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[수학이 필요한 순간 + 다시, 수학이 필요한 순간] 패키지 (전2권)

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수학이 필요한 순간

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이상품의 분류

책소개

“결국 모든 삶은 수학적으로 사고할 수밖에 없습니다”

인간의 사고 능력과 우주에 대한 탐구를
현대 수학으로 풀어낸 7개의 강의

_세계적인 수학자 김민형 옥스퍼드대학 교수의 아름다운 명강의
_네이버커넥트재단, 카오스재단을 휩쓴 화제의 강의를 책으로 만나다

우리가 익숙하게 사용하는 연산, 매일 이야기하는 확률, 쉽게 그리는 좌표 등도 한때는 전문가들조차 이해할 수 없는 복잡한 이론이었다. 페르마, 뉴턴, 아인슈타인은 물론, 지금 잘 알지 못하는 현대 수학 이론들도 언젠가는 자연스럽게 떠올리는 상식이 될 것이다. 결국 인간은 ‘수학적 사고’를 하는 존재이기 때문이다.
한국인 최초 옥스퍼드 대학 정교수이자 세계적인 수학자 김민형 교수. 그가 인간의 사고 능력과 우주에 대한 탐구를 총 7개의 강의를 통해 풀어냈다. 《수학이 필요한 순간》은 현대 수학의 대가가 복잡하고 어려운 수학의 세계를 누구나 이해할 수 있는 상식적인 언어로 설명한 놀라운 작업이다. 이 책을 통해 우리는 인간이 우주를 이해하는 법도, 윤리적인 판단까지도 수학적 사고를 바탕으로 하고 있음을 깨닫게 된다. 더 깊게 생각하는 데서 오는 짜릿하고 매력적인 희열에 빠지게 될 것이다.

수학책에 쏟아진 유례없는 환호!
8만 베스트셀러 [수학이 필요한 순간]의 김민형 교수가 돌아왔다!

“지금 이 순간에도 인간의 사고는 수학으로 진화하고 있습니다.”
AI·빅데이터 시대를 돌파하는 수학적 사고의 힘!
자연과 세계, 사고의 본질을 탐구하는 한여름 밤의 위대한 수학 프로젝트!

실수나 등식이 없던 그리스 시대의 사람들과, 전염병의 감염 추이 그래프를 누구나 쉽게 이해하는 지금 우리의 사고법에는 어떤 차이가 있을까? 급변하는 21세기, 수학의 질문은 어떻게 세상을 거듭 진화시키고 있는가? 2018년 [수학이 필요한 순간]을 통해 단숨에 베스트셀러에 올라 바야흐로 ‘수학 교양서 시대’를 연 한국인 최초의 옥스퍼드대 수학과 교수, 김민형 교수가 2020년 8월 [다시, 수학이 필요한 순간]으로 독자들을 다시 찾아왔다. 이 책은 수학의 거장이 중학생부터 현직 수학교사, IT개발자, 미술작가 등 세대와 성별을 뛰어넘는 다양한 독자 7인과 교감하며 나눈 아홉 번의 세미나를 생생하게 옮긴 것이다. 일상적 대화로 시작하여 깊은 이해로 다가가는 튜토리얼 형식의 세미나를 통해, 그는 오래도록 세상을 견인해온 광대한 수학적 문명의 세계로 독자를 인도하고 있다. 수의 기본 개념부터 AI 시대의 근간을 이루는 현대수학 이론까지, 앞으로의 상식이 될 수학의 언어에 정면 도전하는 위대한 수업이 펼쳐진다. 이 책을 통해 자연과 우주, 그리고 인간의 생각이 작동하는 방식까지, 우리를 둘러싼 모든 순간에 수학이 존재하고 있음을 깨닫게 될 것이다.

