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인류와 함께 한 수학의 역사

고대 오리엔트의 수학부터 미분적분에 이르기까지 수학의 발전을
꼼꼼하게 구체적으로 서술한 수학사의 결정판!

“수학 교육에 종사하거나 수학의 뿌리를 파헤치고 싶은
사람이라면 반드시 읽어야 할 필독서”

이집트, 메소포타미아 지역에서 축적된 오리엔트의 수학부터 시작하여 기호 대수학의 성립부터 미적분법의 발견에 이르는 수학의 모든 발전 과정이 파노라마처럼 펼쳐진다.
본서 『처음읽는 수학의 세계사』는 모두 세 개의 파트로 구성되었다. ‘고대 수학’을 다루는 제1부는 이집트, 메소포타미아 지역에서 축적된 오리엔트의 수학부터 해설하기 시작하여, 고대 그리스 수학을 중심으로 정리한다. 제2부는 ‘중세 수학’으로, 인도나 아라비아, 중국, 일본, 중세 유럽의 수학을 다루고 있다. 명확하게 중세 시대의 수학이라고 말할 수 없는 내용도 있지만 중세 시대를 기준으로 한 편의적인 구성이라고 이해하면 좋을 듯하다. 제3부는 ‘근대 수학’에 대해 이야기하는데, 기호 대수학의 성립부터 미적분법의 발견까지 해설한다. 수학을 싫어하는 사람도 이 책을 펼쳐들면 곧 바로 지적 즐거움에 빠져들게 될 것이다.

인류는 언제부터 수학에 관심을 가졌고, 실생활에 적용해왔을까?
수학은 누가 어떻게 발견했고, 인류는 어떤 과정을 통해 수학을 발전시켜왔을까?

고금동서 수학의 역사를 한눈에 본다! 고대 오리엔트부터, 인도, 일본, 유럽 등의 중세 수학과 기호 대수학, 확률론, 해석 기하학, 미적분법 등 근대 수학까지 수학의 기원을 상세하게 설명한다.

고대 이집트나 메소포타미아 등 큰 강 유역에서는, 국가가 형성되고 관개 농업 생활을 하게 되면서 수학이나 천문학과 관련된 다양한 활동들이 행해졌다. 초기의 수학은 농업 생활을 영위하기 위해 빼놓을 수 없는 실용상의 문제와 국가를 유지하기 위한 여러 행정상의 문제를 해결하기 위해 형성되었다. 그리고 문자나 숫자에 의해 그것을 기록하는 행위도 이루어지게 되었다.
고대 이집트나 메소포타미아 지역에서 발달한 수학은, 탈레스나 피타고라스 등에 의해 소아시아(아나톨리아)의 이오니아 지방과 이탈리아 남부 지역으로 전해지면서 실용적인 문제의 해결을 넘어, 인간의 정신적 행위로의 질적인 전환을 이루었다. 그 단적인 예가 바로 ‘증명’이라는 개념의 성립이다.
지중해 세계에서 수학적 활동은 그리스 본토로 이행하고, 나아가 기원전 300년경부터 시작하는 헬레니즘 시대에 이르러 알렉산드리아에 전해지게 되었다. 그 시대는 과학사상 가장 많은 활동이 풍성하게 전개된 시기 중 하나로, ‘제1차 과학 혁명의 시대’라고 평가되고 있다.
4세기가 되면서 고대 그리스의 독창적인 수학 연구가 쇠퇴하는데, 주요한 연구 성과는 그리스 문명권에서 비잔틴 문명권, 그리고 시리아 문명권으로 계승되었다. 게다가 시리아적 헬레니즘의 여러 과학은 아라비아어로 번역되어 아라비아 문명권에 이입되면서, 아라비아 학술 문화가 발흥하는 시대가 열리게 되었다.
아라비아 학술 문화는 11세기에 황금기를 맞이하는데, 이번에는 그 학술 문화를 서구 세계가 받아들이게 되었다. 그렇게 12세기에 서구 세계에 엄청난 번역의 시대가 도래하게 되는데, 이를 흔히 ‘12세기 르네상스’라고 부른다.
무함마드(Muhammad)로 시작하는 이슬람 제국은 아라비아반도부터 지중해 연안의 아프리카 북부 지역, 그리고 이베리아반도까지 이르렀는데, 12세기 르네상스의 중심이 되었던 곳은 카탈루냐를 포함한 스페인 북동 지역과 톨레도를 중심으로 하는 스페인 중앙부 지역, 팔레르모를 중심으로 하는 시칠리아섬, 그리고 이탈리아 북부 등의 지역이었다. 이 지역에서 아라비아어 문헌이나 그리스어 문헌의 라틴어 번역이 활발하게 이루어졌다.
이러한 라틴어 번역을 통해 서구 세계는 학술 문화의 꽃을 피우게 되었다. 이탈리아, 프랑스, 독일, 그리고 영국 등의 지역에서 3차, 4차 방정식의 해법과 기호 대수학의 발명, 해석 기하학의 탄생, 확률론의 발생 등이 전개되고 뉴턴과 라이프니츠에 의한 미적분법의 발견으로도 이어졌다. 오늘날에는 이 시대를 ‘제2차 과학 혁명의 시대’라고 부른다.
이 책은 총 세 개의 파트로 구성되었으며, 제1부는 이집트, 메소포타미아 지역에서 축적된 오리엔트의 수학과 고대 그리스 수학을 중심으로 정리했다. 제2부는 ‘중세 수학’으로, 인도나 아라비아, 중국, 일본, 중세 유럽의 수학을 다루고, 제3부는 ‘근대 수학’에 대해 이야기하는데, 기호 대수학의 성립부터 미적분법의 발견까지 해설한다. 이 책은 독자들로 하여금 수학의 새로운 진면목을 발견하고 지적인 즐거움에 빠져들게 만들어 줄 것이다.

