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중학교에 올라가도
‘수포자’가 되지 않으려면?!

“성공적인 중학 공부의 첫걸음!”
예비중학생을 위한 최고의 선행학습 시기인
초6 골든타임을 놓치지 마세요!

예비중학생에게 수학의 재미와 유용함을 깨우쳐 수학 공부의 동기를 부여하는 교양 학습서.

중학교 입학을 앞두고 중학 공부가 걱정된다면 초6 지금이 바로 골든타임이다. [잡아라 초6 골든타임] 《예비중학 수학》은 예비중학생이 본격적으로 중등 수학 공부에 들어가기 전에 수학의 재미와 유용함을 깨우칠 수 있도록 도와주는 친절한 교양 학습서다. 초6부터 중3까지 수학 교과서에 나오는 범위 안에서 우리가 수학을 왜 공부해야 하는지, 수학을 공부하면 얻게 되는 즐거움과 유익이 무엇인지 저자 특유의 유쾌한 스토리텔링으로 흥미진진하게 풀어냈다. 무턱대고 문제 풀이만 하는 것이 아니라 수학을 왜 배워야 하는지 알게 되면 자연스럽게 수학 공부에 동기가 부여될 것이다!

갑자기 어려워지는 중학 수학,
기초 체력이 가장 중요하다!

중학교에 올라가 ‘수포자’가 되지 않으려면
초등 6학년 지금이 바로 골든타임이다!

중학교 입학을 앞둔 초등 6학년 자녀와 학부모의 고민과 걱정을 말끔히 해결해 줄 최고의 선행학습 시리즈 [잡아라 초6 골든타임]의 두 번째 책 《예비중학 수학》이 출간되었다. 초등 수학은 단순한 셈이나 기초 도형만 다루는 반면, 중학 수학은 방정식이나 함수 같은 좀 더 추상적이고 고차원적인 ‘수학’을 다룬다. 다시 말해, 중학 수학은 갑자기 어려워진다는 것이다. 그래서 수학의 기초 체력이 없는 학생들은 쉽게 ‘수포자’로 전락하고 만다. 수학을 포기한다는 건 사실상 대학 입시를 포기하는 것과 다름없다.
그렇다면 중학교에 올라가서도 수포자가 되지 않으려면 어떻게 해야 할까? 문제풀이식 수학 공부도 중요하지만 그보다 먼저 수학을 왜 공부해야 하는지, 수학 공부의 재미와 유용함이 무엇인지 깨달아야 한다. 그래야 근본적으로 수학의 다양한 원리를 이해하게 되고 자연스럽게 수학 공부의 동기가 부여될 수 있다.
《예비중학 수학》은 중학 수학을 준비하는 초등 6학년부터 현재 중학 수학을 공부하고 있는 중등 1~3학년까지 누구나 수학 교과서 옆에 두고 꼭 읽어야 할 필독서다. 0과 음수, 수학 기호, 도형, 방정식, 좌표평면, 확률 등 중학교에서 배우는 수학을 총망라할 뿐만 아니라 수학이 건축, 예술, 과학기술 등 우리의 일상생활에 어떻게 적용되는지 수학에 얽힌 다양한 에피소드를 담고 있다. 피타고라스의 정리나 황금비율처럼 우리가 기계적으로 외우고 있는 수학 공식이나 개념이 어떻게 탄생했는지 수학의 역사도 거슬러 올라가 본다. 책을 읽는 것으로 그치지 않고 각 장마다 학생들이 함께 토론하고 활동할 수 있는 핵심 미션도 제공한다(229~231쪽 “함께 활동해 볼까요?”).
수학을 단순히 문제를 푸는 지루한 숙제로 생각했던 학생들은, 저자 특유의 유쾌한 스토리텔링으로 흥미진진하게 풀어내는 수학 이야기를 접하면서 수학의 즐거움에 새롭게 눈뜨게 될 것이다. 김승태 작가의 제자 가운데, 저자의 강의를 듣고 수학의 재미에 빠져 진로를 바꾼 학생들도 많았듯이, 이 책을 읽는 독자들도 수학의 숨은 매력에 흠뻑 빠져들길 기대해 본다.

중학교 때 한번 수포자가 되면
평생 수포자로 살아야 한다!