출판사 서평

■ 세계적인 수학자 김민형 교수가 전하는 아름다운 수학의 세계
_인간의 놀라운 사고 능력과 수학에 관한 7개의 강의

17세기에 발명된 확률 이론은 한때는 전문가들조차 이해할 수 없는 복잡한 수학 이론이었지만 지금은 누구나 ‘37%의 비 올 확률’을 읽고 이해할 수 있다. 세상을 관찰하며 떠오른 직관은 정교하게 다듬어져 하나의 이론이 되고, 이는 점차 널리 활용되며 많은 사람들의 상식이 되었다. 세계적인 수학자 김민형 옥스퍼드대 교수는 이런 과정이 수세기 동안 거듭되고 축적되면서 인간의 사고 능력은 끊임없이 확장하고 있으며, 이러한 경향은 더욱 가속화될 것이라고 말한다. 지금은 우리에게 아주 복잡한 현대 수학이론들도 머지않아 누구나 자연스럽게 떠올리는 상식이 된다는 것이다.
김민형 교수의 신간《수학이 필요한 순간》은 인간의 사고 능력을 확장시켜온 수학이라는 장대한 세계에 관한 7개의 명강의를 담고 있다. 기본적인 수학의 원리부터 정보와 우주에 대한 이해, 윤리적인 판단이나 이성과의 만남 같은 사회문화적인 주제에 이르기까지 세상 모든 순간을 이해하는 데 바탕이 되는 수학적 사고의 정수를 만날 수 있다. 그가 진행한 다양한 대중 강연의 내용을 포함하여 1년여에 걸쳐 진행된 강의를 총망라한 이 책은 이 시대에 필요한 수학적 사고에 관한 깊은 탐구와 메시지를 오롯이 담고 있다. 마치 강의실에 앉아 있는 듯 질문과 답으로 구성된 이 책을 따라 차근차근 생각의 온도를 높여가다 보면, 어느덧 수학의 매력에 푹 빠져 있는 자신을 발견하게 된다. 노벨 경제학상을 받은 게일 섀플리 이론이나 애로의 불가능성의 정리, 오일러의 수나 내면 기하처럼 물리학과 수학의 경계를 넘나드는 현대 수학의 개념들까지도 상식적인 언어만으로 쓰여 있어 누구든 끝까지 읽어나갈 수 있다.

■ 인간은 얼마나 깊이 생각할 수 있는가?
_일상부터 우주에 대한 탐구까지 ‘수학이 필요한 순간들’

‘수포자’에게 수학은 늘 두려운 존재다. 하지만 수학을 못하는 사람도, 이미 누구나 ‘수학적 사고’를 하고 있다. 수학적 사고란 인간이 세계를 사고하는 가장 기본적이고 근본적인 능력이기 때문이다.《수학이 필요한 순간》은 우리 안의 수학적 사고를 발견하게 만드는 책이다. 이 책에 의하면 수학은 우리가 모르는 것이 무엇인지 정확하게 질문을 던지고 그에 필요한 개념적 도구를 만들어가는 과정이다. “빛은 어떻게 이동하는가?”라는 17세기의 과학자 페르마의 질문이 몇백 년에 걸쳐 뉴턴의 운동법칙, 아인슈타인의 상대성이론으로 발전한 것처럼, 수학의 질문은 수 세기를 이어가며 세상을 탐구해간다.(2장, ‘역사를 바꾼 3가지 수학적 발견’ 중에서)
우리가 인문학의 문제라 여겼던 윤리적 판단에서부터 우주의 무한한 세계에 이르기까지 인간이 세상을 이해하는 데 수학이 필요하지 않은 순간이란 없다. 예를 들어 철학 영역이라 알려진 트롤리 문제, “망가진 자동차에서 누구를 살릴 것인가?”는 현재 MIT에서 자율주행 자동차에 들어갈 프로그램을 제작하기 위한 게임으로도 활용되고 있다. 피실험자들이 위험한 상황 앞에서 내릴 ‘윤리적인 판단’을 확률 데이터, 즉 수학적인 문제로 만들고 있는 것이다(4강 ‘확률론의 선과 악’). 이는 과학기술이 윤리적으로 사용되는가의 쟁점에서 더 나아가 다가올 미래에는 인간의 윤리 자체가 확률의 문제가 될 수 있음을 시사한다.
시공간과 우주에 대한 근본적인 이해 역시 수학이 없이는 가능하지 않다. 중력은 우주가 휘어졌기 때문에 발생한다는 물리학의 기본 가정은 ‘내면기하’라는 수학적 개념 없이는 설명할 수 없으며, 양자장론이나 초끈이론처럼 최신 물리학의 연구는 우주에 존재하는 수학적 구조를 발견하는 과정과 다름없다.(6강, 우주의 실체 모양과 위상과 계산) 이처럼 현대 수학이 이룩한 주요한 발견과 증명은 우리로 하여금 기존의 세계관과 통념을 뛰어넘으며 자연과 우주에 관해 불가능한 것을 상상하도록 만든다.

