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미국수학협회가 학부생에게 추천하는 기초 해석학 필독서

해석학은 미분적분학의 수학적 기초를 세우며 발전한 학문으로, 수학의 전 분야에 영향을 끼치고 있다. 더불어 물리ㆍ공학ㆍ경제 등 함수를 깊게 다루는 분야에서도 해석학을 다루고 있어, 해석학은 다양한 분야에서 의미를 가진다고 할 수 있다. 그러나 이제 막 ‘진정한’ 수학 공부를 시작한 해석학 초심자를 맞이하는 첫 관문은 그리 호락호락하지 않다. 미분적분학에서 당연하다고 생각했던 극한 개념부터 다시 정의하니 쩔쩔매기 일쑤다. 기존 해석학 교재가 아직도 어려워서 고민이라면, 〈해석학 첫걸음〉으로 시작해보자.

〈해석학 첫걸음〉(원제 : Understanding Analysis, 2nd edition)은 한 학기용 일변수 해석학 교재이며, 초판과 2판 모두 해외 독자들에게 큰 호평을 받고 있다. 초판에서는 ‘이 책에 설명이 너무 잘 되어 있어 위험한 책이다.’라고 소개할 정도로 해석학 초심자에게 왜 해석학을 공부해야 하는 이유를 명확하게 제시한다. 또한, 미국수학협회(Mathematical Association of America, MAA)에서 학부생에게 추천하는 해석학 교재이기도 하다.

여러분은 이 책을 통해 해석학은 단지 미분적분학을 정교하게 고친 학문이 아님을 알 수 있을 것이다. 미분적분학에서 배운 증명이 왜 엄밀하지 않았는지 살펴보자. 실수가 얼마나 복잡한지, 다양한 수렴 조건이 얼마나 미묘한 차이를 담고 있는지, 무한의 역설 뒤에 숨은 지적 희열이 무엇인지 느낄 수 있다.

해석학을 공부해야 하는 이유를 알고 싶다면 이 책을 펼쳐보자. 직관과 논증을 오가며 해석학이 완성되는 신비로운 경험을 할 수 있다. 일변수 해석학에서 꼭 다루어야 하는 필수 주제만 엄선하여 초심자에게 건네는 따스한 손길을 마주 잡아보자.

* 본 도서는 대학 강의용 교재로 개발되었으므로 연습문제 해답은 제공하지 않습니다.

지은이 머리말
미리보기

1장 실수계
1.1 √2는 무리수인가?
1.2 수학 기초
연습문제
1.3 완비성 공리
연습문제
1.4 완비성 공리의 따름정리
연습문제
1.5 기수
연습문제
1.6 칸토어 정리
1.7 마치며

2장 수열과 급수
2.1 무한급수는 재배열 가능한가?
2.2 수열의 극한
연습문제
2.3 극한에 대한 정리
연습문제
2.4 단조수렴정리와 무한급수 맛보기
연습문제
2.5 부분수열과 볼차노-바이어슈트라스 정리
연습문제
2.6 코시 수렴 판정법
연습문제
2.7 무한급수의 성질
연습문제
2.8 이중급수와 무한급수의 곱
2.9 마치며

3장 실수의 위상적 성질
3.1 칸토어 집합
3.2 열린 집합과 닫힌 집합
연습문제
3.3 콤팩트 집합
연습문제
3.4 완전집합과 연결집합
연습문제
3.5 베르 정리
3.6 마치며

4장 함수의 극한과 연속
4.1 디리클레 함수와 토메 함수
4.2 함수의 극한
연습문제
4.3 연속함수
연습문제
4.4 콤팩트 집합에서 정의된 연속함수
연습문제
4.5 사잇값 정리
연습문제
4.6 불연속점 집합
4.7 마치며

5장 도함수
5.1 도함수는 연속인가?
5.2 도함수와 사잇값 성질
연습문제
5.3 평균값 정리
연습문제
5.4 연속이지만 모든 곳에서 미분불가능한 함수
5.5 마치며

6장 함수열과 함수급수
6.1 멱급수의 거듭제곱
6.2 함수열의 고른 수렴
연습문제
6.3 고른 수렴과 미분
연습문제
6.4 함수급수
연습문제
6.5 멱급수
연습문제
6.6 테일러 급수
연습문제
6.7 바이어슈트라스 근사 정리
6.8 마치며

7장 리만 적분
7.1 적분은 어떻게 정의되는가?
7.2 리만 적분
연습문제
7.3 불연속점이 있는 함수의 적분
연습문제
7.4 적분의 성질
연습문제
7.5 미분적분학의 기본정리
연습문제
7.6 리만 적분가능성에 대한 르베그 판정법
7.7 마치며

8장 한 걸음 더
8.1 일반화된 리만 적분
8.2 거리공간과 베르 범주 정리
8.3 오일러 합
8.4 팩토리얼 함수 만들기
8.5 푸리에 급수
8.6 유리수를 사용해서 실수 만들기

참고문헌
찾아보기