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수학 혁명을 일으킨 50가지 발견

숫자는 1에서 10까지 있는데, 왜 시계 숫자는 12까지 있을까? 또 왜 1분은 60초이며, 1년은 365일일까? 왜 컴퓨터는 0과 1만 사용할까? 이 질문과 다른 궁금증에 대한 대답이 이 명쾌한 가이드에 담겨 있다. 이 책은 50개의 위대한 수학적 발견을 통해 수학의 진화를 따라가고 있다. 이 책을 통해 고대에서부터 현재까지 우리 주위에 살아 숨 쉬고 있는 수학을 확인할 수 있을 것이다. 각각의 발견들은 우리가 어떻게 보편적 수학의 힘을 추구해 왔는지를 보여준다. 약간 어려울 수도 있지만 천재 수학자들이 발견한 위대한 수학을 만나보자!

모든 것을 증명하라!
천재 수학자들이 발견한 수학의 번뜩이는 아이디어들
이 책은 고대 그리스부터 오늘날까지 수학의 여러 하위 분야를 형성한 획기적인 발견에 대한 이야기가 담겨 있다. 주제가 정수든 무한이든, 미적분학이든 페르마의 마지막 정리든 역사를 통해서, 수학계에서 일어나는 사건으로 뛰어드는 이 여정에 흥미를 느끼고 감명 받을 것이다. 더불어 이런 발견을 하면서 수학을 진화시킨 천재 수학자들도 만날 수 있다.
숫자와 수학은 우리 주변 세계를 관찰하는 데서부터 출발했다. 예를 들어보면, 달의 주기를 측정하거나 산의 높이 혹은 평야의 면적을 알아야 할 필요가 있었다. 역사적으로 수학자들은 현실 세계를 관찰해서 추상적 수학의 개념을 이끌어내고 발전시켰다. 토끼는 피보나치가 수학 세계에서 가장 유명한 피보나치 수열을 만드는 데 영감을 주었다. 천장에 앉아 있는 파리는 데카르트가 데카르트 좌표계를 발명하는 데 큰 보탬이 되었다. 이렇게 주위에서 발견한 수학으로 일상은 더 편리해졌다.

거인의 어깨 위에 올라서서 보다
이 책은 고대 인류가 사용했던 숫자부터 시작해서 시대 순으로 차근차근 수학적 발견을 살펴보고 있다. 과거의 수학적 발견이 없었다면, 선구적인 수학자들이 새로운 것을 발견하지 못했을 것이기 때문이다. 피보나치가 없었다면 뉴턴과 라이프니츠가 미적분학에 도달하지 못했을 것이다. 미적분학이 없었다면 오일러와 가우스, 라그랑주와 파스칼 같은 수학자들의 업적은 불가능했을 것이다. 이 수학자들은 다시 후대의 갈루아와 푸앵카레, 튜링과 미르하자니 같은 근대 수학자들의 연구에 아주 중요한 역할을 했다. 이렇게 선대 수학자들의 업적을 이어받아 다시 후대에 영향을 끼친 수학자들은 끝없이 많다. 그리고 수학이 이렇게 과거의 업적을 토대로 발전하지 않았더라면 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것은 불가능했을 것이다. 아이작 뉴턴은 했던 말처럼 말이다. ‘내가 멀리 보았다면, 그것은 거인의 어깨 위에 올라 서 있었기 때문이다.’ 모든 수학적 발견은 과거에 발견된 수학적 토대 위에 쌓이고 점점 더 발전한다. 따라서 수학은 계속해서 발전해나갈 것이다.
지금은 컴퓨터의 발달로 수학자들은 컴퓨터를 이용해 무한히 많은 일을 할 수 있게 되었다. 단순히 복잡한 계산, 사람의 능력으로는 평생이 걸릴 시뮬레이션을 수행하는 것뿐만 아니라, 인터넷의 발전 등을 통해 멀리 떨어져서도 공동 연구가 가능해졌고, 속도는 이전과는 비교할 수 없을 정도로 빨라졌다. 또한 간단히 컴퓨터를 조작하면 계산할 수 있기 때문에, 순수 수학은 더욱 추상적이고 개념적이 되었다. 그러면서 수학은 점점 우리 일상에서 멀어지고 있다.
그렇지만 수학과 우리의 일상은 떼려야 뗄 수 없는 관계다. 주위를 살펴보면 엄청나게 많은 곳에 수학이 쓰이고 있다는 것을 알 수 있다. 그저 이것이 수학이라는 것을 우리가 느끼지 못할 뿐이다. 우리가 누리고 있는 일상이 어디에서부터 시작되었는지 차근차근 이 책을 통해 살펴보는 것도 즐거운 시간 여행이 될 것이다.