■ 생각의 근육을 키우다
_포기하지 않고 더 깊이 사고하게 만드는 수학의 힘


꼭 수학이 아니더라도, 문제를 사고하는 과정에 조금이라도

■ 김민형 교수, 세대와 직종을 초월한 독자 7인과 만나 수학의 세계를 탐구하다
: “수학의 질문은 어떻게 생각을, 그리고 세상을 움직이는가?”


AI와 빅데이터가 각종 산업과 개인의 일상에 깊숙이 파고드는 지금, 데이터와 통계에 대한 이해가 생존 능력이라는 공감대가 널리 퍼지면서, 수학적 사고로 세상의 문제와 사회 현안을 이해하려는 노력들이 이어지고 있다. 이러한 가운데 세계적 수학자 김민형 교수의 명강의를 책으로 옮긴 [수학이 필요한 순간]은 8만 독자의 환호를 받으며 화제가 되었다. 〈동아일보〉 선정 2019 과학계 파워피플 7인, 〈경향신문〉2018년 올해의 저자 10인에 선정되는 등 파워라이터로서의 면모를 각인시킨 김민형 교수가, 수학에 대한 두려움을 딛고 호기심을 느끼기 시작한 독자들에게 더 깊고 심오한 수학의 세계를 선사하기 위해 2020년 [다시, 수학이 필요한 순간]으로 다시 찾아왔다.
[다시, 수학이 필요한 순간]은 [수학이 필요한 순간]을 통해 수학의 세계에 첫 발을 딛은 독자들이자, 수학에 대한 이해가 서로 다른 다양한 독자 7인과 함께 난해하지만 본질적이고, 우리 삶에 닿아 있는 아름다운 수학의 세계를 경험해본 2019년 여름밤의 세미나를 옮긴 책이다. 이름 하여 ‘여름 수학 학교’ 세미나에 함께한 이들의 면면은 이렇다. 물리학 책을 읽기 위해 수학이 필요한 기자, 프로그래밍 때문에 늘 수식을 만들어야 하는 개발자, 수학은 실체가 없는 학문이라고 믿는 중고등학생, 예술에 깃든 수학이 궁금한 미술작가, 수포자를 양산하고 싶지 않은 수학교사, 경직된 수학 시간이 트라우마로 남은 취업준비생 등. 김민형 교수는 정보를 일방향으로 전달하는 수업 방식이 아닌, 일상적 대화를 바탕으로 깊은 이해로 다가가는 튜토리얼 형식의 세미나를 통해 기초적인 수의 개념부터 자연과 우주, 그리고 앞으로의 상식이 될 수학적 개념에 대한 접근을 시도하고 있다. 질문에 질문을 집요하게 이어가며 한여름 밤을 뜨겁게 달군 이 세미나에서 그들이 만난 수학의 세계는 과연 어떤 모습이었을까?

■ 그리스 시대부터 현대수학까지, 인간 사고의 진화는 어떻게 이뤄지는가?
: “우리가 함께해온 대화가 수학적 문명의 긴 여정으로 느껴집니다.”


