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문제에 도전하고, 문제를 즐기며, 멋지게 해결하라!
옥스퍼드 대학의 입학면접관
포비 교수가 고른
세계 명문대학의 수학, 과학 입학시험 문제

수학 공부가 재미없는 이유를 따지자면 대학 진학을 위해 억지로 해서가 아닐까? 대학 입학이라는 부담을 버리고 수학능력시험의 수학 문제를 다시 들여다보면 생각보다 재미난 구석이 있을지 모를 일이다. 많은 나라의 대학 교수들이 종종 교과서 밖에서 독특한 문제들을 뽑아 지원자의 사고력과 응용력을 시험한다. 이런 문제들은 평범한 사람들도 골똘히 몰두하게 할 정도로 흥미롭다.
이 책은 옥스퍼드대학의 입학시험 문제를 출제하고 면접관으로 참여했던 포비 교수가 자신의 전공인 물리학과 수학 분야에서 실제 출제되었던 문제들 중 가장 좋아하는 것들을 예비 대학생 수준에 맞게 정리한 것이다. 호기심과 재미를 북돋우려고 만들어진 문제와 대학 입학시험에서 사용되는 표준적인 문제가 고루 섞여 있다. 보기에는 만만치 않지만 고등학교에서 기초를 튼튼히 닦은 학생들이라면 어렵지 않게 풀 수 있을 거라고 저자는 말한다. 무엇보다 세계적인 명문 대학의 입학시험 문제를 방구석에 앉아서 풀어볼 수 있다는 것만으로도 매력적이다.
책을 읽을 때는 틈나는 대로 아무 쪽이나 펼쳐 봐도 좋고, 기간을 정해 두고 집중적으로 탐구해도 좋다. 다만 문제 풀이의 즐거움을 잃지 않도록 난이도를 표시한 별의 개수는 참고하는 게 좋다. 별로 어렵지 않은 문제의 별 하나(★)부터 예외적으로 어려운 문제의 별 네 개(★★★★)에 이르는 등급 표시가 도움이 될 것이다.

퍼즐처럼 풀어보고
수학 개념을 다질 수 있는 문제들

세계적 명문 대학의 입학시험 문제라고 해서 어깨에 힘을 준 채 잔뜩 긴장할 필요는 없다. 해적이 남긴 지도로 보물찾기, 에메랄드 도둑을 찾는 명탐정 홈스의 추리, 달을 광고판으로 쓴다는 사업가의 계획, 호흡과 몸무게의 관계에 대한 의문 등 이 책에는 엉뚱하고 장난기 넘치는 문제들이 많다. 그리고 각 문제의 배경에는 각기 조합과 확률, 운동량 중심 좌표계, 중력장, 질량 유속 같은 개념이 담겨 있다.
하지만 그렇다고 문제가 쉽다는 건 아니다. ‘엄청나게 복잡하고 끔찍하게 재밌는 문제들’이라고 제목을 붙인 데는 이유가 있다. 고등학교 때 배운 수학개념을 잊었다면, 다시 교과서를 찾아봐야 할 수도 있다. 다 알았던 것들인데 하며 탄식하는 독자들도 분명 있을 것이다. 이 책의 첫 번째 문제를 풀어보자. “한 변의 길이가 단위길이(1)인 정육면체의 한 꼭짓점에서 개미가 출발한다. 개미가 시작점에서 가장 먼 꼭짓점까지 가기 위해 택할 수 있는 최단 거리를 계산하라. 이 문제의 풀이는 한 가지 이상 있다.” 정답은 책에서 살펴보자. 참고로 난이도는 별 하나다.
총 14장으로 구성된 이 책에서 각 장의 첫머리에는 그 장에 실린 문제들을 푸는 데 도움이 될 기초 지식이 정리되어 있다. 또한 갖가지 역사적인 사실과 연계된 문제를 풀어보는 것도 이 책이 주는 빼놓을 수 없는 즐거움이다. 아즈텍인들이 50톤이나 되는 돌을 끌고 오기 위해 몇 개의 굴림대를 썼을지 계산해보고, 고대 이집트에서 오벨리스크를 세우기 위해 필요한 힘의 최소값도 계산해보면서 배경이 되는 지식도 쌓을 수 있다.

실생활에서 찾아서
더욱 재밌는 문제들

비행기를 위험에 빠트리는 새, 물로 움직이는 케이블카, 수직 벽에서 벌어지는 자동차나 오토바이의 경주, 접이의자에 앉아 헬륨 풍선의 부력에 의지하는 비행…….
말도 안 되는 이야기 같지만, 이 책을 보면 이렇게 허구 같은 일이 모두 사실이다. 새가 비행기에 위협이 되는지부터 살펴보면, 정말로 그렇다. 영국 샌드 허톤에 근거지를 둔 중앙과학연구소 조류충돌방지팀에 따르면, 상업 비행기의 조류 충돌 위험에 따른 연간 수리 비용만 약 12억 달러고 조류 충돌 때문에 일어나는 사망 사고가 한 해 평균 10건이다. 영국 데번의 북부 해안에 120년이 넘도록 물로만 움직이는 케이블카가 있고, 수직 벽을 따라 도는 스턴트가 펼쳐지는 원통형 트랙은 1911년 미국 뉴욕에서 처음 등장한 뒤 영국과 인도 등 세계 곳곳으로 빠르게 퍼졌고, 헬륨 풍선을 타고 45분 동안 비행한 미국인에 대해서는 인터넷을 통해 쉽게 찾아볼 수 있다.
우리는 이런 믿기 힘든 일들이 어떻게 일어날 수 있는지 문제를 통해 알아보며 학문과 실제 생활이 결코 동떨어지지 않았다는 사실을 새삼 확인하게 된다. 한국은 어떤 문제에서 등장하는지도 찾아보자!

