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“수학에게 궁금한 것을 묻는다면, 어떤 답이 기다리고 있을까”
수학 영재가 알려주는 수학으로 답을 얻고, 수학으로 질문하는 법

〈기묘한 수학책〉은 2018년 국제수학올림피아드에서 만점을 받은 수학 영재 아그니조 배너지와, 수학과 과학 분야의 베테랑 작가인 데이비드 달링이 만나 ‘재미있게 쓴 수학책’이다. 이 책은 소수, 차원, 큰 수 같은 수학의 다양한 분야들을 살펴보며 수학의 기묘한 원리와 아직 풀리지 않은 수학의 수수께끼들을 다루며 독자들의 두뇌를 자극한다. 또한 컴퓨터공학, 음악, 게임 등과 같은 분야에서도 수학이 어떻게 활용되는지를 다양한 역사적 사건과 수학사에 이름을 남긴 인물들을 통해서 익힐 수 있게 해 준다.
〈기묘한 수학책〉 속에는 엄청나게 복잡한 수식은 없지만, 수학에 진심으로 빠져든, 유쾌한 저자들의 흥미로운 스토리텔링과 지적인 즐거움이 곳곳에 녹아 있다. 수학 교과서에서는 미처 발견하지 못할 미스테리하고 기묘한 수학을 만나면서, 수학으로 새로운 답을 얻고, 또 수학으로 질문하는 법을 재미있게 배울 수 있을 것이다.

BBC사이언스가 추천한 2022년 최고의 수학책!
수학 베스트셀러 저자 이안 스튜어트, 황선욱 8대 한국수학학회장 추천
2018 국제수학올림피아드 만점자가 수학을 갖고 노는 방법
우리가 몰랐던 수학의 기묘하고도 유익한 재미

수학은 인간이 만들어 낸 가장 아름답고 가장 강력한 창조물이다.
- 스테판 바나흐

어느 분야에서든 충분히 깊게 파고들어가면 거기에 수학이 있다.
- 딘 슐릭터


2018년에 열린 국제수학올림피아드에서는 만점자가 2명 나왔다. 그 중 한 명은 영국의 아그니조 배너지. 소수의 수수께끼를 풀고 싶은 한 소년은 수학 분야의 다양한 베스트셀러를 쓴 작가이자, 음악 활동을 하는 데이비드 달링을 만나 세 권의 책을 쓰게 되었다. BBC 사이언스 포커스가 꼽은 올해의 수학책이 된 〈기묘한 수학책〉 시리즈다.
수학은 천재들의 영역으로 여겨진다. 쳐다보기만 해도 답답하고 머리가 어지러운 수학 수식을 두고서 수학자들은 ‘아름답다’고 찬탄하고, 내 머리에선 도저히 떠오르지 않은 해답을 말 그대로 ‘직관적으로’ 풀어내는 괴물들이 있는 무시무시한 곳 말이다. 하지만 이 책은 무서운 수식 없이도, 이 수학의 기기묘묘한 재미를 신나게 풀어내고 있다.
아까 수학은 천재들의 영역이라고 했지만, 사실 우리는 매일매일 ‘엄청난 수학’을 하고 있다. 다시 말하자면, 수학을 한다는 사실 자체가 엄청나다는 것이다. 책에서 나온 인용구처럼, 우리 인류가 ‘수학을 하는 것이 가능했다는’ 것은 놀랍고도 신기한 일이다. 양 한 마리에 양 한 마리를 더하기 시작한 것부터가 엄청나다. 수(數)를 센다는 것은 물리적으로는 완전히 다른 두 대상을 하나씩으로 인식하는 데서 생각하는 것이기 때문이다. 살아남기 바빴던 인류는 이러한 사고력과 상상력으로 건축과 무역 등 다양한 분야에서 많은 것을 이룩하게 되었다. 우리는 평소에도 수학을 너무나 잘 활용하고 늘 함께 하고 있어서 이 기묘한 매력을 잊곤 한다. 우리의 조상들이 한 마리, 두 마리 가축을 셀 때부터, 손가락 열 개를 쥐었다 펴면서 십진법으로 수를 정리할 때부터, 0이라는 개념을 떠올렸을 때부터 수학은 우리 곁에서 떠난 적이 없었으니 말이다. 이러한 ‘셈 빠른’ 인류에 대한 재미있는 이야기는 1장에서 다뤄지는데, 우리가 수학에 가지고 있는 막연한 인식들을 깨면서 수학만이 가질 수 있는 기묘한 특성을 돋보이게 하고 있다. 그렇다. 수학의 매력은 기묘함에 있다. 우리가 아는 것들은 수학으로 표현이 가능하고 심지어, 아직 우리가 모른다고 여기는 별나고 이상한 것들에도 수학으로 접근할 수가 있다.