매년 중학교 입학을 앞둔 초등학교 6학년 학생과 학부모는 매번 같은 고민에 빠진다. 초등학교 공부까지는 어느 정도 따라갔지만, 중학교 공부는 초등학교 때와는 난이도와 분량부터 차원이 다르다. 특히 수학 공부는 다른 과목보다 그 정도가 더 심하다. 저자의 말대로 초등 수학은 단순한 셈이나 기초 도형만 다루는 반면, 중학 수학은 방정식이나 함수 같은 좀 더 추상적이고 고차원적인 ‘수학’을 다루기 때문이다.
초중고 수학 공부는 커리큘럼 구성 자체가 계단을 밟아 올라가는 과정과 같다. 한 계단 한 계단 꾸준히 올라가야 마침내 정상에 이를 수 있다. 단계마다 기초가 다져지지 않으면 다음 단계로 절대 넘어갈 수 없다. 1층에서 갑자기 10층으로 뛰어오를 수는 없다. 그런데 계단을 한 칸씩 오르는 일은 끈기와 인내가 필요하다. 쉬운 공부란 없다. 공부를 잘하려면 엉덩이가 무거워야 한다는 말이 괜히 생긴 것이 아니다. 이 힘든 과정을 견뎌내려면 무엇보다 공부의 재미와 만족감을 느껴야 한다. 그렇지 않으면 금세 ‘수포자’로 전락하고 만다. 중학교 성적은 고등학교 성적으로 이어지고 곧바로 대학 입시까지 연결되므로, 수학을 포기한다는 건 사실상 대학 입시를 포기하는 것과 다름없다. 안타까운 말이지만, 중학교 때 한번 수포자가 되면 평생 수포자로 살아야 한다!

우리 아이 수학 공부에
동기를 부여하는 최고의 방법은?

따라서 바로 지금 초등학교 6학년이 가장 중요한 시기다. 즉, 성공적인 중학 수학 공부의 첫걸음을 위한 ‘골든타임’이다. 이미 중학교에 올라간 중학생도 고등 수학을 준비하는 예비 단계이므로 아직 늦지 않았다. 그렇다면 수학의 재미를 느끼고 끝까지 수학을 포기하지 않으려면 어떻게 해야 할까? 《잡아라 초6 골든타임_02_예비중학 수학》은 이 질문에 대한 해답을 제시한다. 문제풀이 식 공부는 어느 정도에 이르면 한계에 부딪힌다. 소수의 수학 영재를 제외한 대부분의 평범한 학생들은 수학 문제가 재미있을 리 없다. 그러므로 다른 접근법이 필요하다. 수학이라는 학문 또는 과목이 어떻게 생겨났는지 비하인드 스토리부터 접하면 수학을 바라보는 눈이 새로워질 것이다.
늘 혁신적이고 창조적인 수학 교육법을 연구하는 저자는 특유의 유쾌한 스토리텔링으로 수학에 얽힌 다양한 에피소드를 소개한다. 0이라는 숫자는 어떻게 생겨났는지, 수학 기호는 누가 만들었는지, 인류는 자연에서 어떻게 도형을 찾아냈는지, 텐트 천장에서 좌표평면 발명한 사연과 고대 이집트에서 피라미드 높이를 계산한 에피소드까지, 교과서 속에 박제화된 지식이 아니라 생활 속에 깊숙이 들어와 있는 수학을 발견하는 것이 흥미로움을 넘어 신비롭기까지 하다.
이 책을 읽으며 높은 수학 시험 점수를 얻는 비결을 찾아내는 것도 중요하지만 수학적 사고, 즉 합리적인 사고방식을 갖춘다면 우리 학생들이 앞으로 세상을 살아가는 데 필요한 훌륭한 무기를 장착하는 것과 다름없다. 그것이 이 책의 저자가 궁극적으로 소망하는 바이기도 하다.

선행학습 ‘독’이 될까, ‘약’이 될까?