프롤로그
제1장 고대 수학

1. 고대 오리엔트 수학
수와 사칙 계산 : 14
산술 문제 : 18
아하의 문제 : 19
세케드의 문제 : 20
정사각형의 대각선 길이 : 21
원의 면적 : 23
고대 오리엔트 수학의 특징 : 25

2. 탈레스와 피타고라스학파
신화에서 이성으로 : 31
자연 철학의 두 전통 : 37
원리로부터의 도출 : 42
귀류법의 발명 : 45
피타고라스학파의 콰드리비움 : 47
협화 음정 비율의 발견 : 49
피타고라스 음계 : 54
피타고라스의 정리 : 55
피타고라스학파의 상징 : 57
무리량의 발견 : 60

3. 플라톤의 수학론
이데아론의 탄생-《파이돈》 : 66
이데아론의 완성- 《국가》 : 70
플라톤주의적 수학관 : 74
플라톤의 입체 : 79
그리스의 3대 난제 : 83

4. 논증 수학의 성립
그리스 초기의 증명 개념 : 86
유클리드의 《기하학 원론》 : 89
정의, 공준, 공리 : 90
평면 기하학 : 95
기하학적 대수 : 97
비례론과 그 응용 : 99

5. 수론과 그 발전
피타고라스학파의 수론 : 102
유클리드 《기하학 원론》 제7~9권 : 107
니코마코스의 수론 : 110
디오판토스의 《산수론》 - 축약된 대수학 :114

6. 헬레니즘 시대의 수학
에우독소스의 실진법 : 117
아르키메데스에 의한 원의 구적 : 121
원주율의 계산 : 124
아르키메데스의 구적법 : 125
중심에 관한 연구 : 131
아폴로니오스의 원뿔곡선론 : 134

7. 그리스의 삼각법
태양과 달의 크기 : 138
지구의 크기 : 141
메넬라오스의 정리 : 143
프톨레마이오스의 〈현표〉 : 146
톨레미의 정리 : 151

8. 그리스 수학의 종언
헤론의 공식과 헤론의 삼각형 : 155
파포스의 《수학집성》 : 159
평균의 도식화 : 161
아벨로스의 문제 : 162
준정다면체 : 164
분석과 종합 : 166
파포스의 여러 정의 : 168

