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양자 컴퓨터를 위한 수학 : 수학으로 이해하는 양자 컴퓨터[양장/초판]

원제 : Mathematics of Quantum Computing
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책소개

양자 컴퓨팅의 원론적인 내용을 수학적인 형식으로 설명한다. 양자 컴퓨팅을 처음 접하는 물리학과, 수학과, 컴퓨터공학과의 학생을 위한 핵심 교재(또는 보조 교재)로 염두에 두고 만든 책이다. 양자역학에 필요한 기본적인 수학을 소개하는 것을 시작으로, 양자역학의 구체적이고 상세한 개념과 얽힘, 양자 게이트, 양자 알고리즘을 설명하고 증명한다. 마지막으로 학생들이 풀어볼 수 있는 모든 주제에 관한 140여 개의 연습 문제를 제공한다.

출판사 서평

양자 컴퓨팅의 원론적인 내용을 수학적으로 설명한다. 두 가지 예외를 제외하고 책에서 언급한 모든 결과의 증명을 담았다. 내용을 이해하기 위한 다른 참고문헌이 필요 없으므로 혼자 공부하는 독자에게 적합하다.
고급 대학 수학 지식이 있는 물리학, 수학 또는 컴퓨터 과학 학생 그리고 비슷한 수학 지식이 있는 분들이 양자 컴퓨팅에 관한 논문을 읽고 내용을 소화하는 것을 목표로 하여 설명 수준을 정했다.
내용에 대한 동기부여나 설명, 그 후에 정의, 보조정리, 명제 또는 정리하고 증명하는 순서를 반복하는 방식으로 진행한다. 종종 주요 결과는 여러 개의 보조정리를 준비한 후 주요 정리에서 서술한다. 비슷하게 여러 결론이 주요 정리의 따름 정리로 제시될 것이다. 많은 연습용 문제들이 책의 논리적 흐름에 중요한 부분을 차지한다. 해답이 부록으로 제공되지만, 내용 이해를 위해 문제를 직접 풀어 보는 것이 좋다.


★ 이 책의 구성 ★

우선 양자역학에 필요한 힐베르트 공간(Hilbert Space)과 연산자에 관한 수학적 지식은 양자역학의 기본 원리(일명 공준)와 함께 2장에서 서술한다. 수론(Number theory) 또는 군론(Group theory)같이 다른 분야의 내용 중 필요한 것은 부록에 따로 모아서 정리한다. 그 밖의 것들은 필요할 때마다 증명하는 방식(proofs-you-go approach)을 따른다. 즉 일련의 증명을 요구하는 결과가 필요할 때, 그때그때 증명한다.

2장에서는 양자역학의 수학적 형식(mathematical formalism)에 대한 간단한 소개로 시작한다. 이는 양자역학의 이해에 필요한 수학 지식을 전달한다.
3장에서는 텐서곱(tensor products)을 이용해 2개 이상의 입자(particle)를 기술한다.
4장에서는 얽힘(entanglement)을 자세히 설명한다.
5장에서는 양자 게이트와 회로에 관해 설명한다.
6장은 다시 얽힘에 관해서 설명한다. 얽힘이 얼마나 유용한지에 대한 몇 가지 유명한 예를 든다. 이것은 양자역학의 고유한 특성으로 고전 비트로는 만들 수 없는 효과를 가능케 한다.
7장에서 오류 정정의 기본 개념을 소개한다.
8장에서 단열 양자 컴퓨팅(Adiabatic Quantum Computing)에 대해 상세하게 설명한다.