선행학습이 유행한 지 이미 오래되었다. 많은 학생이 초등학교 고학년 때 중학교 과정을 미리 공부하고, 중학교 때 고등학교 과정을 미리 공부한다. 이미 내용을 알고 수업을 들으면 진도에 뒤처지지 않고 성적도 잘 나올 것이라는 기대감에 너도나도 선행학습을 한다. 하지만 선행학습이 수업 시간에 집중력과 학습 의욕을 떨어뜨려 오히려 해가 된다고 주장하는 사람도 적지 않다.
선행학습은 학부모님의 불안과 조급함 때문에 시작하는 경우가 많다. 남들도 다 선행학습을 하는데 우리 아이만 안 하면 뒤떨어지는 것은 아닌가. 물론 이런 걱정은 자연스럽다. 하지만 남들 다 하니까 따라 하는 선행학습은 얻는 것보다 잃는 것이 많다. 학생의 학습 이해 수준을 고려하지 않고 무조건 미리 공부한다면 좋은 결과를 얻을 수 없다. 내용이 어려우면 제대로 이해하지 못한 채 덮어 놓고 암기할 확률이 높기 때문이다. 학교 수업 시간에는 이미 아는 내용이라고 생각해 수업에 집중하지 않는다. 하지만 막상 문제를 풀어 보면 제대로 답을 적지 못하는 경우가 허다하다.
따라서 선행학습을 하려면 학생의 학습 수준을 고려해 적절한 공부 내용과 분량을 정해야 한다. 그리고 학습 내용을 그냥 머릿속에 주입하기보다 개념과 원리를 이해하는 방식으로 공부해야 한다. 암기는 그다음에 해도 늦지 않다. 학교 수업 시간은 앞서 배운 내용을 복습하는 시간으로 활용하면 효과가 크다. 배울 내용을 어느 정도 알고 있기에 잘 아는 부분은 확실히 내 것으로 만들고 부족한 부분은 보충하는 식으로 공부하면 된다. 이렇게 하면 선행학습을 통해 무엇보다 ‘자신감’이라는 긍정적인 효과를 얻을 수 있다. 즉, 선행학습을 적절히 하는 것은 독이 아니라 약이 되는 것이다.

머리말ㆍ4

제1장 - 0과 음수 이야기
인류의 문명에 가장 큰 영향을 미친 숫자ㆍ12
0이 탄생하면서 덩달아 생겨난 음의 정수ㆍ16

제2장 - 수학 기호는 누가 만들었을까요?
수학 기호는 수학의 단축키ㆍ28
수학 기호는 어떻게 진화했을까요?ㆍ32

제3장 - 자연에서 찾은 도형
자연 속에서 발견한 도형의 모습ㆍ44
사각형은 어떻게 발견했을까요?ㆍ46
자연은 효율적인 도형을 알고 있다고요?ㆍ55

제4장 - 숫자에 얽힌 재미있는 에피소드
리듬에 맞춰 춤을 추는 숫자가 있다고요?ㆍ60
7에 숨겨진 신비한 이야기ㆍ63
완전수는 무엇이 완전할까요?ㆍ66
수에서 냄새가 난다고요?ㆍ68
연필은 왜 12개를 한 묶음으로 팔까요?ㆍ69
왕관 병뚜껑의 주름을 세어 보았나요?ㆍ71
48과 피부의 관계는?ㆍ73
3이 가진 위력ㆍ74
각 자리 수의 합이 제곱근이 되는 수들ㆍ75
앞으로 읽어도 소수 거꾸로 읽어도 소수ㆍ76
아무리 더해도 1을 넘지 못하는 수들ㆍ78

제5장 - 역사 속의 방정식
방정식의 역사는 곧 수학의 역사ㆍ84
피타고라스의 정리도 하나의 방정식이에요ㆍ86
이항을 발명한 알콰리즈미ㆍ90
수학 공식은 수학자들의 비밀 무기ㆍ94
좌표평면을 발명한 데카르트ㆍ99

제6장 - 좌표평면의 탄생과 활약상
좌표평면이란 무엇일까요?ㆍ104
좌표평면 위로 식을 옮긴 혁명ㆍ108
일상생활에서 좌표평면이 펼친 대활약ㆍ115

제7장 - 도박에서 탄생한 확률
경우의 수는 어떤 경우를 말할까요?ㆍ120
확률이라는 수학 분야는 어떻게 발전했을까요?ㆍ123
신기하고도 오묘한 파스칼 삼각형ㆍ127
확률에 관한 재미있는 에피소드ㆍ136

