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가장 효율적이고 아름다운 인류 지성의 결정체, 수학.
수학의 언어인 수는 어떻게 문명을 진화시켰는가?
수의 역사가 알려 주는 수학의 본질!

“수학의 기본이라고 할 수 있는 수의 역사에 관한 ‘맥락’을 짚고 있는 책이다. 인류의 문명이 발전한 과정을 이해하고 싶다면 이 책을 반드시 읽기 바란다.” _이광연(한서대 교육대학원 교수, 『수학, 인문으로 수를 읽다』 저자)
“수학이 우리의 일상 깊은 곳으로 들어오는 것에 대비해서 수의 개념을 이해하기 위해 꼭 읽어야 할 책입니다.” _서일홍(국제전기전자공학회 석학회원, 한국공학한림원 정회원)
“단순히 수학을 계산하기보다는 그 과정을 깊이 있게 이해하고 싶은 사람들에게 더욱 이 책을 추천한다.” _신정훈(해태제과 대표이사)
“수학보다 중요한 것은 수학을 이루는 수의 개념을 명확히 아는 것이다. 그런 면에서 수의 역사를 다룬 이 책은 수학의 본질을 제대로 파악하였다.” _권지은(하나고등학교 수학 교사)

아침에 눈 뜨자마자 보는 시계, 출퇴근 준비를 위해 보는 일기예보, 버스와 지하철의 노선 번호, 점심 메뉴의 가격표, 개수를 말할 때 쓰는 기수(基數), 우편물이나 택배를 보낼 때 쓰는 주소와 우편번호 등, 우리가 의식하고 보진 않지만 우리 주변에는 ‘수’로 이뤄진 것들투성이다. 수는 언제부터 우리가 ‘수’라고 인식하지 못할 만큼 자연스럽게 우리의 일상에 녹아들었을까? 그리고 우리는 왜 수를 다루는 학문인 수학은 그렇게 어려워하는 것일까?
역사적으로 보면 수는 우리를 ‘귀찮게 하기 위해’ 태어난 것이 아니라, 철저히 ‘생존’과 ‘필요’, ‘쓸모’에 의해 만들어졌다. 『수학을 배워서 어디에 쓰지?』는 이런 수의 역사에 집중하여 사람들에게 필요한 것이 무엇인지 설명해 준다. 자연수, 허수, 무리수, 지수, 로그 등 수의 탄생 배경을 소개하면서 각각의 수가 필요한 이유를 보여 주고, 발전 과정을 소개하면서 그 수가 어떤 의미를 갖는지 알려 준다. 두 자릿수의 연산, 지수와 로그의 사용, 허수의 활용 등의 과정을 통해 수를 이용해서 연산하는 것을 수학이라고 정의하고, 수학이야말로 일상의 온갖 귀찮음을 해결하기 위한 효과적인 수단임을 설명한다. 또 다양한 연산 과정을 보여 주면서 수의 의미가 갖는 중요성을 강조하고, 현대의 수의 쓸모를 보여 주면서 일상에 스며든 수의 면면을 볼 수 있게 해 준다.

“수학 저리 가!”, “수학? 안물안궁!”
세상 쉽고 재미있는 진짜 수학 이야기!