때때로 명제를 증명하기 위해 사용하는 보조 결과들이 다소 긴 증명을 요구할 때가 있다. 증명의 내용이 길거나 관련된 여러 결과를 한곳에 모으는 것이 좋아 보일 때, 설명의 흐름을 방해하지 않기 위해 관련된 내용을 부록으로 따로 모아 서술한다.
부록 A에서는 확률론의 정의를 모았다.
부록 B에 소개한 알고리즘은 누구나 알고 있는 덧셈과 뺄셈의 이진법 버전의 형식화다.
부록 C에서는 란다우(Landau) 표기법에 관해 설명한다.
부록 D에서는 암호와 인수분해의 설명에 필요한 모듈라(나머지) 연산을 정의하고 증명한다.
부록 E에서 연분수(continued fraction)을 설명한다.
부록 F에는 군론의 핵심을 설명한다. 이는 6.6절의 숨은 부분군 문제와 7.3.3절의 양자 오류 정정을 위한 안정기 형식과 같은 양자 알고리즘을 서술하는 데 필요하다.
부록 G에는 역핵 연산자(resolvent operator)를 사용해 양자 단열 이론을 엄밀하게 증명한다. 이 결과는 8장의 단열 방법을 분석하는 데 사용한다.
부록 G.3절에 이어서 마지막으로 모든 연습용 문제에 대한 해답을 제시한다. 하지만 독자 스스로가 문제를 풀어 보려고 노력하는 것이 좋다. 이런 시도가 실패하더라도 향후 학습 과정에 많은 도움이 된다.

★ 옮긴이의 말 ★

대학교 1학년 겨울방학에 게어리 주커브의 『춤추는 물리』와 프리초프 카프라의 『현대 물리학과 동양사상』을 읽고 양자물리를 알게 됐다. 요즘은 얽힘이라고 일컫는 EPR 모순을 알고 나서 양자역학의 기이함에 놀랐다. 그 후 다른 전공을 선택해 한참 동안 잊고 지내다 최근 이슈가 되고 있는 양자 컴퓨터를 통해 다시 만났다.
2019년 10월 구글이 시카모어 칩으로 양자 우위를 달성했다는 소식으로 양자 컴퓨터에 관한 관심이 고조됐다. 역자 또한 지금 사용하고 있는 파생 상품 평가 시스템을 양자 컴퓨터로 바꾸겠다는 목표를 가지고 양자 컴퓨터를 공부했다. 중첩, 간섭, 얽힘으로 대표되며, 아무도 이해하지 못하는 양자물리를 이용해 인간에게 유용한 계산을 할 수 있는 컴퓨터를 만든다는 것은 매우 놀라운 일이었다.
역자는 학부에서 수학을 전공한 뒤 기계공학과 금융공학 일을 했다. ‘견지망월(見指忘月)’이라는 말이 있듯이 수학에 얽매이지 말고 수식이 의미하는 실상을 고민해야 한다는 생각을 항상 가졌다. 하지만 양자 컴퓨터를 공부하면서 생각이 바뀌었다. 양자물리 현상은 직관으로 도저히 이해할 수 없는 현상이므로 수학의 도움을 받아 형식 논리로 접근하는 것이 더 좋은 방법이다. 수학의 역할은 운전자를 돕는 내비게이션과 같은 것이다.
일반적으로 양자역학을 수학적으로 형식화하기 위해서는 대학원 과정의 수학 이론이 필요하다. 다행히 양자 컴퓨터에 사용하는 양자역학 이론은 쉬운 부분으로 학부 과정의 수학 이론이면 충분하다. 그동안 양자 컴퓨터에 관한 책이 더러 발간되기는 했지만 대부분 이를 소개하는 정도이며 수학적인 증명을 자세하게 설명하는 책이 없었다.
이 책은 학부 과정의 수학을 이용해 양자 컴퓨터에 나오는 대부분의 양자역학과 양자 알고리즘을 상세하게 설명하고 있다. 필요로 하는 수학적 지식은 부록에서 따로 설명하고 있다. 그리고 연습 문제와 해답이 제공돼 수학적인 배경이 부족한 독자도 혼자서 공부하기에 적절하다. 양자 컴퓨터에 관해 좀 더 깊은 이해를 원하는 이들에게 많은 도움이 되기를 기대한다.