가장 큰 수는 뭘까? 외계인은 우리 음악을 들을 수 있을까?
기발한 상상력은 기발한 질문으로부터 오고,
기묘하고 놀라운 이야기들이 수학을 더 재미있게 한다
수학에는 답이 정해져 있다고들 한다. 하지만 수학의 진정한 재미는 신선한 질문과 기묘한 수수께끼에 있음을 이 책은 말한다. 이 책은 질문을 잘 던진다. 우리는 어떻게 수학을 하게 되었을까? 4차원을 우리는 볼 수 있을까? 세상에서 가장 큰 수는 무엇이며, 무한이 의미하는 바는 무엇일까? 체스와 바둑은 풀 수 있을까? 음악과 컴퓨터에 쓰이는 수에는 어떤 비밀이 숨겨져 있을까? 외계인은 우리 음악을 어떻게 들을까? 4차원으로 보는 방법이 있을 수 있을까? 저자들은 끊임없이 자문하며, 독자에게 말을 걸며 여러분이 가진 생각들을 머릿속에 펼치도록 도와준다. 또한 베테랑 작가답게 데이비드 달링은 수학에 대한 아름다운 인용구와 적절한 예시들, 핵심을 꿰뚫는 유명 수학자들의 어록이 적재적소에 등장한다.
총 13개의 장으로 이루어진 이 책은 다양한 주제를 망라하는데 소수, 가장 큰 수, 역설, 증명, 차원 같은 수학의 다양한 분야를 다루는 한편, 음악과 컴퓨터 공학 그리고 게임 등 수학과 밀접한 관련이 있는 분야도 폭넓게 다루고 있다. 수학적인 내용을 검토한 아그니조 배너지와, 수학 분야의 다양한 베스트셀러를 써 온 베테랑 작가 데이비드 달링 두 콤비의 스토리텔링은 여기서 빛을 발한다. 4차원을 이야기하기 위해서 2차원의 존재가 바라본 3차원의 존재를 이야기하기도 하고 재미있는 고전 SF소설들로 주제를 환기한다. 또한, 튜링기계를 이야기하면서 앨런 튜링의 성공과 비극의 점철된 삶이 주는 감동도 함께 전한다. 우리가 익숙하게 들어왔떤 역설들을 다양하게 소개하는 한편, 우리가 일상생활에서 쓰는 ‘역설’과 수학적 역설은 어떤 차이가 있는지도 소개한다.
책에서 가장 놀라운 부분 중 하나는 가장 큰 수를 다룬 11장과 수학에서의 증명을 다룬 마지막 13장일 것이다. 수학에 대한 우리의 호기심을 자극하는 주제들이기 때문이다. 특히 큰 수를했던 주제를 탐구했던 수학자들의 열정이 몇 천 년을 걸쳐 이어져 왔다는 사실이 인상 깊게 다가온다. 아르키메데스를 통해 우리는 1억을 셀 수 있게 되었으며, 석가모니는 큰 수의 지평이 무한히 넓다는 사실을 종교적으로 우리에게 일깨워줬다. 큰 수에 큰 수를 더해서 더 큰 수를 만드는 정도가 아닌, 우주적인 규모를 넘어서는 수를 표현하기 위해서 MIT에서는 ‘큰 수 대결’이라는 유쾌한 시합이 벌어지기도 했고, 아직도 큰 수를 표현하기 위해서 수학자들은 머리를 굴리고 있다. 13장 ‘증명을 찾아서’는 수학자들을 괴롭혀 온 ‘맑아야 할 수학이라는 하늘에 뜬 구름 한 점’인 증명을 수학자 쿠르츠 괴델을 중심으로 풀어내고 있다. 신의 존재를 증명하고자 했던 괴델의 이야기에서부터 수학자들이 풀어야 할 과제들을 소개하며 수학에서 마지막까지 남아 있을 미스테리 몇 가지를 알기 쉽고 재미있게 독자들에게 전달한다.
수학 천재와 베스트셀러 저자가 쓴 이 책은 대담하다. 가끔 복잡한 수식과 난해한 주제를 겁도 없이 건드리지만, 그렇게 난해하거나 낯설게 느껴지지 않는다. 오히려 어려운 부분을 이야기하면서도 ‘수학자가 아니라면, 신경 쓸 필요가 없다. 하지만 당신은 몰랐겠지만, 당신은 이미 타고난 수학자다’. 이 여행에 나선 이들을 환영한다.

BBC SCIENCE FOCUS
수학은 기묘한 것이다. 10대 수학 천재 아그니조 배너지와 그의 스승이자 과학 작가인 데이비드 달링은 수학에 대한 이국적이고 특이한 사실로 이 책을 가득 채운다.