제8장 - 건축 속의 수학
피라미드의 높이를 계산한 탈레스ㆍ140
피라미드에 숨은 비밀 황금비ㆍ144
오각형과 육각형을 띠는 건축물ㆍ153

제9장 - 예술 속의 수학
수학을 활용한 예술가ㆍ158
가까운 것은 크게 먼 것은 작게, 원근법ㆍ161
음악 속에도 수학이 숨어 있다고요?ㆍ165
문과 학생은 수학이 필요 없을까요?ㆍ172

제10장 - 생활 속의 수학
사람의 생명을 살리는 수학이 있다고요?ㆍ176
수학이 없었으면 컴퓨터 게임도 못해요ㆍ180
우리를 지켜주는 고마운 수, 소수ㆍ182
사기를 당하지 않게 도와주는 수학ㆍ189

제11장 - 역사 속 위대한 수학자들
원시 시대부터 시작된 수학의 오랜 역사ㆍ194
아라비아 숫자는 아라비아에서 만들어졌나요?ㆍ197
완성도가 매우 높은 그리스 수학ㆍ200
도형의 아버지라 불리는 유클리드ㆍ203
목욕탕에서 유레카를 외친 아르키메데스ㆍ205
세상에서 가장 신비한 파이ㆍ208
‘미분 전쟁’을 들어봤나요?ㆍ211

제12장 - 동양 수학과 서양 수학
수학은 왜 서양 학문처럼 느껴질까요?ㆍ216
서양 수학 못지않게 발전한 동양 수학ㆍ218
서양 수학의 백미, 증명ㆍ221

함께 활동해 볼까요?ㆍ229

만약 0이 없다면, 303을 어떻게 나타내야 할까요? 그냥 0자리를 비워 두면 된다고요? 그것도 방법이긴 하지만, 그렇다면 3003과 303은 얼마나 간격을 두고 비워야 할까요? 비우는 간격이 제각각이면 구별하기 힘들어져요. 마야 문명에서는 0을 그림 문자로 표현했어요. 아래턱에 손을 괸 얼굴로 말이지요. 아주 재미나지만 표현할 때마다 번거로운 일입니다. 0이 나올 때마다 사람 얼굴을 하나씩 그려야 한다고 생각해 보세요. 끔찍하죠? _13쪽

곱셈 부호(×)는 17세기 영국의 수학자 오트레드가 기독교의 십자가를 비스듬히 기울여 쓴 데서 유래했습니다. 곱하기는 더하기의 단축키에 해당하는 기호입니다. 그렇습니다. 수학의 기호는 수학을 배우는 학생들을 괴롭히려는 목적으로 만든 것이 아닙니다. 수학을 좀 더 간편하게 나타내기 위한 단축키 역할을 합니다. 16세기까지 수학 기호는 디오판토스가 처음 만든 것에서 거의 달라진 것이 없었습니다. 유럽의 대수학은 그렇게 주춤하던 시기가 있었어요. 그러다가 비잔티움 제국의 멸망으로 그리스인들이 귀한 책들을 많이 들고 이탈리아도 도망쳐 옵니다. 그중에는 수학책도 많았어요. 덕분에 수학이 발전하기 시작하지요. 어쩌면 지금 학생들에게는 비극일 수도 있겠네요. _28쪽

왜 꿀벌은 자신의 집을 정육각형 형태로 만들었을까요? 자연은 평면을 빈틈없이 메우는 정육각형의 형태를 이루는 것이 많습니다. 자연이 육각형을 좋아하는 이유는 액체의 표면에 나타나는 힘의 작용이나 바람의 복잡한 작용 등 여러 가지를 꼽을 수 있어요. 벌집은 질서 정연하게 배열된 육각형의 작은 칸들로 이루어져 있지요. 벌집은 재료와 공간을 매우 유용하게 이용할 수 있습니다. 정다각형에는 정삼각형도 있고 정사각형도 있지만 꿀벌이 본능적으로 최대의 각을 가진 정육각형을 택한 것은 이 형태가 정삼각형이나 정사각형보다 훨씬 많은 꿀을 채울 수가 있기 때문입니다. 또한 정육각형이 다른 두 정다각형보다 구조가 튼튼합니다. 벌들이 정육각형을 만드는 이유는 재료를 되도록 아끼겠다는 ‘경제 원칙’을 본능적으로 터득한 결과입니다. 다른 도형보다 정육각형이 재료를 가장 효율적으로 쓸 수 있는 도형이거든요. _56쪽