들어가며

CHAPTER 1 고대 수학의 발자취: BCE 20000 ~ 400년
이상고 뼈에는 무엇이 새겨져 있을까? - 고대 인류 우리는 왜 ‘10’까지 셀까? - 고대 인류
왜 1분은 60초일까? - 수메르인
원과 면적이 같은 정사각형을 만들 수 있을까? - 고대 이집트인과 그리스인
이집트식 분수란 무엇일까? - 고대 이집트인
증명이란 무엇일까? - 피타고라스
무한은 얼마나 클까? - 고대 그리스인

CHAPTER 2 문제와 해결: BCE 399 ~ CE 628년
논리가 필요한 사람은 누구일까? - 유클리드
얼마나 많은 소수가 존재할까? - 유클리드
파이란 무엇일까? - 아르키메데스
지구는 얼마나 클까? - 에라토스테네스
대수학의 아버지는 몇 살일까? - 디오판토스
아무것도 없다는 것은 무슨 의미일까? - 브라마굽타

CHAPTER 3 토끼와 현실: 629 ~ 1665년
숫자를 쓰지 않고 더할 수 있을까? - 알-콰리즈미
얼마나 많은 토끼가 있을까? - 피보나치
숫자는 실재해야 할까? - 라파엘 봄벨리
뼈로 어떻게 더하기를 할까? - 존 네이피어
통의 크기는 얼마나 될까? - 요하네스 케플러
데카르트 좌표계란 무엇일까? - 르네 데카르트
가능성이 얼마나 될까? - 블레즈 파스칼
찰나의 속도를 계산할 수 있을까? - 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠

CHAPTER 4 수학을 연결하다: 1666 ~ 1796년
오일러 숫자란 무엇일까? - 레온하르트 오일러
이 다리를 건널 수 있을까? - 레온하르트 오일러
짝수는 소수로 이루어져 있을까? - 크리스티안 골드바흐
유체의 흐름을 어떻게 계산할까? - 다니엘 베르누이
우주에서는 어디에 주차할 수 있을까? - 조세프 루이 라그랑주
개미는 자신이 공 위에 있다고 말할 수 있을까? - 칼 프리드리히 가우스

CHAPTER 5 인명 구조, 논리, 실험: 1797 ~ 1899년
파동이 어떻게 온실 효과를 일으킬까? - 장 바티스트 푸리에
진동은 왜 패턴을 만들까? - 마리 소피 제르맹
다른 해답이 존재할까? - 에바리스트 갈루아
기계가 표를 만들 수 있을까? - 찰스 배비지와 에이다 러브레이스
사고의 법칙은 무엇일까? - 조지 불
통계가 생명을 구할 수 있을까? - 플로렌스 나이팅게일
면과 모서리는 몇 개일까? - 아우구스트 뫼비우스와 요한 베네딕트 리스팅
어떤 원에 속할까? - 존 벤
왜 어떤 시스템은 카오스일까? - 앙리 푸앵카레

CHAPTER 6 인간의 사고와 우주: 1900 ~ 1949년
원숭이가 많으면 셰익스피어의 희곡을 쓸 수 있을까? - 에밀 보렐
에너지는 언제나 보존될까? - 에미 뇌터
택시캡 숫자는 따분한 숫자일까? - 스리니바사 라마누잔
이기기 위한 최선의 방법은 무엇일까? - 존 폰 노이만
그것은 완전할까? - 쿠르트 괴델
피드백 루프는 무엇일까? - 노버트 위너
정보를 전달하는 최고의 방법은 무엇일까? - 클로드 섀넌
전략을 수정해야 할까? - 존 내시

CHAPTER 7 현대 컴퓨터 시대: 1950년 ~
기계는 어떤 문제든 해결할 수 있을까? - 앨런 튜링
나비 한 마리가 어떻게 토네이도를 일으킬까? - 에드워드 로렌츠
다트와 연은 무엇을 덮을까? - 로저 펜로즈와 MC 에셔
페르마는 정말 증명했을까? - 앤드류 와일즈
어떻게 구부러져 있을까? - 마리암 미르자하니
스큐토이드란 무엇일까? - 페드로 고메즈 갈베즈 외