이안 스튜어트(수학자, 『신도 주사위 놀이를 한다』 저자)
수학이라는 세상의 더욱 멋진 풍경을 돌아보는 화려한 여행. 수학이 왜 중요하고 유용한지 알려주지만, 무엇보다도 예상하지 못했던 순수한 즐거움에 우리를 빠뜨린다. 강력 추천!

클리퍼드 A. 픽오버(수학자, 『수학의 파노라마』 저자)
달링과 배너지는 수학이라는 방대한 세상으로 떠나는 매혹적인 여행으로 우리를 데려가 준다. 무작위와 고차원, 외계 음악, 체스, 카오스, 소수, 매미, 무한 등 마음을 사로잡는 다양한 주제를 다룬다. 이 책을 읽고 날아오르라.

존 스틸웰(샌프란시스코대학교 수학과 교수)
젊은 수학 영재와 유명한 과학 작자의 멋진 공동 작업은 수학의 세계를 새롭게 바라볼 수 있게 해준다. 두 사람은 ‘쉬운 말로 설명할 수 없다면, 그건 제대로 이해하지 못한 것이다’라는 것을 보여주듯 오늘날 수학에서 가장 기묘하고 멋진 주제를 대담하게 건드린다. 그리고 그들이 제대로 이해하고 있다는 건 분명하다.

황선욱(숭실대학교 수학과 교수, 8대 한국수학교육학회 회장)
이 책은 피라미드부터 우주여행까지 지난 5,000년 동안 인류가 이루어낸 엄청난 성취에 수학이 어떻게 기여했는지를 복잡한 수식도 없이 스토리텔링만으로 들려주고 있습니다.
무한이란 무엇이며 이를 어떻게 다룰 것인지, 인간이 생각할 수 있는 가장 큰 수가 어디까지인지, 더 나아가 도대체 수학의 쓸모가 어디에 있는지에 대해 한번이라도 생각해 본 이들에게 꼭 이 책을 읽어보실 것을 권합니다.

추천사
목차
들어가면서

1장 세상 속에 숨은 수학
2장 4차원으로 보는 법
3장 가능성은 좋은 것이야
4장 혼돈 그리고 패턴
5장 환상적인 기계
6장 외계인은 우리 음악을 어떻게 들을까?
7장 소수의 수수께끼
8장 체스는 풀 수 있을까?
9장 너무나 역설적인
10장 닿을 수 없는 그곳
11장 가장 큰 수
12장 도넛과 커피잔은 같다
13장 증명을 찾아서

나가면서

학교에서 배우거나 일상생활에서 쓰는, 평범해 보이는 수와 계산에 익숙한 우리는 때때로 수학이 얼마나 기묘한지 잊곤 한다. 그럼에도 불구하고 우리 두뇌가 수학적으로 생각하는 데 아주 능숙하다는 사실, 그리고 원한다면 대단히 복잡하고 추상적인 수학을 할 수 있다는 사실은 놀랍다. 우리 조상들은 미분방정식을 풀거나 추상대수학을 갖고 주무르지 않아도 유전자를 다음 세대로 전달할 수 있었다. 내일 먹을 고기나 잠잘 곳을 찾는 데 있어 고차원의 기하학이나 소수 이론에 관한 생각은 아무 짝에 쓸모가 없었다. 그렇지만 우리는 복잡하고 추상적인 수학을 할 수 있다. 그리고 수학적인 우주에 관한 더욱 더 놀라운 진실을 밝혀낼 수 있는 두뇌를 갖고 태어난다.
_들어가면서

우리가 4차원을 받아들일 수 있는 가장 좋은 방법은 3차원으로 비슷하게 생각해 보는 것이다. 예를 들어, “4차원 초구가 우리 공간을 지나갈 때 어떻게 보일까?”라고 물으면, 우리는 구가 평면을 지나갈 때 어떤 일이 벌어질지를 상상하면서 감을 잡을 수 있다. 평면에 사는 2차원 생물이 있다고 가정해 보자. 그들이 사는 세상의 표면을 따라 보면 눈에 보이는 건 2차원 형태로 해석할 수밖에 없는 점이나 다양한 길이의 선이다. 3차원 구가 2차원 공간과 막 닿았을 때는 점으로 보인다. 그 점은 점점 커져서 원이 되고 최대일 때의 지름은 구의 지름과 똑같다. 그 뒤로 원은 다시 줄어들어 점이 되었다가 구가 통과해 버리면서 사라진다. 마찬가지로 4-구가 우리가 사는 공간과 만나면, 우리에게는 점처럼 보인다. 그 점은 비눗방울처럼 점점 커져 3차원 구로 최대 크기를 찍고 다시 작아지다가 마침내 사라진다. 4-구의 진짜 성질인 여분의 차원은 우리가 볼 수 없지만, 나타나서 커지다가 사라지는 신기한 모습을 보게 된다면 여러분은 대체 무슨 일이 벌어지고 있는 건지 궁금할 것이다!
_4차원으로 보는 법