많은 사람들이 수학을 어려워하고, 배워도 쓸모없는 학문이라고 생각한다. 다른 학문보다 유난히 수학을 어려워하는 이유는 무엇일까? 왜 수학은 쓸모없다고 생각하는 것일까? 이런 편견에는 수학이 일상에 쓰이지 않고 어려운 문제 풀이로만 활용된다는 것이 큰 영향을 미친다. 어려운 문제 풀이로 성적을 매기는 것에 집중하니 개념을 명확히 알고 있는지를 따질 여유를 갖지 못한다. 따라서 대부분은 명확한 개념은 모른 채 모호한 상태에서 문제를 풀게 되고, 개념이 확실하게 잡혀 있지 않기 때문에 수학을 어렵게 느끼는 것이다.
그러나 사실 수학의 근본은 이런 어려운 문제 풀이에 있지 않다. 일상에서 접하는 다양한 문제들을 해결하는 것에 그 근본을 두고 있다. 내가 가진 양을 간편하게 기록하기 위해 수를 발명했고, 새로 생기거나 없어진 양을 표시하기 위해 수학을 발명했다. 비단 자연수에 한정되는 것이 아니다. 나누기 위한 분수와 작은 수를 위한 소수, 너무 작거나 큰 수를 표시하기 귀찮아 만든 지수와 지수의 연산을 쉽게 하기 위한 로그까지, 모든 수는 필요에 의해 만들어졌으며 수학은 이 수를 더 잘 활용하기 위해 만든 학문일 뿐이다.
사실 수의 개념을 명확히 한다면 수학은 어렵지 않다. 저자는 이 점에 집중했다. 학생들을 가르치면서 수학을 어려워하는 이유를 파악했고, 어떻게 하면 쉽게 가르칠 수 있는지 생각했다. 그 결과 수학을 이루는 기본 단위인 수의 개념을 명확히 알기 위해 수의 역사를 살펴봤다. 수의 탄생과 진화를 살펴보고, 현재의 쓰임을 설명하며 수가 갖는 의미를 명확히 보여 준다. 그리고 수의 의미를 활용한 수학이 왜 우리에게 필요한지를 설명한다.

수를 모르면 수학을 알 수 없다!
수의 개념을 명확히 함으로써 수학의 본질을 깨닫는다!

수학은 수로 이루어진 학문이다. 국어로 따지면 자음과 모음에 해당하는 것이 수인 것이다. 자음과 모음을 모르고 국어를 배울 수 없듯, 수를 제대로 모르면 수학을 정확히 알 수 없다. 또한 ㄱ, ㄴ, ㄷ, …, ㅎ과 ㅏ, ㅑ, ㅓ, …, ㅣ가 있는 걸 아는 것이 아무 의미가 없듯, 각각이 어떤 역할과 의미를 갖는지를 아는 것이 중요하다.
‘없음’을 의미하는 0을 예로 들어 보자. 문명의 초기에, ‘없음’은 빈칸이었다. 이후 큰 수를 나타내는 과정에서 빈칸이 주는 혼란을 피하기 위해 0이라는 ‘표기법’을 도입했다. 단순한 표기였던 0은 연산에 쓰이면서 수로 받아들여졌다. 0이 표기법에서 수로 변하면서 0의 ‘없음’이라는 성질은 ‘시작’으로 바뀌어 활용되었고, 없음의 뜻은 방정식을 해결하는 데 쓰이게 된다. 여기서 끝날 줄 알았던 0은 음수를 만나 한 번 더 변화를 겪는다. 0보다 큰 자연수와 있을 때는 ‘수의 시작’이었던 0이 0보다 작은 수와 만나 하나의 ‘기준’이 된 것이다. 현재 0은 남은 게 없을 때, 0시부터 시작하는 하루를 표시할 때, 이전과 비교하여 수치의 변화를 살필 때 등 세 가지 의미가 모두 사용되고 있다.
지수도 마찬가지이다. 지수는 ‘같은 수가 몇 번 곱해졌는지를 보여 주는 수’이다. 즉, 큰 수를 표기하기 위해 만들게 된 것이다. 그런데 지수를 사용하다 보니 독특한 성질이 발견되었고, 이에 따라 지수의 정의는 확장된다. 음수와 유리수가 지수 자리에 오면서 지수는 단지 큰 수뿐만이 아니라 작은 수와 무리수를 나타낼 때에도 사용하게 된 것이다. 그뿐만이 아니다. 지수의 정의인 ‘곱하는 횟수’를 활용하면 함수에 지수를 도입해 ‘점진적으로 증가’하는 경향이 아닌 ‘급격하게 증가’하는 경향을 해석할 수 있다. 이렇듯 지수라는 수의 정의를 명확히 아는 것만으로도 수학을 활용해 다양한 현상을 해석할 수 있게 된다.
저자의 풍부한 수학 교육 경험과 인류사에 대한 해박한 지식이 돋보이는 이 책 『수학을 배워서 어디에 쓰지?』는 우리가 갖고 있는 수학에 대한 편견을 지워 주며, 수가 우리 일상의 얼마나 많은 부분을 차지하고 있는지 알려 준다. 수의 탄생과 진화 과정을 보여 주면서 여러 가지 수의 개념을 명확히 알게 하고, 어떤 이유로 우리가 수를 다루는 학문인 수학을 배우고 있는지 알 수 있다.
수학은 괴짜들의 자기만족으로 만들어진 것이 아니다. 인류가 필요에 의해 만들어 온 가장 효율적이고 아름다운 철학의 결정체이다. 이 책은 교양으로서, 수학 공부의 마중물로서 반드시 읽어야 할 책이 될 것이다.