“세상 모든 것이 수다.” 바로 피타고라스의 격언처럼, 키, 지능, 주소, 기온, 습도, 시간, 공간 등 우리의 정체성을 표현하는 모든 것이 수이다. 그런데 전설에 의하면 피타고라스는 변의 길이가 1인 사각형의 대각선이 √2임을 발견한 제자를 살해하고 만다. 유리수만이 수라고 믿었던 그에게 무리수의 존재는 세상의 위기 그 자체였기 때문이다(1장 수 체계에 찾아온 위기). 그러나 수천 년이 지난 지금 우리는 √2는 물론 더 정밀하고 훨씬 큰 수의 개념도 당연한 상식으로 받아들이고, 전염병 감염 추이 그래프가 의미하는 바도 무리 없이 쉽게 이해한다. [다시, 수학이 필요한 순간]에서 김민형 교수는 그리스 시대의 일화로 ‘수학이란 무엇인가’를 찾는 여정을 시작하며 말한다. “인간의 사고는 수학으로 진화하고 있다”고.
이 책은 수학 거장과의 폭 넓은 대화를 통해 인간의 문명과 함께 축적되어온 수학적 사고의 형성 과정을 함께 탐험한다. 1부 〈수학의 토대〉에서는 그리스부터 뉴턴까지 우리가 ‘수’에 익숙해진 역사적 맥락과 함께, 정보과학과 양자역학 등 현대 과학의 근간이 된 19세기 수학 이론의 기원을 함께 다룬다. 격변의 19세기에는 수학만큼은 확실해야 한다는 신념하에 수와 계산 등 수학의 개념적 기반을 다지려는 시도가 다양하게 벌어졌다. 수 체계의 절대성을 믿은 힐베르트(2장) 알고리즘을 정의하고 기계적인 계산의 불가능성을 발견한 마티야세비치(3장), 수학적 사고를 논리학과 동일시한 철학자들(4장) 등, 새로운 사고 틀을 제시하려 고군분투한 당대 수학자들의 경이로운 이야기는 인간 사고의 도약에 수학이 얼마나 크게 기여하는지를 생생하게 확인시킨다. 자연과 세계를 명료하고 정확하게 사고하기 위해 체계적인 언어와 개념적 도구들을 축적해온 수천 년 문명의 산물이자, 지금 우리 삶에 전방위로 파고든 수학. 이 책은 오랜 역사를 거쳐 질문을 이어
온 수학이라는 학문의 아름다움으로 자연스레 독자를 인도한다.

■ 수식과 개념에 정면 도전, 초연결시대에 갖추어야 할 융합적 사고를 선보이다
: “수학적 사고, 생각의 가장 깊은 곳까지 도달하는 즐거움을 경험하라!”


“수학적 사고는 일상적으로 궁금해할 만한 모든 의문을 정확하게 만들어가는 과정을 말합니다. 사물에 대한 이해를 점점 섬세하게 체계화하면 저절로 수학이 된다는 이야기죠. 그런데 이 과정을 거치는 것이 쉽지 않습니다. 이것이 바로 우리가 수학에 어려움을 느끼는 핵심이 아닐까요?”
( '본문' 중에서)

수학은 어렵다. 아인슈타인조차도 수학이 어려워서 자신의 연구에 수학자들의 자문을 구해야 했을 정도다. 과학기술의 가치가 높아지면서 과학 커뮤니케이션이 중요한 화두로 떠오르고 있지만, 그 변화의 중심에 수학은 늘 빠져 있다. 난해한 수학 언어와 어려운 수학을 회피하려는 교육의 문제도 간과할 수 없다. 그러나 세상의 변화의 중심에 있는 보이지 않는 손, 수학을 모르고는 세상의 변화에 휩쓸린다는 두려움만 커질 뿐이다. 그간 다양한 대중 강연과 수학 교육에 관한 다양한 멘토링 활동을 이어온 김민형 교수는 이러한 한계를 극복하기 위한 수학 대중화 모델의 필요성을 절감하고 있다. 그러한 문제의식에서 시작한 이 책은 세상을 탐구하는 보편 언어로서 수학을 강조하며, 일상의 논리적인 대화에서부터 수학과 물리학, 인문학과 예술 분야를 대담하게 넘나든다.
되도록 수식을 배제하여 흥미로운 주제를 중심으로 접근한 전작 [수학이 필요한 순간]과 달리, 이번 책에서는 피타고라스의 정리와 같은 기본적인 공식에서부터 벡터, 기하, 삼각함수, 통계 등 ‘수포자’들을 벽에 부딪치게 만들었던 개념들에 정면으로 도전한다. 2부 수학의 모험에서 소개하고 있는 벡터는 AI의 학습을 표현하는 도구이며, 행렬은 벡터의 공간 변환과 학습 계산을 가능하게 해주는 역할을 한다.또한 빅데이터의 상관관계를 파악하는 데는 눈에 보이는 정보 기저에 정보의 차원에 대한 이해가 필수적이다.(7장 정보의 차원) 가령 세포 하나 당 2만 개의 유전자가 발현되는데 이런 세포 100만 개는 어떻게 분석하는가? 등의 질문을 던지며 앞으로의 시대를 견인해나갈 까다롭고 어려운 수학 개념들을 차근차근 설명하고 있다. 김민형 교수가 평생에 걸쳐 헌신한 연구 주제이자, 현재 AI 기술의 핵심이라 할 수 있는 대수 기하학에 관하여 구체적이면서도 직관적으로 이해 가능한 언어로 설명하고 있어 현대수학의 정수를 체험할 수 있다.

