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0.999...=1 이라는 것에 의문이 든다면?
미적분이 복잡한 이유를 알고 싶다면?
무한이 무엇인지 궁금하다면?

현대수학은 우리가 생각하는 것보다 훨씬 허술하다.
대부분의 모순은 무한에서 시작된다.
현대수학은 무한이 무엇인지 설명하지 못한다.
설명하지 못하는 것을 사용하면 모순이 발생할 수 밖에 없다.
현대수학에서 무한은 텅 빈 채로 방치되고 있다.

누구나 한 번쯤은 무한이 무엇인지 궁금해 해 본 적이 있을 것이다.
이 책이 그 호기심을 충족시켜 줄 수 있을 것이다.

0은 수인가?
너무나 당연한 질문이라고 생각할 것이다.
하지만 0은 오랫동안 수가 아니었다.
고대의 여러 문화에서 “존재 없음”의 개념은 사용되었지만 이를 1, 2, 3, ... 과 같은 것으로 생각하지 않았다.
0은 수가 아니었으므로 연산에 사용되지도 않았다.
유클리드 기하학을 만들 정도로 수학이 발달했던 고대 그리스인들도 0을 수로서 받아들이지 못했다.
0을 수로 인지하지 못한 이유는 0의 특징에서 짐작해 볼 수 있다.
사과를 한 개, 두 개라고 세는 것은 사과의 존재를 의미하지만 사과 0개는 “존재 없음”을 의미한다.
무언가를 세는 것이 수라고 생각한다면 없는 것은 셀 수 없으므로 수가 아니다.
현대적 의미의 0을 발견한 곳은 인도라고 여겨진다.
브라마굽타(598-668)가 628년에 쓴 〈우주의 창조〉에는 α+0=0, α×0=0과 같은 0을 포함한 연산식이 기록되어 있다.
특이한 점은 현대수학이 0으로 나누는 연산을 금지하는 것과 달리 0÷0=0으로 적혀 있다고 한다.

오늘날 0은 “존재 없음”의 의미로만 사용되지 않는다.
좌표계의 원점이나 온도계의 도처럼 “기준점”으로 사용되기도 한다.
온도계에서 0도는 특정 온도를 기준으로 정한 것이다.
섭씨 0도는 물이 어는 온도로 정했을 뿐이며 화씨 0도는 염화암모늄, 물, 얼음을 섞은 용액이 어는 온도를 0도로 정했을 뿐이다.
기준점으로서 0은 필요에 따라 어디에나 적용할 수 있다.
또 다른 사용법으로는 위치기수법의 0이 있다.
100이라는 숫자에 적힌 0처럼 “자리 비었음”의 의미로 사용된다.
위치기수법의 0은 일반적인 0과는 전혀 다른 의미로 사용된다.
“존재 없음”이나 “기준점”이 수로써 사용된 것과 달리 “자리 비었음”의 0은 수가 아니다.
이처럼 0은 여러 방면으로 유용하게 사용된다.
0이 수에 포함되면서 수학은 엄청난 발전을 할 수 있었다.
하지만 엄청난 골칫거리도 함께 발생했다.
〈본문 중에서〉

현대수학

1장 수
수
0
0의 연산
기수법
진법
분수
소수표기법
0.999...=1
무리수
귀류법
실수의 연속성공리
실수와 0.999…
음수
허수
수란 무엇인가?

2장 무한
무한
제논의 역설
실무한과 가무한
무한각형
구분구적법
적분
미분
미분유도
엄밀함
극한
엡실론-델타 논법 (-)
극한의 안과 밖
극한의 한계
반토막
적분유도
적분의 한계 =4
적분의 계단
...표기법
0.999...≠ 1
무한을 품은 수체계

3장 무한집합
칸토어
1대1대응
전체는 부분과 같다
멱집합
칸토어의 정리
대각선수
1대1대응의 의문
자연수의 무한증식
〈칸토어의 정리〉의 의문
멱집합과 2진수
자연수와 대각선수
대각선수는 없다
길이1과 길이2는 같다

상상수학

4장 차원무한
선분의 넓이
전체는 부분보다 크다
길이 X 길이 = 넓이
길이와 넓이의 크기비교
코흐의 눈송이
나눗셈에 대한 해석
길이배수
미터법
차원무한
미적분의 결과값

5장 반복무한
수의 대상
모든 집합의 집합
끝없는 반복
자연수의 최대값
1+1+1+...
반복무한
수직선의 크기
두개의 직선
수직선
무한도형
발산하는 적분
반복무한과 극한
시에르핀스키 삼각형
반복무한과 차원무한
무한의 단위

6장 0
사라지는 정보
곱셈과 단위
숫자장난감
메타
메타수체계
메타0
무중력 공간과 저울
0의 역수
메타미지수
메타 적용시점
메타0과 미분유도
적분상수
메타0과 적분상수
덧셈의 항등원