목차

1.1 간단한 역사
1.2 독자에게
1.3 이 책에서 다루지 않는 주제
____양자역학의 방법
____양자역학의 해석
____양자 컴퓨터의 물리적 구현
____복잡성 이론
____위상 양자 컴퓨터
1.4 표기와 참고문헌

2장. 양자역학의 기본 개념
2.1 일반론
2.2 수학 개념: 힐베르트 공간과 연사자
2.3 물리적 개념: 상태와 관찰량
2.3.1 순수 상태
2.3.2 혼합 상태
2.4 큐비트
2.5 큐비트의 연산자
2.6 읽을거리

3장. 텐서곱과 합성 시스템
3.1 큐비트 소개
3.2 힐베르트 공간의 텐서곱
3.2.1 정의
3.2.2 계산 기저
3.3 합성 시스템에서 상태와 관측 가능량
3.4 슈미트 분해
3.5 양자 연산
3.6 읽을거리

4장. 얽힘
4.1 들어가며
4.2 정의와 특성
4.3 얽힘 교환
4.4 아인슈타인, 포돌스키, 로젠 패러독스
4.5 벨 부등식
4.5.1 오리지널 벨 부등식
4.5.2 벨 부등식의 CHSH 일반화
4.6 불가능한 기계 두 개
4.6.1 벨 전화
4.6.2 완벽한 양자 복사기
4.7 읽을거리

5장. 양자 게이트, 회로, 기본 계산
5.1 고전 게이트
5.2 양자 게이트
5.2.1 단일 양자 게이트
5.2.2 이중 양자 게이트
5.2.3 일반 양자 게이트
5.3 양자 회로
5.4 양자 알고리즘의 프로세스
5.4.1 입력과 보조 레지스터의 준비
5.4.2 함수 구현과 양자 병렬성
5.4.3 출력 레지스터 읽기
5.5 기초 산술 연산을 위한 회로
5.5.1 양자 가산기
5.5.2 양자 N법 가산기
5.5.3 양자 N법 곱셈기
5.5.4 양자 N법 지수의 회로
5.5.5 양자 푸리에 변환
5.6 읽을거리

6장. 얽힘의 활용
6.1 초기 장래성: 도이치-조사 알고리즘
6.2 고밀도 양자 코딩
6.3 순간이동
6.4 양자 암호학
6.4.1 암호학에서 암호
6.4.2 얽힘 없는 양자 키 분배
6.4.3 얽힘을 이용한 양자 키 배포
6.4.4 RSA 공개 키 분배
6.5 쇼어 인수분해 알고리즘
6.5.1 들어가며
6.5.2 알고리즘
6.5.3 1단계: b의 선택과 gcd(b,N)의 계산
6.5.4 2단계: 양자 컴퓨터를 이용한 주기 결정
6.5.5 3단계: 적절한 b를 선택할 확률
6.5.6 단계들의 대차대조표
6.6 일반화: 아벨 숨은 부분군 문제
6.7 HSP로 이산 대수 찾기
6.8 비트코인 서명의 해독
6.9 그로버 탐색 알고리즘
6.9.1 객체의 개수가 알려진 경우의 탐색 알고리즘
6.9.2 객체의 개수가 알려지지 않은 경우의 탐색 알고리즘
6.10 읽을거리

7장. 오류 정정
7.1 오류의 원인
7.2 고전 오류 정정
7.3 양자 오류 정정
7.3.1 수정 가능한 오류
7.3.2 탐지와 정정
7.3.3 안정자의 형식화
7.4 읽을거리

8장. 단열 양자 계산
8.1 서론
8.2 시작점과 가정
8.3 일반 단열 알고리즘
8.4 단열 양자 탐색
8.5 단열 계산으로 회로 기반 계산의 복제
8.6 회로 기반 계산으로 단열 계산의 복제
8.7 읽을거리

9장. 나가면서

부록 A. 기초 확률론
부록 B. 산술 연산의 기초
부록 C. 란다우 기호
부록 D. 모듈러 연산
부록 E. 연분수
부록 F. 군론
부록 G. 양자 단열 정리의 증명

저자소개

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