추천사 “인류의 문명은 수와 함께 진화했다.”
서문

Chapter 1. 양을 보여 주다
양에서 양으로의 전달
셀 수 있는 양의 표식
셀 수 없는 양의 표식
일정한 기준으로 이뤄진 표식의 통일
발전하는 표식
Chapter 2. 양을 묶다
메소포타미아의 점토 표식
묶거나 뭉쳐서 만든 더 큰 양의 표식
60진법과 새로운 표식
크기와 분리하여 양을 표시하기
그림 표식의 탄생
Chapter 3. 수를 쓰다
실물 표식에서 그림 표식으로의 전환
이집트 숫자
로마 숫자
이집트 신관숫자와 고대 그리스 숫자
바빌로니아의 새로운 기수법
위치로 결정되는 숫자의 양
묶음과 진법의 차이
마야의 20진법
중국의 10진법
인도-아라비아의 10진법
Chapter 4. 수를 말하다
자주 쓰는 말은 규칙을 따르지 않는다
수를 말하는 규칙
중국어로 수를 말하는 규칙
한국어로 수를 말하는 규칙
영어로 수를 말하는 규칙
프랑어로 수를 말하는 규칙
수를 말하는 규칙 정리
Chapter 5. 수를 셈하다
덧셈에 관하여
뺄셈에 관하여
뺄셈을 쉽게 하는 아이디어
곱셈에 관하여
묶음과 진법을 이용한 곱셈 방식
교환법칙을 이용한 곱셈 방식
곱셈표를 이용한 곱셈 방식
곱셈을 쉽게 하는 아이디어
덧셈과 곱셈의 검산
나눗셈에 관하여
10진법을 이용한 나눗셈 알고리즘
Chapter 6. 하나를 자르다
문명 초기의 분수 표기법
이집트 분수 표기법
분자가 1이 아닌 분수를 표기하는 법
린드 파피루스의 분수 변환표
분수의 계산
분수의 덧셈
중국의 분수
최소공배수를 이용한 분수의 덧셈
분수의 곱셈
분수의 나눗셈
피보나치의 단위분수 변환
이집트 문명의 최적 알고리즘
Chapter 7. 수를 비교하다
탈레스와 피라미드
유클리드의 비와 비례
피타고라스의 8음계
비 되돌리기
비율의 대표선수, 확률과 백분율
비례배분
Chapter 8. 소수를 보다
자명약수와 고유약수
완전수, 과잉수, 부족수
약수에서 소수로
소수의 빈도와 무한성
유클리드에서 가우스까지 소수에 대한 연구
1의 소수성
Chapter 9. 없음을 보다
표현하지 않은 ‘없음’
없음을 뜻하는 기호
없음에서 시작으로
없음이 아닌 ‘0개’
0의 계산
아랍과 유럽의 0
수학에 들어온 0
Chapter 10. 음수를 보다
음수에 대한 말, 말, 말
음수에 대한 최초의 기록
음수를 이해하려고 노력한 수학자들
음수의 덧셈과 뺄셈
셈돌을 이용한 음수의 덧셈과 뺄셈
정수
유리수
0을 기준점으로 만든 음수
Chapter 11. 미지수를 보다
문자 없이 미지수 구하기
최초의 미지수, 아하
미지수의 일반적인 해법을 선보인 알콰리즈미
연산의 기호화와 미지수의 문자화
비에트, 기지수를 문자화하다
등식의 성질
방정과 방정식
정사각형의 면적을 이용한 이차방정식의 해법
인수분해를 이용한 이차방정식의 해법
삼차방정식과 사차방정식
Chapter 12. 유리수의 빈틈을 보다
정사각형의 대각선의 길이를 구한 바빌로니아 문명
바빌로니아 문명의 발견과 피타고라스 정리
피타고라스의 침묵
‘수’의 자격을 잃은 셀 수 없는 양
다시 수가 된 셀 수 없는 양
유리수와 무리수의 농도 차이
Chapter 13. 수의 차원을 넓히다
모든 수가 상상의 수다
제곱해서 음수가 되는 수를 최초로 인정한 카르다노
최초로 음수의 제곱근을 계산한 봄벨리
음수의 제곱근을 기호화한 오일러
i는 정말 실수가 아닐까?
허수는 어디에 있을까?
베셀의 곱셈 원리의 적용
실수 함수와 복소 함수
허수 시간
Chapter 14. 소수를 보다
바빌로니아 문명의 소수표기법
10진소수법을 만든 시몬 스테빈
분수의 분모를 10의 거듭제곱 꼴로 바꾸는 법
소수표기법
유한소수와 무한소수, 그리고 무리수
1=0.999…
소수의 가치
Chapter 15. 수를 만들다
함수(函數)라는 말의 어원
함수의 흔적
함수의 수식화
함수의 시각화
함수의 정의
그래서 잃은 것
Chapter 16. 지수를 보다
지수의 개념
지수의 어원
지수 표기법
지수의 연산
유리수 지수
지수함수의 개형
지수함수의 쓸모
Chapter 17. 로그를 보다
로그의 뜻과 어원
폭풍우가 맺어 준 인연
브리그스의 상용로그
로그자
로그의 기호화
로그값이 반드시 존재하기 위한 조건
로그함수의 가치

