장
투자자와 켈리 베팅
저위험 고수익 투자
비이성적 투자자

5장 시스템의 허점을 파고들다
에드 소프라면 어떻게 할까?
단순히 카드를 세기만 하면
MIT 블랙잭 팀
주사위와 카드 속임수
완벽한 예측이라는 거짓말
폰지 사기와 피라미드 사기
즉석 복권의 패턴
복권을 모두 사버리면 어떨까
행운을 눌러요
홀인원 노리기
좋은 정보, 나쁜 정보
여론조사 결과가 실제와 다를 때

6장 IT와 금융의 지배자
구글과 행렬
페이스북의 수학
인터넷뱅킹의 비밀
비잔틴 장군 문제와 비트코인
파생상품의 기초
블랙-숄즈 모델과 금융위기
고빈도 매매의 수학

7장 일 잘하는 사람의 수학 스킬
데이터는 충분히 수집한다
무작위성 이해하기
그림으로 표현하라
데이터에 귀를 기울인다
상트페테르부르크 복권 팔기
전시회의 수학
협상력을 높여주는 게임 이론
부의 분배와 수학
빚과 레버리지
78의 법칙

8장 불가능한 문제를 증명하기
현실판 〈굿 윌 헌팅〉
상금 100만 달러짜리 문제
밀레니엄상에 도전해볼까?
수학과 관련된 다른 상들
이해하기 쉽지만 풀기는 어려운
암호 해독의 유혹
문제는 풀리라고 있는 것

표준편차는 건 돈의 액수의 제곱에 비례하고 기대치는 건 돈에 비례한다. 이 말은 게임을 오래 할수록 잃을 돈이 딸 돈보다 많아지므로 점점 더 카지노를 이기기 어려워진다는 뜻이다. 그래서 게임에 임할 때 사람들이 너무 소심해지지 않으려는 이유이기도 하다. 같은 게임을 1,000번 할 때에 비해 1판만 할 때는 변동성이 훨씬 높다. 다시 말해, 게임을 반복할수록 하우스 에지에 가까운 비율만큼 돈을 잃게 된다._68쪽

이 오류는 1913년 8월 18일 몬테카를로 카지노에서 있었던 사건 때문에 몬테카를로 오류라고 불리기도 한다. 이날 룰렛 테이블에서 스물여섯 번 연속으로 공이 검은 쪽에 떨어졌다. 일부 고객들은 이 룰렛에 문제가 있다고 생각했지만 당시 카지노에 있던 대부분의 도박꾼들은 이제 붉은색이 연속으로 나올 것이라고 믿어서 여기에 돈을 걸었고 결국 수백만 프랑을 잃었다. 비록 스물여섯 번 연속으로 검은색이 나왔다고 해도, 이 테이블이 정상적인 것이라면 그다음부터도 매번 붉은색과 검은색이 나올 확률은 사실 똑같다._113쪽

애플은 아이팟을 출시했을 때 저장된 음악을 일정한 순서 없이 골라서 재생하는 기능에서 이와 관련된 문제로 골머리를 앓았다. 많은 사용자들은 같은 가수의 노래가 빈번하게 재생되거나 같은 곡이 자꾸 재생된다는 걸 알게 되었고, 이 기능이 수록곡을 무작위로 재생하는 것이 아니라 특정한 기준에 의해 조작된 것이라고 불만을 제기했다. 결국 인간이 인식하는 무작위성이라는 건 전혀 신뢰할 수가 없다는 이야기다._117쪽