■ 인간의 사고, 세계와 자연의 본질을 찾아온 질문의 기나긴 여정을 추적하다
: 진화하는 세계의 관계와 질서에 관한 어느 거장의 아름답고 집요한 탐구


수학으로 세상을 본다는 것은 무슨 의미일까? 이 책은 ‘눈이 보이지 않는 사람이 기하를 이해할 수 있는가?’와 같은 심오한 질문을 던지면서 인간이 보고 듣는 것, 나아가 우주의 실체를 보고, 듣고, 파악한다는 것이란 ‘모양과 실체를 파악하는 일’ 즉, 물질들 사이의 상호작용을 읽는 것이라고 정의한다.(9장 ‘수학으로 세상을 본다는 것’) 빛과 중력, 초음파 등과의 상호작용을 파악하며 인간이 세상의 실체에 다가가는 과정을 아름다운 수학의 언어로 제시하는 저자는, 수학적 문명이 세상의 실체를 보기 위해 기하 뒤의 대수, 그 뒤의 기하, 그 뒤의 대수를 끊임없이 발견하는 여정이라고 설명하고 있다.
우주의 거대한 구조를 구체적인 방정식으로 밝힌 아인슈타인의 상대성 이론을 설명하면서 상대론에 영향을 받은 20세기의 예술가들과 작품들, 이를테면 펜로즈의 삼각형부터 에셔의 판화 작품, 현대음악가 크세나키스 음악의 구조를 넘나들기도 한다.(8장 우주의 모양을 찾는 방정식) 이러한 주제들은 단숨에 읽기엔 쉽지 않다. 그러나 마치 미지의 세계로 떠나는 여행처럼, 수와 기하로 이뤄진 낯선 수학의 언어를 차근차근 짚어가다 보면, 익숙한 사고의 틀에서 벗어나 함께 질문을 찾아갈 때 느끼는 기쁨, 가장 깊은 곳까지 도달하는 지적 즐거움을 발견하게 될 것이다. 부하가 걸리거나 오답을 마주하면 사람들은 이를 포기하거나 건너뛰고 싶어 한다. 하지만 수학의 역사에서 중요한 계기는 오히려 답이 틀렸거나 없는 상황일 때 더 많이 일어났다. 4강 ‘답이 없어도 좋다’는 ‘민주주의란 무엇인가?’라는 질문으로 시작한다. 대표자를 선출하는 방법에는 수십 가지가 있지만 그 어떤 것도 완벽할 순 없다. 하지만 수없이 많은 사회문화적 고려사항과 현실적 딜레마에도 불구하고 제한적인 조건에서 문제를 이해하고 적당한 답의 틀을 만들 때 오히려 문제의 본질에 다가설 수 있게 된다. 수학의 힘은 여기에 있다. 답에 가까워지는 과정이나 혹은 답이 없는 순간에도 포기하지 않고 더 깊이 이성적으로 사고하게 만드는 것이다.
이러한 수학적 방법론은 자연과학이나 공학뿐 아니라 사회학이나 경제학, 인문학과 예술에 이르기까지 자연스럽게 활용되고 있다. 예를 들어 이 책의 5강 ‘답이 있을 때 찾을 수 있는가’에서 소개하는 2012년 노벨 경제학상을 수상한 게일-섀플리 이론은 애초에 두 명의 수학자가 ‘수학적 사고란 무엇인가’를 알려주기 위해 수학 교육 저널에 게재한 논문이었다. 각각의 남녀 100명 모두가 안정적인 짝을 지을 수 있는가?라는 설정으로 시작하는 이 이론은 수학적 사고란 멀리 있는 것이 아니라, 사람의 마음처럼 답이 없을 것 같은 문제조차 더욱 명료하게 만들어나가는 과정에 있음을 깨닫게 만든다. 이 책을 읽다가 문득 고개를 들었을 때 우리를 둘러싼 세상이 조금 다르게 보인다면 이는 수학적 사고에 가까워지고 있는 신호일 것이다.