과학자와 작가들은 모두 외계의 음악이 과연 어떨지 궁리해 왔다. 영화 〈미지와의 조우〉에서 외계인은 장음계의 다섯 음 ‘레 미 도 (옥타브 내려서) 도 솔’을 인사말로 들려주었다. 그 영화 속에서 외계인은 어쩌면 우리 음악을 듣고 우리에게 익숙한 소리를 내려고 그렇게 했을 수도 있다. 혹은 지구에서든 40,000광년 떨어진 별의 네 번째 행성에서든 그게 수학적으로 가장 단순하며, 매력적인 선율과 화음을 만들기에 최선이기 때문에 은하계의 다른 종족들도 우리와 똑같은 음계를 만들 수도 있다. 만약 수학이 보편적이라면, 음악의 근본 역시 다양함 속에서도 보편적일지 모른다. 음계와 조율 방법도 비슷할 수 있다. 예를 들어 평균율의 발전에는 불가피한 면이 있어 어느 곳의 지성체라도 다양한 악기를 다양한 조로 조화롭게 연주하려면 우리와 같은 과정을 반복할지도 모른다.
_외계인은 우리 음악을 어떻게 들을까?

소수(素數)는 수로 이루어진 우주에서 원자와 비슷한 존재이기도 하다. 다른 모든 자연수는 소수로 이루어진다. 여러분은 아마 당연히 소수가 엄격한 법칙을 따르며 수직선 위에서 언제 다음 소수가 나올지 쉽게 예측할 수 있어야 한다고 기대하고 또 추측할 것이다. 하지만 이 가장 근본적인 수학의 기본 요소는 놀라울 정도로 제멋대로에 변덕스럽게 행동한다. 예상과 현실 사이의 이런 긴장감 그리고 매우 중요한 모종의 체계적인 원리를 곧 손에 움켜쥘 수 있을 것 같다는 강한 느낌이 바로 고대부터 수학자들을 사로잡아왔다.
_소수의 수수께끼

이런 수학의 무한 중에서 어느 하나라도 현실 세계에서 실현된 게 있을까? 아니면, 순수하게 추상적인 걸까? 앞서 우리는 우주론자들이 우리가 사는 우주가 기하학적으로 평탄하며 시공간에 끝이 없다는 관점으로 기울어지고 있는 것을 살펴보았다. 만약 우주가 영원히 이대로 나아간다면, 그건 어떤 수학적 무한에 대응될까? 시공간이 불연속적인 양(플랑크 길이와 플랑크 시간)으로 나뉘어 있다는 사실은 시공간이 수학적 직선 위에 있는 점처럼 연속적이지 않다는 뜻이다. 따라서 만약 실제 우주가 무한히 넓다면, 아무래도 가장 작은 무한, 알레프-0에 대응된다고 볼 수 있을 것 같다. 그보다 큰 건 언제나 우리의 지식이나 물리 법칙의 구속을 받지 않는 모종의 관념적인 공간 속에만 있는 걸지도 모른다.
_닿을 수 없는 그곳

들리는 바에 따르면, 어느 시점에서 한 구경꾼이 엘가에게 이렇게 물었다. “이 수는 계산이 가능하긴 한가요?” 엘가는 잠깐 뜸을 들인 뒤에 대답했다. “아니요.” 마침내 라요가 다음과 같은 수로 결정타를 날렸다.
“구골 이하의 기호를 사용해 1차 집합론의 언어로 표현할 수 있는 어떤 유한한 양의 정수보다 큰 가장 작은 양의 정수.”
라요 수가 얼마나 큰지는 우리가 알지 못하고, 아마 앞으로도 결코 알 수 없을 것이다. 설령 구골만큼의 기호를 담을 수 있는 우주가 있다고 해도 컴퓨터로 계산하는 건 불가능하다. 시간과 공간이 충분하지 않은 게 문제가 아니다.
_가장 큰 수

수학이 현실 세계와는 동떨어져 있다는 생각이 들 때가 있을지도 모른다. 하지만 수학은 바로 지금, 바로 여기에 있다. 우리가 보고 하는 이 모든 것 안에는 수학이 있다. 가끔 우리는 우리의 삶이 반복적이고 평범하다고 느끼기도 한다. 그러나 사실 우리는 대단히 놀라운 것의 중심에 있다. 그리고 이 모든 놀랍고 풍성한 창조물 속에는 경이롭고 기묘한 수학이 있다.
_나가면서