유명한 ‘완벽 예측 사기’에도 비슷한 원리가 이용된다. 사기꾼들은 대체로 결과가 두 가지로 나오는 사건을 대상으로 선택한다. 그러고는 자신들이 완벽하게 결과를 예측하는 방법을 갖고 있다거나 내부 정보를 입수했다고 주장하며 편지나 이메일 1만 6,000개의 절반에는 A가 이길 것이라고, 나머지 절반에는 B가 이길 것이라는 내용을 담아 발송한다. 결과가 나온 뒤에는 맞는 결과를 보낸 수신자를 다시 반씩 나누어 다음 경기나 주식시장의 결과를 예측하는 메일을 보내고, 그다음 주와 그다음 주에도 똑같이 한다. 그러면 4주 뒤에는 연속 4번 결과가 맞은 메일을 받은 사람 1,000명이 남게 된다. 이제 이 사람들에게 계속 정보를 받고 싶으면 100달러를 내라고 한다._185쪽

어떤 면에선 승자와 패자를 가르는 이유 대부분은 그저 운이라고 해도 과언이 아니다. 그런데 실제로는 살아남은 사람들이 자신의 능력에 지나친 확신을 가지면서 그간 누렸던 운의 역할은 과소평가하는 결과로 이어진다. 헤지펀드 업계에도 비슷한 논리를 적용할 수 있다. 몇 년 동안 계속 좋은 실적을 낸 펀드 매니저들은 마치 신처럼 추앙받고 엄청난 투자금도 몰리지만, 그런 펀드 중 굉장히 많은 곳이 실패하고 만다._187쪽

피라미드 사기는 폰지 사기와 유사한 구조이긴 하지만 폰지의 경우처럼 최초의 고안자가 모든 것을 총괄해서 운영하지 않는다는 차이가 있다. 보통 투자자들이 직접 다음 단계의 투자자들을 유치하는 방식이며 뭔가 이상한 엉터리 물건을 판매하는 형식을 띈다. 건강 관련 상품을 판매하는 데 투자해서 참여하면 큰돈을 벌 수 있다는 식이 가장 흔하다. 하지만 피라미드 사기이건 폰지 사기이건 근본적으로 부를 창출하지 않고 재분배할 뿐이므로 태생적으로 결함이 있는 구조에 불과하다._189~190쪽

1960년대 초 루마니아의 경제학자 스테판 만델은 외국으로 이민할 방법을 찾고 있었다. 그는 해외로 가는 항공권을 구입할 자금도 부족했다. 그래서 복권의 6개 숫자 중 적어도 5개를 맞출 수 있는 방법을 찾았다. 다행히 운이 좋았던 만델은 첫 시도에 당첨이 되어 가족과 함께 호주로 이민 갈 자금을 마련하는 데 성공한다. 호주에서 만델은 조금 더 대담한 시도를 계획한다. 그러고는 충분한 자금을 동원할 수 있는 수준의 조직을 구성했다. 이후 수십 년 사이에 이 조직은 호주에서 1등 복권에 열두 번 당첨된다. 큰돈을 번 만델은 이후 은퇴해서 남태평양의 작은 섬으로 이주했다._195~196쪽

“여기 세 개의 문 뒤에는 각각 자동차 한 대와 염소 두 마리가 있습니다. 문 하나를 선택하면(이 문을 문1이라고 합시다) 제가 나중에 그 문을 열어드립니다. 제가 그 문을 제외한 문 중 하나를 열면(문3) 염소 가 있습니다. 이제 선택하면 됩니다. 계속 문1을 선택하시겠습니까, 아니면 문2로 선택을 바꾸시겠습니까? 자동차를 타려면 선택한 문을 바꿔야 할까요, 아닐까요?” 대부분의 사람들이 직관적으로 생각하기엔 선택한 문을 변경할 이유가 없다. 닫힌 문이 두 개이므로 둘 중 어느 문 뒤에라도 자동차가 있을 확률은 50%이기 때문이다. 하지만 실제로는 처음 선택한 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 33.33…%이고, 문2 뒤에 자동차가 있을 확률은 66.66…%이므로 선택을 바꿔야 한다._200~201쪽