■ 수학이 필요한 시대, 문과생·기업 임원·발레리나도 푹 빠져든 지적 즐거움

빅데이터나 머신러닝 등이 일상이 된 첨단 정보과학의 시대, 수많은 정보를 논리적으로 처리하고 문제를 해결하는 능력이 더욱 중요해지면서 수학적 사고는 개인과 기업이 지녀야 할 필수적인 능력으로 각광받고 있다. 이러한 가운데 김민형 교수는 수학 대중화에 앞장서는 대표주자로서 방한할 때마다 다양한 대중을 대상으로 수학 강의를 펼치고 있다. 천 명의 유료 객석이 매진된 수학콘서트 K.A.O.S를 비롯하여 네이버커넥트재단 등 김민형 교수의 강연장을 가득 채운 방청객은 초등학교 수학영재에서부터 직장인, 대기업 임원, 심지어 중학생 발레 전공자까지 다채롭다. 이들은 복잡한 내용의 수학을 ‘공부’하는 것이 아니라 자연스럽게 ‘이해’될 수 있다는 점에 하나같이 감탄하며 수학의 매력에 푹 빠져든다. 더 천천히 쉬운 말로 설명하는 것 같지만 더 깊게 끝까지 생각하게 만드는 그의 강의 방식 덕분이다.
이 책은 옥스퍼드 수학과의 명강의를 포함하여 김민형 교수가 한국에서 진행한 각종 수학 강의의 내용을 바탕으로 탄생했다. 마치 강연의 현장에 찾아온 듯 수학에 대해 묻고 답하는 세밀한 대화로 가득하다. 평소 셰익스피어와 쇼팽을 사랑하며 물리학, 뇌과학, 인문학 등 학문 분야를 넘어 해박한 지식을 지닌 그는 스스로 “수학을 하기보다 수학에 대해 생각하는 것을 즐긴다”고 일컫는다. 그런 그가 수학이라는 방대한 세계에 대해 평생을 걸쳐 탐구해온 주제를 이 책에 오롯이 녹여냈다. 이 책을 읽는 독자들이 수학적으로 세상을 바라보는 기쁨, 깊고 넓은 시야로 세상을 읽어내는 그 순수한 지적 즐거움을 만끽할 수 있기를 바란다.

추천사

역시 김민형이다. 무려 ‘수학’이라는 언어로 대중과 소통하는 희한한 수학자! 모든 것이 연결되는 21세기, 초연결시대에 갖추어야 할 융합적 사고란 무엇인지 보여주는 최고의 수학 강의다.
- 정하웅 / KAIST 물리학 석좌교수, [구글 신은 모든 것을 알고 있다] 공저자

누구나 문해력을 넘어 데이터 해석력Data Literacy을 가져야 하는 시대. 수학의 악몽을 없애줄 수 있는 친절한 가이드북이 나오게 된 것을 반기며, 빅데이터와 인공지능 시대를 살아갈 여러분 모두에게 일독을 권합니다.
- 송길영 / 마인드마이너, [상상하지 말라] 저자

모든 생각이 바로 ‘수학적 사고’라니, 무슨 얘긴지 궁금하시죠? 이 책에서 답을 찾으시는 동안, 나도 모르는 사이 내 곁에 한 뼘 정도는 더 다가와 있는 ‘수학’을 체험할 수 있을 겁니다.
- 손열음 / 피아니스트, [하노버에서 온 음악 편지] 저자