용어 설명
찾아보기

수메르인은 별을 관측해 1년이 365일이라는 사실을 밝혀냈다. 19세기 독일의 수학자 모리츠 칸토어(Moritz Cantor)는 수메르인이 1년을 360일로 내림했고, 360을 6으로 나누어 60진법을 사용했을 것이라고 생각했다(원을 6등분하는 것은 아주 쉽다). 칸토어의 주장은 확실히 설득력이 있다. 1년이 360일이면 아주 쉽게 한 달은 30일로, 1년은 12달로 나누어지며, 왜 원이 360도인지 설명해주기도 한다. 하지만 이건 단순한 추측에 불과하다.
_왜 1분은 60초일까?

피타고라스의 증명은 단순하다. 큰 정사각형 안에 각 꼭짓점이 큰 정사각형의 모든 변에 접하도록 작은 정사각형을 그린다. 그러면 큰 정사각형 안에는 직각삼각형 4개가 존재하게 된다. 작은 정사각형의 네 변은 각각 직각삼각형 4개의 빗변이 된다. 이 직각삼각형 4개에서 빗변의 길이가 같은 두 직각삼각형을 서로 짝지으면 직사각형 2개가 된다. 이 두 직사각형을 큰 정사각형 안에 넣으면 작은 정사각형 2개와 직사각형 2개를 얻을 수 있다. 직각삼각형의 넓이는 바뀌지 않았기 때문에, 처음 작은 정사각형의 넓이는 배열을 바꾼 후 얻은 작은 정사각형 2개의 넓이와 같아야 한다. 다시 말해서, 첫 번째 작은 정사각형은 빗변이고, 두 번째 배열에서 얻은 작은 정사각형은 각각 직각삼각형의 두 변이다. 따라서 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같아진다.
_증명이란 무엇일까?

파이는 지름이 1인 원의 둘레이고, 다른 말로 하면 임의의 원의 지름과 둘레의 비율인 원주율이다. 듣기에는 간단하지만 사실은 놀랄 정도로 알쏭달쏭한 숫자다. 파이의 값을 계산하기 위해 인류 역사상 가장 위대한 수학자들이 도전했지만 모두 실패했고, 현대 컴퓨터의 계산 능력으로도 정확한 파이의 값을 구하는 데 실패했다. 다행히도 현실적 문제를 처리하기 위해서는 파이의 근삿값이면 충분하다. 아주 오래 전부터 사람들은 파이의 값이 3보다 조금 크다는 사실을 알고 있었다. 다시 말해 원의 둘레의 길이는 지름의 3배보다 약간 크다. 약 4000년 전 유물인 바빌로니아의 점토판은 고대 바빌로니아인이 파이의 값을 25/8, 현대에 사용되는 근삿값인 3.142와 아주 근접한 3.125라고 생각했다는 것을 보여준다. 이와 비슷한 시기에 기록된 이집트의 린드 파피루스는 파이의 값을 16/9의 제곱인 256/81 혹은 3.16으로 사용했다는 것을 보여준다.
_파이란 무엇일까?

0은 특별하다. 어떤 경우 0은 숫자로 취급이 된다. 예를 들어, ‘대접에 사과가 몇 개 있을까?’ 하는 질문에 대답으로 ‘0개(혹은 없다)’라고 할 수 있다. 때로 0은 자리지킴이 역할을 한다. 숫자 203을 살펴보면 여기에서 0은 십의 자리에 아무것도 없다는 뜻으로 2와 3 사이에 있다. 만일 0이 자리지킴이로 두 숫자 사이에 없다면 203은 23이 될 것이다. 따라서 0은 10의 자리를 지키고 있다.
0은 -1과 1 사이의 정수(자연수)다. 0은 짝수인데, 2로 나누었을 때 나머지가 없기 때문이다. 0은 양수도 음수도 아니다. 0에어떤 수를 곱하든 0이 되기 때문에 0은 소수도 아니다. 답이 정의되어 있지 않기 때문에 어떤 정수든 0으로 나누는 것은 무의미하다.
_아무것도 없다는 것은 무슨 의미일까?