제2장 중세 수학

1. 인도의 수학
제단의 수학 : 172
0의 발견 : 175
아리아바타의 수학 : 179
브라마굽타의 수학 : 182
바스카라의 수학 : 183

2. 아라비아의 수학
아라비아의 산술 : 190
아라비아의 대수학 : 192
아라비아의 삼각법 : 195
아라비아의 기하학 : 198
아라비아의 수론 : 201

3. 중국의 수학
유휘와 《구장산술》 : 205
조충지와 조긍지 : 211
‘산경십서’의 성립 : 215
타적술과 천원술 : 218
주세걸과 정대위 : 224

4. 일본의 수학
중국 수학의 유입과 주판의 전래 : 228
나눗셈 천하제일, 모리 시게요시 : 233
《진겁기》와 유제 계승 : 241
세키 다카카즈와 세키류 와산 : 252
산가쿠 봉납 : 257

5. 중세 유럽의 수학
피보나치의 《산반서》 : 260
아리스토텔레스의 운동론 : 264
필로포누스의 운동론 : 268
임페투스 이론 : 270
질의 양적 표시와 그래프 표시 : 274

제3장 근대 수학

1. 기호 대수학의 성립
삼차 방정식과 사차 방정식의 해법 : 278
대수 기호의 발명 : 284
비에트의 기호대수 : 286

2. 근대 역학의 형성
초기 갈릴레오 운동론 : 290
아르키메데스에게 배우다 : 293
하락 모멘트 : 296
제2낙하법칙-시간 제곱 법칙의 발견 : 300
제2낙하법칙-속도·시간 비례 법칙의 발견 : 305
제1낙하법칙의 발견 : 309

3. 확률론의 시작
카르다노와 갈릴레오 : 313
드 메레의 의문 : 317
두 도박사의 분배 문제(1) : 319
두 도박사의 분배 문제(2) : 321
두 도박사의 분배 문제(3) : 321
페르마의 해법 : 322
세 도박사의 분배 문제 : 325
파스칼에 의한 수학적 귀납법의 발견 : 328

4. 해석 기하학의 탄생
데카르트의 《정신 지도 규칙》 : 334
‘차원 동차성의 법칙’으로부터의 탈각 : 337
대수적 연산과 기하학적 작도 : 339
데카르트의 기호법 : 341
데카르트의 해석 기하학 : 342
페르마의 해석 기하학 : 344
데카르트와 페르마의 비교 : 346

5. 접선 문제와 구적 문제
데카르트의 접선법 : 349
페르마의 접선법 : 353
데카르트의 새로운 접선법 : 357
케플러의 구적법 : 359
카발리에리의 불가분량법 : 364
파스칼의 구적법 : 370

6. 무한의 산술화
거듭제곱 수의 합을 구하는 방법 : 377
원의 구적 문제 : 380

7. 접선법과 구적법의 통일로 가는 길
기본 정리로의 운동학적 접근 : 390
기본 정리로의 기하학적 접근 : 393

8. 미적분법의 발견
뉴턴의 일반이항정리 발견 : 403
뉴턴의 접선법 : 407
뉴턴에 의한 유율 개념의 등장 : 408
뉴턴의 1666년 10월 논문 : 411
라이프니츠의 변환 정리 : 414
라이프니츠의 〈구적 해석 제2부〉 : 421
라이프니스의 미분과 적분의 통일적 파악 : 423
찾아보기 : 425

메소포타미아와 이집트에서는 문자와 숫자가 발명되었으며 고도의 수학적 지식도 축적되었다. 또한 계절의 변화에 대한 이해는 농업 생활에서 빼놓을 수 없는 것이었기에, 천체 관측도 오래전부터 꾸준히 실시되었다.
바빌로니아인은 1년을 360일로 정하고 다시 30일씩 12개월로 나누었는데, 1일을 12개의 2시간으로 나누고, 1시간을 60분, 1분을 60초로 나눈 것도 그들이었다. 또한 이집트에서는 1년이 365일이라는 사실을 알고 있었다. 이처럼 인류 역사에서 여러 수학적 과학이 처음 등장한 곳은 메소포타미아와 이집트 지역이었는데, 오늘날에는 이 지역을 ‘오리엔트 지방’이라고 부른다. _13p -14p