왜 여전히 여론조사 결과가 자꾸 틀리는 것일까? 이렇게 된 이유는 여러 가지이고 복잡하기도 하지만, 투표 패턴이 크게 바뀐 것이 가장 눈여겨봐야 할 대목이다. 브렉시트와 트럼프의 승리는 이제껏 좀처럼 투표하지 않던 계층이 대거 투표에 참여하면서 예상을 뒤엎은 결과가 나온 경우다. 정치적으로, 또는 대상이 되는 제품을 둘러싼 주변 상황이 급격하게 변하는 시기가 여론조사 결과의 신뢰성이 가장 떨어질 때다._213쪽

페이스북 알고리즘의 예에서 보듯, 사용자와 페이스북 사이의 모든 동작은 다시 알고리즘에 반영된다. 모든 클릭, 좋아요, 동영상 시청, 거부한 광고, 팔로우하는 모든 그룹과 사람 등. 이런 것들이 하나도 빠지지 않고 알고리즘에 다시 반영되고 모든 정보 사이의 ‘관계도(relevancy)’를 정하는 데 사용된다. (...) 예를 들어 평소 일부러 제외해두었던 뉴스 사이트를 방문해보는 것도 한 방법이다. 사용자들 스스로가 관심을 기울이지 않는다면 시간이 지날수록 알고리즘은 모두를 더욱 자신들만의 가치관이라는 보이지 않는 감옥 안에 가두어놓을 것이다._228~229쪽

주식시장에 참여하는 개인 투자자도 대부분 제로섬 게임에 참여하는 것과 마찬가지로 볼 수 있다. 누군가의 수익은 주식을 매입한 다른 누군가의 손실이 될 수 있고, 반대도 마찬가지다. 그런데 이런 논리를 전체 주식시장이나 파생상품 시장까지 확장하기 어려운 이유는 전체 시장에 의해서 새로운 부가 만들어지기(혹은 사라지기) 때문이다. 주식시장에 유입된 자금이 경제 전반에 순환되는 방식과 파생상품이 위험을 분산하는 방식 모두 이론적으로는 부를 창출하는 바탕으로 작용한다._243쪽

결과적으로는 단지 파생상품의 가치를 객관적으로 평가하는 지표가 존재한다는 이유로 인해 파생상품 거래가 급격히 늘어나게 된다. 일부에서는 퀀트 펀드가 제공한 블랙-숄즈 방정식이 시장에 잘못된 믿음을 주었다고 지적하며 이 방정식을 세계 금융위기의 원흉으로 꼽기도 한다. 파생상품 방정식의 문제는 이 수식을 사용하는 사람들이 이것이 어디까지나 모형이라는 사실과, 상황에 따라서는 전혀 엉뚱한 답이 나올 수도 있다는 것을 종종 간과한다는 데 있다._246쪽

금융시장에서 수학이 주목받게 된 과정은 수학 천재 짐 사이먼스의 경력을 통해 확인할 수 있다. 사이먼스는 수학계에서 고도의 위상수학 이론인 천-사이먼스 3형식으로 유명한 인물이다. 또한 널리 알려진 헤지펀드인 르네상스 테크놀로지의 창업자이기도 하다. 이 펀드는 2015년 10월 기준으로 650억 달러의 자산을 관리하고 있으며 자산의 대부분이 직원 소유다. 이 회사에 금융계 출신 직원은 드물고, 대부분 학계나 이론 연구 분야의 배경을 갖고 있으며, 셋 중 하나는 수학이나 물리학 박사학위 소유자다._247쪽

과거 필자는 업무상 고객과 기업 사이에 짧은 미팅이 이루어지는 다양한 전시회에 참여할 기회가 있었다. 당시 상사는 판매할 상품의 가격을 추산해야 하는 경우가 있으면 ‘전시회의 수학’을 활용해보라고 조언했다. 처음엔 무슨 뜻인지 알 수 없었는데, 쉬는 시간에 상사는 내게 판매직에 있는 사람에게 가장 유용한 것 중 하나가 무언가를 추산할 때 암산을 잘하는 것이라고 설명해주었다._272쪽