후기
Note
참고문헌

… 인류는 개수, 거리, 크기 같은 양적 개념을 수만 년 동안 ‘수’로 인식하지 못했다. 그렇다고 해서 인류가 어느 날 갑자기 수를 깨달은 것은 절대로 아니다. 셀 수 있는 양과 셀 수 없는 양을 비교하고 전달하고 기록하는 과정에서 수많은 작은 도약이 있었고, 그것이 쌓이고 쌓여서 마침내 ‘수’라는 개념을 보게 된 것이다. … (pp.20~21)

… 이 발상은 수의 역사에서 가장 중요한 사건 중에 하나다. 이것은 인류가 양을 크기와 분리하면서 양을 양으로서만 인식했던 한계를 넘었다는 것을 의미하기 때문이다. … (p.45)

… 이처럼 큰 수를 말하기 위해서는 더하는 규칙만으로는 한계가 있다. 이런 불편함을 해소하기 위해서 ‘곱하는 규칙’이 새롭게 추가되었을 것이다. 예를 들어 중국의 수단어인 ‘십만(十萬)’은 ‘십(10)×만(10000)’을 표시하고, 영어의 수단어인 ten thousand도 ‘ten(10)×thousand(1000)’을 의미한다. … (p. 89)

… 이제 남은 빵 2개를 잘라서 3명이 나누어 가져야 한다. 예나 지금이나 애매하게 남은 것을 분배하는 것은 어려운 일이다. 누군가가 받지 않고 포기하겠다면 쉽게 끝나는 일이지만, 그렇지 않은 경우에는 공평한 분배가 필요하다. 옛날 사람들도 같은 문제를 겪고, 새로운 방법으로 이 문제를 해결했다. 이른바 분수의 탄생이다. (p.156)

… 두 양 또는 두 수의 관계를 나타내던 비는 사칙연산이 가능한 분수를 만나 비율을 의미하게 되었고, 수로 인정받았다. 여기에 백분율이 실용성을 부여하면서 비율은 현대 사회에서 굉장한 위치를 차지하고 있다. 설문조사, 상승률, 구매율 등 수치로 표현할 수 있는 것들을 대부분 비율로 표현할 정도이다. (p.214)