수학문제를 장난감처럼
다룰 수는 없을까?
수학교육에 대한 성찰

이 책이 수학과 과학 성적이 우수하거나 우수했던 사람들만을 위한 것이라고 오해하지 말길 바란다. 책에 소개된 저자의 어린 시절 일화를 보면, 지금 옥스퍼드대학의 교수인 그가 대입 시험을 치르는 학생일 때만 해도 뜻밖으로 복소수 기호()가 뭔지도 몰랐으며 옥스퍼드대학에 들어갈 수 있으리라고는 꿈도 꾸지 않았고 면접시험의 질문에도 오답을 많이 말했다.
하지만 대부분의 평범한 사람들과 저자에게도 남다른 점이 있었다. 어릴 때부터 그는 나무 오르기, 폭죽 만들기, 목공, 연날리기 등 자신이 흥미 있게 여기는 활동을 실컷 해보면서 컸다. 방과 후부터 밤늦게까지 학원을 전전하는 학생들의 모습이 익숙한 우리로서는 그야말로 먼 나라 이야기다.
저자가 어릴 때부터 하고 싶은 일을 하면서 부지불식간에 키운 창의력을 옥스퍼드 면접관들이 알아본 덕분일까? 동급생에 비해 실력이 형편없어 창피해하던 저자는 면접시험을 통과했고 지금은 옥스퍼드 대학생을 뽑는 면접관 자리에 있다. 그리고 당연하게도, 고등학교 시험과 대학 입학시험을 잘 보는 것보다는 수준 높은 공부를 위해 자기주도 공부법을 고무하는 것이 더 중요하다고 주장한다. 수학문제를 장난감처럼 생각하자는 저자의 말을 수학교육자와 학부모, 학생도 새겨볼만한다.

머리말 - 이상한 여정

1장 기하학
2장 수학
3장 정역학
4장 동역학과 충돌
5장 원운동
6장 단진동운동
7장 터무니없는 발명과 영구운동
8장 동역학
9장 전기
10장 중력
11장 광학
12장 열
13장 부력과 유체 정역학
14장 추정

후기

당신은 대학 입학시험을 위해 또는 대학에 들어간 뒤 생활을 위해 잘 준비시켜 주기를 바라면서 이 책을 읽고 있을지 모른다. 나는 이 책이 그 두 가지를 다 해 주기를 바란다. 하지만 강의 요강을 더 자세하게 다뤄서가 아니라, 흥미와 모험심을 가지고 더 어렵고 더 특이하고 더 자유로운 답이 가능한 문제들에 도전해 보라고 용기를 줘서 그러고 싶다. - 25쪽, 이상한 여정

“정말 비범하군, 홈스. 자네가 어떻게 그렇게 하는지 모르겠네, 정말 모르겠어.” 왓슨이 창밖을 살펴보더니 말한다.
“이건 기본적인 탄도학이야, 왓슨. 움직이는 물체가 같은 질량의 정지한 물체와 탄성충돌을 하면, 그 물체들은 항상 서로 직각으로 흩어진다네. 자네는 당구를 칠 때마다 이와 비슷한 걸 본다네. 하지만 자네가 알아채지 않는 쪽을 택했지.”
이제 홈스와 왓슨이 다루던 문제를 풀어 보자.
질량이 같은 물체들의 탄성충돌에서 그중 하나가 원래 정지 상태였다면, 물체들이 항상 서로 직각을 이루며 흩어진다는 것을 보이라. - 185쪽, 동역학과 충돌

대부분의 자극적인 쇼에서 자동차들이 트랙에서 경주하는 동안 곡예사들이 자동차와 오토바이 옆에서
곡예를 펼친다. 이런 공연을 담은 비디오가 많다. 죽음의 공은 이보다 더 짜릿하다. 이것은 오토바이가 강철 그물망으로 만들어진 구면 안을 돌면서 달리는 것이다. 죽음의 공 안에서 도는 오토바이 수의 최대 기록은 열 대로, 2010년 중국 곡예단의 공연에서 나왔다.
지름이 12m인 죽음의 벽을 도는 자동차를 생각하자. 자동차의 중력 중심은 벽에서 1m 떨어져 있고, 같은 차축에 있는 바퀴는 2m 떨어져 있다고 가정하자. 정지마찰계수가 다음과 같을 때 최소 속력을 계산하라. - 214쪽, 원운동

열에 관한 이 짧은 장에서는 입체의 열전달과 관련된 개념적인 문제들 그리고 시간에 따라 달라지는 또는 순간적인 열전달 문제들을 살펴본다. 이 문제들을 푸는 데는 열이 무엇이며 그것을 어떻게 저장하는지, 그리고 어떻게 열이 거시적 수준에서 입체에 영향을 미치는지 같은 기초적이고 직관적인 지식 정도만 필요할 것이다. 또 열이 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로, 즉 열 그래디언트의 맞은편으로 온도의 차이와 넓이에 비례하는 빠르기로 전달된다는 것을 알아야 한다. 그러나 문제를 보기 전에, 일반적으로 유용한 개념들에 대해 좀 더 공식적으로 서술하겠다. - 388쪽, 열