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이 책은 제1장과 2장에서 분포와 추정에 대해 언급하였다. 아울러 통계적 추론과 방법론에 대해서도 기술하였다. 제3장에서는 기후 변화를 탐지하기 위해 시간을 변수로 놓은 비정상 극단모형을 이용하여 최대 강수량의 변화를 파악하였다. 제4장에서는 지리 정보를 활용하여 공간적 종속성을 고려하는 극단모형을 이용하여 한반도 최고기온에 대해 연구하였다. 여기까지는 과거 관측 자료를 분석하였는데, 제5장부터는 미래 시나리오에 기반한 시뮬레이션 자료를 동시에 다룬다. 여러 개의 기후 시뮬레이션 모델의 결과를 가중평균하는 이른바 앙상블 모형을 구축하는 방법에 대해, 특히 베이지안 모형평균 방법을 기술하였다. 제6장에서는 시뮬레이션 모델이 가지는 한계인 편차 (또는 편의)를 극복하기 위해, 역사적 자료와 관측치를 비교하여 편의 보정 함수를 구한 뒤 이를 미래 자료에 적용하는 방법에 대해 연구한다. 시뮬레이션 모델의 편의를 더 유연하게 극복하면서 앙상블 모형 구축이 용이하도록 하는 일반화된 편의 보정 방법을 제시하였다.

■ 머리말 / 07

제1장 통계적 추론의 기초 이론과 방법 / 15
1.1 점추정 방법 / 17
1.1.1 최우추정법 / 18
1.1.2 L-적률추정법 / 21
1.2 구간 추정 / 28
1.3 붓스트랩을 이용한 통계적 방법 / 32
1.4 적합도 검정 / 38
1.4.1 Kolmogorov-Smirnov test / 38
(1) 일표본 K-S 검정 / 39
(2) 이표본 K-S 검정 / 42
1.4.2 Cramer-von Mises 검정 / 43
1.4.3 Anderson-Darling 검정 / 43
1.4.4 분위수 그림(Q-Q plot) / 45

제2장 극단 기상 자료의 모형화 / 51
2.1 일반화 극단 분포 / 54
2.1.1 분포의 정의와 모양 / 54
2.1.2 모수의 추정과 귀환수준 / 59
(1) 최우추정법 / 59
(2) L-적률 추정법 / 60
(3) 귀환수준 / 62
2.1.3 모형 진단 / 65
2.2 일반화 파레토 분포 / 68
2.2.1 일반화 파레토 분포의 정의 / 68
2.2.2 임계값 결정 방법과 귀환수준 / 70
(1) 평균 초과함수 그림 / 70
(2) 적합도 방법으로 임계값 구하기 / 73
(3) 붓스트랩 방법으로 임계값 구하기 / 74
2.2.3 모형집단 / 76
2.2.4 귀환수준 등고선 지도 / 77
2.3 비정상 GEVD 모형과 r-GEVD / 79
2.3.1 비정상 GEV 분포 / 79
2.3.2 r-GEV 분포 모형 / 80
2.3.3 극단모형의 적용상 유의점 / 85

제3장 비정상 극단 모형 / 89
3.1 서론: 비정상 극단 모형 연구의 필요성 / 92
3.2 태국의 연간 최대 일일 강수량 자료 및 기후 / 93
3.3 비정상 GEV 모형과 통계적 방법론 / 98
3.3.1 극한값에 대한 시간 종속 모델 / 98
3.3.2 모수 추정 및 모델 선택 / 98
3.3.3 모형 진단 및 적합도 검정 / 101
3.3.4 귀환수준 / 101
3.3.5 추세에 대한 Mann-Kendall 검정 / 02
3.4 태국 최대 강수량 자료에 비정상 극단 모형을 적용한 결과 / 104
3.4.1 선택된 비정상 극단 모형 / 104
3.5 토론 및 결론 / 111

제4장 공간적 극단 모형과 그 적용 / 117
4.1 공간적 극단 모형의 필요성 / 119
4.2 Max-stable 과정 / 123
4.3 합성 우도와 추정 / 125
4.4 한국 최고 기온에 MSP를 적용 / 126
4.4.1 남한 전 지역에 대한 모형 적합 / 130
4.4.2 지역적 모형화와 진단 / 132
4.5 한국 최고 기온에 적용 / 138
4.5.1 귀환수준의 추정 / 138
4.5.2 미관측 지점에서의 예측 / 141
4.6 결론과 논의 / 142

제5장 기후 시뮬레이션 모델의 편의보정 / 149
5.1 편의보정의 필요성 / 152
5.2 일변량 편의보정 방법 / 153
5.2.1 델타 변경 / 154
5.2.2 분위수 매핑 / 156
5.2.3 경향 보존법 / 158
5.3 다변량 편의보정 / 160
5.3.1 경험적 코플라 기반 보정 / 160
5.3.2 직교 회전 행렬 방법 / 162
5.3.3 최적 확률적 보정 / 163
5.4. 한국 최대 강수량 자료에 적용 / 164
5.4.1 서론 / 164
5.4.2 한국 최대 강수량과 기후 모델 / 166
5.5 분석 결과 / 168
5.6 토의와 결론 / 172