… 남은 빵을 잘라서 분배하는 과정에서 분수가 만들어졌고 빵을 남김없이 나누는 과정에서 약수를 보았다. … 그런데 약수를 들여다볼수록 수학자들의 주의를 끄는 ‘수’가 있었다. 그것은 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수, 이른바 소수였다. … 역설적으로 소수의 규칙성을 알지 못하는 것이 지금 소수의 거의 유일한 쓸모가 되었다. … (pp.216~217)

… 그저 ‘자리가 비어 있다’는 기호에 불과하던 0이 당당히 ‘수’로서 인정받아 0으로 나누는 것을 제외한 연산이 가능해졌다. 이제 0은 등식의 한쪽을 책임질 수도 있고 1과 협력하면 세상의 모든 지식을 담을 수도 있게 되었다. 하지만 여전히 0으로 나누는 것만은 문제가 되고 있다. (p. 254)

… 하지만 0도 음수로 인해서 새로운 지위를 얻게 되었다. 음수가 없으면 0은 시작점일 뿐이다. 그 지위조차도 1과 싸우고 있지만 말이다. 음수가 ‘수’로서 인정받게 되자 0은 시작점에서 기준점으로 그 지위가 바뀌었다. … (p.273)

… 무리수는 수였다가 수가 아니었다가 다시 수가 되는 등 우여곡절을 많이 겪은 수이다. 더욱이 이제는 유리수가 특이한 수이고 무리수가 실수의 거의 대부분이라는 것까지 알게 되었다. 그런데 놀라기에는 아직 이르다. 우리가 수의 전부라고 알고 있는 실수마저 수의 아주 작은 일부에 불과했기 때문이다. 이른바 허수라고 불리는 차원수는 실수와 다른 차원의 수이다. … (p.335)

… 그런데 역사상 가장 위대한 수학자 중의 한 명인 레온하르트 오일러가 제곱해서 음수가 되는 수의 기호로 데카르트가 말한 imaginary의 ‘?’를 사용함으로써 데카르트의 말이 지금까지 살아남는 데 절대적으로 기여했다. 역사상 가장 위대한 또 한 명의 수학자인 가우스는 사람들이 허수를 제대로 이해하지 못하게 된 데에는 ‘상상의 수’라는 이름도 한몫했다고 말할 정도로 ‘상상의 수’라는 이름을 못마땅해했다. … (p.345)

… 당시 스테빈은 이자를 계산하는 일을 하였다. 당시 모든 이자율을 단위분수(분자가 1인 분수)로 사용했는데 분모가 10인 아닌 단위분수는 계산이 복잡하고 불편하였다. 그는 분모가 10의 거듭제곱 꼴이 아닌 분수의 분모를 10의 거듭제곱 꼴로 변형해서 사용했다. … (p.370)

… 이렇게 개념과 용어를 지나치게 엄밀하게 정의하면, 그 생생함과 구체성이 사라지고 추상화된다. 라이프니츠의 제자들이나 코시의 함수 조건에는 입력 변수와 출력 변수를 이어 주는 수식이 반드시 필요했지만, 디리클레의 함수 조건에는 두 변수를 이어 주는 화살표만 남았다.
이렇듯 일단 추상화되면 누구나 그렇다고 인정할 수밖에 없는 뼈대만 남는다. 이는 마치 우리가 얼굴 엑스레이 사진을 보고 그 사람의 얼굴을 유추하는 것과 같다. 함수를 배우는 학생들이 함수를 어려워하는 이유이다. … (p.401)

… ‘-’ 기호가 덧셈의 횟수를 의미하는 것처럼 지수는 곱셈의 횟수를 지시한다. 예를 들어 2를 7번 곱하라는 지시를 내리기 위해서 2를 7번, ‘-’ 기호를 6번 쓸 필요 없이 다음과 같이 2의 오른쪽 어깨에 7을 작게 쓰는 것으로 같은 명령을 내릴 수 있다. … (p.406)

… 네이피어의 로그표는 단순하지만 자릿수가 길어서 시간이 많이 걸리는 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 간단히 풀 수 있도록 해 주었다. 라플라스(Pierre-Simon, marquis de Laplace, 1749~1827)가 “로그는 천문학자의 수명을 2배로 늘렸다.”라고 말했을 정도로 로그는 복잡한 수에 대한 계산의 효율성을 높였다. … (p.425)