고대 이집트의 수학에 관한 문서는 몇 가지가 존재하는데, 특히 대영박물관에서 소장 중인 《린드 파피루스(Rhind Papyrus)》라는 수학 문서가 유명하다. 기원전 1650년경 만들어졌다고 추정되는 《린드 파피루스》는 테베의 라메세움 가까이에 있는 폐허에서 발견되었는데, 그를 영국인 헨리 린드가 사들이면서 그와 같은 이름이 붙여졌다. 다만 이 수학 문서는 고대 이집트의 서기, 아메스(Aahmess)가 썼다고 알려져 있어, 《아메스 파피루스(Aahmes Papyrus)》라고도 불린다. _18p

피타고라스학파의 시조로 여겨지는 피타고라스는, 이오니아 지방의 사모스섬에서 보석 가공사 므네사르코스의 아들로 태어났다. 그리고 18세 즈음에 탈레스의 가르침을 받았는데, 피타고라스는 이미 나이가 많았던 스승 탈레스의 추천으로 이집트, 바빌로니아등을 여행하고 경험한 뒤 사모스섬으로 돌아왔다. 하지만 피타고라스는, 당시 폴리크라테스에 의한 참주 정치가 행해지던 사모스섬이 철학하기에 적합하지 않은 환경이라고 생각하여 이탈리아 남부로 향했다. 크로톤에 정착한 피타고라스는 반종교적, 반정치적 단체를 창설하고, 그곳에서 여러 학문의 연구에 몰두했다. _100p

오늘날의 수학은 몇 가지의 공리로부터 연역적이고 논리적으로 이론을 전개하여 하나의 체계를 구축한다는 측면이 있는데, 이와 같은 방식은 기원전 300년경, 유클리드가 편찬한 《기하학 원론》에서 시작되었다고 여겨진다. 고대 그리스 세계에서 《기하학 원론》과 같은 기념비적인 작품이 탄생하게 된 배경에는, 이처럼 탈레스에 의한 ‘원리로부터의 도출’이라는 지식에 관한 전통이 있었다고 말할수 있다. _44p

유클리드 《기하학 원론》 제12권 명제2는 ‘원은 지름으로 만든 정사각형에 비례한다’와 같이 원의 면적과 그 원에 외접하는 정사각형의 면적의 비례 관계를 서술하는 데 그치고 있지만, 아르키메데스는 이보다 한 걸음 더 나아가 원의 면적을 구하는 방법을 직접적으로 언급하고 있다. 바로 《원의 측정에 관하여》에 나오는, ‘모든 원은, 그 반지름이 직각을 끼고 있는 한 변과 같고, 그 둘레는 밑변과 같은 직각 삼각형과 같다’라는 명제1이다. _121p

에라토스테네스는 도서관장을 했기 때문에 달력에 관한 다양한 중요한 기록을 접할 경험이 많았다. 많은 기록들을 보던 그는, 오늘날의 이집트, 아스완 댐의 근처에 있는 시에네라는 마을의 깊은 우물의 물에, 1년 중 어떤 특정한 날 정오에 태양이 비추고, 빛난다는 것을 깨달았다. 우물에 태양이 비춘다는 말은 태양이 우물 바로 위에 온다, 즉 수평선에 수직이라는 의미를 담고 있다. 그리고 같은 날 정오에 시에네에서 북쪽으로 5000스타디온 떨어진 알렉산드리아에서는, 막대가 짧은 그림자를 만들었는데, 에라토스테네스는 수직으로 서 있는 막대와 그림자의 관계에서 막대와 태양광선이 만드는 각이 7.2도라는 사실을 깨달았던 것이다. _142p