제6장 기후 시뮬레이션 모델의 앙상블: 이지안 모형 평균화와 분위수 매핑 / 177
6.1 시뮬레이션 모델의 가중평균 / 179
6.2 지역빈도분석 / 182
6.3 베이지안 모형평균과 불확실성의 계량화 / 183
6.4 일반화 분위수 매핑을 사용한 BMA / 189
6.4.1 α-편의보정 방법 / 190
6.4.2 보정률 α와 베이지안 모형 평균 / 191

■ 찾아보기 / 199

제1장 통계적 추론의 기초 이론과 방법
1.1 점추정 방법
통계적 모형에는 대부분 매개변수 또는 모수(parameter)를 포함하고 있으며 이 모르는 모수는 보통 자료로부터 추정된다. 여기서는 먼저 추정 방법에 대해 다루겠다. 추정법으로는 크게 어떤 하나의 값으로 구하는 점추정법과 어떤 구간으로 구하는 구간추정이 있다. 먼저 점추정 방법부터 알아본다. 이 장에서 다루는 내용은 류상범과 박정수(2012) 및 Coles(2001)에서 일부분을 가져왔거나 재수록했음을 밝힌다.
점추정값을 구하는 방법은 “적률법(moment mehod)”, “최대 우도 추정법(maximum likelihood method)”, “최소 제곱 추정법(least square method)”과 “L-적률 추정법” 등이 있다. 여기서는 극한 모형의 추정에 자주 사용하는 L-적률법과 최대 우도 추정법에 대해서 설명한다.
최대 우도 추정법은 모집단의 분포가 미지의 모수를 갖는 임의의 확률밀도함수에 의해 정해지고, 이 함수의 형태를 알고 있는 것으로 가정하여 (일반적으로 도수 분포 형태를 육안으로 확인하여 이미 알려진 확률 밀도 함수 가운데 하나를 선택한다) 모수를 추정하는 방법이다.
1.1.1 최우추정법
확률변수에서 추출한 확률 표본 이 관측값을 가진다고 가정하자. 이산 확률 변수의 경우, 표본의 “우도(likelihood)” 은 주변 확률들의 곱이다.
여기서 이다. 연속 확률 변수의 경우, 표본의 우도는 주변 밀도 함수들의 곱이다.
어떤 경우이든지 모수 의 최대 우도 추정값(MLE)을 찾기 위해서는 우도 를 최대로 해야 한다. 우도 은 모수 만의 함수이므로 이 함수를 “우도 함수(likelihood function)”라고도 한다.즉, 최대 우도 추정법은 우도 함수 의 값을 최대로 하는 통계량를 모수의 추정량으로 결정하는 방법이다. 그리고 우도 함수의 최대값을 구할 때는 우도 함수 그대로 취급하는 것보다는 로그 형태로 전환하면 계산이 쉽다. 로그 함수는 단조 증가 함수이므로 와 로그 함수 는 동일한 값에서 최대값을 취하므로, 문제에 따라서 계산에 편리한 방법을 이용한다.
예를 들어, 다음 확률 밀도 함수를 갖는 와이블 분포의 모수 와 의 최대 우도 추정량을 구해보자.
먼저 라 두면, 위 식은 아래와 같이 변형된다.
따라서 와이블 분포의 우도 함수는
계산을 편리하게 하기 위해, 우도 함수 를 로그 변환하면
이다. 다시 로 치환하여 위의 로그 변환한 우도 함수를 정리하면 다음과 같다.
따라서 를 최대로 하는 를 찾으면, 그 값들이 주어진 관측값들에 대한 최적의 와이블 분포의 모수 추정값들이 된다. 와이블 분포와 같이, 2개 이상의 모수를 갖고 그들을 동시에 추정해야 할 경우에는 아래의 연립 방정식을 풀어서 구할 수 있다.
연립방정시의 해가 수학적으로 명확히 풀리지 않는 경우에는 수치적 최적화 기법을 적용하여 구한다. R 소프트웨어의 “ismev” 패키지에서는 “optim” 함수를 이용하여 MLE를 찾아낸다.
1.1.2 L-적률추정법
L-적률은 자료 및 확률분포의 형태를 특징짓는 값이거나 통계량이다. 이 L-적률에 대해 간략하게 기술하겠다. 주어진 확률변수와 분포에 대해 r차 적률은 로 정의한다. 이 적률을 일반화한 것이 확률가중적률(probability weghted moment: PWM)인데, 그 식은 다음과 같다[허준행(2016)].
L-적률은 PWM의 특별한 조합으로 얻어지는데, 다음 식을 이용한다.
r차 L-적률을 이라고 표기하면 이를 다음과 같이 순서통계량의 선형조합(linear combination)으로 정의되며 와 를 이용하여 구해진다[Wikipedia, L-moment].
여기서 은 의 분포로 나온 크기 n의 확률표본의 순서 통계량이고 은 개의 확률변수 중 번째 확률변수의 기댓값이다.
은 L-mean 혹은 L-location이라고 부르며 인 평균과 같다. 는 L-scale이라고 부르며 자료들이 얼마나 촘촘하게 있는지 알 수 있다. 표준편차인 에 대응되는 값이다. 는 비대칭 정도를 알 수 있다. 는 첨도와 관련이 있다. 이 식들을 이용하여 모집단의 L-적률비를 구하면 다음과 같다.