등식은 등호(=)를 사용해 두 수 또는 두 식이 서로 같음을 나타낸 식입니다. 예를 들어, 2x+1=3x-2처럼 나타내는 것을 말하죠. 이것을 알콰리즈미는 천칭을 가지고 설명했어요. 수학자들 역시 사물을 관찰하면서 수학과 연결시켜 생각합니다. 이런 천칭을 유심히 살핀 알콰리즈미는 수학의 등식과 연관시켰습니다. 천칭을 보면 알겠지만 좌변과 우변의 무게가 같으면 등호처럼 나타낼 수 있습니다. 이것을 살핀 알콰리즈미가 등호의 성질을 이용해 이항이라는 것을 알아냅니다. _91쪽

황금비는 우리가 쓰는 카드에도 들어 있습니다. 이것을 가장 쉽게 설명해 볼게요. 그림을 보면 딱 느낌이 올 것입니다. 맞아요. 세로를 1이라고 하면 가로의 길이가 1.618이 되는 비율을 황금비라고 합니다. 우리가 쓰고 있는 교통카드도 이 비율을 딱 맞추고 있어요. 가장 아름답게 보이는 직사각형의 모양이거든요. 이런 황금비에 딱 맞게 지어진 건축물이 로마에도 있습니다. 그렇습니다. 그 유명한 파르테논 신전입니다. 세로의 길이와 가로의 길이가 정확히 1:1.618입니다. 이 건축물에는 모두 황금비가 녹아들어 있습니다. 그래서 많은 관광객이 몰려오지요. 너무 아름다운 비율로 지어진 건축물이거든요. _146~147쪽

에셔의 작품들을 보면 테셜레이션(tessellation)이라는 수학적 기법을 사용했습니다. 테셜레이션은 우리말로 쪽매맞춤 또는 쪽매붙임으로, 평면 도형을 겹치지 않으면서 빈틈이 없게 모으는 것입니다. 정다각형 중 쪽 맞추기가 가능한 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형이 있습니다. 쪽매맞춤에서는 평면 도형을 돌리고 뒤집을 수 있습니다. 위 도마뱀 그림이 대표적인 수학의 테셜레이션 작품입니다. 그는 작품에 도형의 평행 이동, 회전 이동, 대칭 이동이라는 수학적 기법을 자주 사용합니다. _162~163쪽

용돈을 두둑이 주시는 이모부 댁에 가는 버스가 83번이라고 해 볼게요. 만약 83이라는 번호로 간단하게 부를 수 없다면 우리는 그 버스를 어떻게 불러야 할까요? ‘이모부 댁 가는 버스’라고 부를까요? 하지만 다른 사람에게 그 버스는 또 다른 도착지로 가는 버스일 것입니다. 그럼 사람마다 버스의 이름을 다르게 써야 할까요? 이렇게 되면 그 버스와 다른 버스를 어떻게 구분할까요? 이런 문제를 해결하기 위해 83이라는 수를 사용하면 통일된 의미를 부여하면서도 버스 승객에게 각자의 목적에 맞게 생각하도록 할 수 있습니다. 이처럼 수는 어떤 것을 간단하게 구분하는 역할도 합니다. _186쪽

서양 수학의 고전으로 《기하학 원론》이 있다면 동양 수학의 고전으로는 《구장산술》이라는 책이 있습니다. 《구장산술》은 고대 중국의 수학책으로 《산수서》 다음으로 오래된 수학책입니다. 저자는 알려져 있지 않으며, 소재가 다양하고 수학적 수준이 높아 당나라 이전 가장 훌륭한 수학책으로 꼽힙니다. 내용 구성은 평면 도형의 넓이와 입체 도형의 부피 계산, 연립1차방정식과 연립2차방정식의 풀이가 포함되어 있습니다. 계산기로서 산목(算木)이 쓰였으며, 계산에는 양수와 음수까지 다루었습니다. 그리고 단위분수, 가정법 등 서양 수학을 연상하게 하는 내용도 수록되어 있습니다. 같은 시대의 그리스 수학과 견주어 산수와 대수의 분야에서 뒤지지 않는다고 평가받습니다. _218~219쪽