2012년부터 우리는 함께 수학 대중 강연을 무대에 올렸다. 과학과 공학, 인문사회, 심지어 예술에 대해 이야기하는 그에게 수학은 소통의 언어다. 그래서 김민형은 철학자이기도 하다.
- 김남식 / 카오스재단 사무국장

인류 문명의 첨단에는 어김없이 수학이 자리해 있습니다. 수학과 우리를 연결해주는 친절한 채널로서 이 책은 겸손하고 합리적인 언어로 수학이라는 언어 또는 사고방식에 대해 이야기합니다.
- 윤수영 / 트레바리 대표

이 책은 말한다‘. 직관에 의존해도 세상을 무난하게 살아갈 수 있다. 그러나 직관에 약간의 수학적 사고를 첨가하면 우리의 삶은 더욱 풍요로워진다.’
-박병철

수학이 필요한 시간이 따로 있을까? 학문의 궁극적 목표가 우주와 인간의 관계를 밝히는 것이라면 수학이 필요 없는 시간이란 없다. 만일 내가 고등학생 때 이 책을 읽을 수 있었다면 수포자’가 되지 않았을 텐데.
-최재천 (국립생태원 원장/ 이화여대 에코과학부 교수/ 생명다양성재단 대표)

중학생 때《 코스모스》를 읽고 천문학자가 되고 싶었지만, 수학 실력이 걸림돌이었다. 한 세월이 지나 수학이 어떤 것인지 비로소 느끼게 해주는 책과 만났다.
-이현우 (로쟈, 러시아문학 연구자, 서평가)

우리 세대 최고의 수학자 김민형. 문학과 음악을 사랑하고 생물학, 뇌과학, 물리학에 대해 해박하며 난상토론을 즐긴다. 그의 책은 당신을 깊은 생각의 세계로 인도할 것이다.
-박형주 (아주대학교 총장)

대화 형식으로 구성하여 쉽고 자연스럽다. 수학을 중심으로 과학, 공학, 인문학까지 다루고 있어 오늘날 융합적 사고를 갖추어야 하는 이들에게 매우 의미 있는 책이다.
-권대용 (고려대학교 영재교육원 융합분과위원장)

목차

이 책을 펴내며
서문
세미나를 시작하며 : 수학이란 무엇인가

간단한 수학 활동으로 시작해봅시다 | 모양을 계산하기│수학에 증명이 꼭 필요할까?│수학일까, 물리학일까

1부 | 수학의 토대
제1강 수 체계에 찾아온 위기

수의 발견은 인간의 사고를 어떻게 바꿔놓았을까요? 키, 지능, 주소, 위도 경도, 기온과 습도…… 시간과 공간, 그리고 우리의 정체성을 표현하는 모든 것이 수입니다. 이처럼 지금 우리에게 기하학보다 수를 이용한 수학이 더 익숙한 것을 보면, 우리의 사고는 점점 컴퓨터화되고 있는 것 아닐까요?
수학의 전통을 만든 어느 수학자들│피타고라스와 수의 발견│수의 위기│적분의 기원│현대판 제논의 역설│다시 기하로

제2강 본질을 향한 길고 긴 생각
‘X는 무엇이다’처럼 정의를 내리는 일은 항상 어렵습니다. 불확실한 세계에 수학만큼은 확실하기를 바랐던 19세기의 수학자들은 수학의 모든 개체를 하나하나 정의함으로써, 무너뜨릴 수 없는 토대를 세우려고 했습니다.
수학은 명료한 사고다?│수에 관한 극단적인 원론│확실한 것에 대한 집착

제3강 답을 찾는 기계 만들기
문명의 발전은 아무 생각 없이 자동으로 할 수 있는 작업의 수를 늘려 가면서 일어난다는 말이 있습니다. 기계적으로 계산하는 능력은 수학에서 굉장히 중요합니다. 그렇다면 세상 모든 방정식의 답을 기계적으로 찾는 알고리즘도 만들 수 있을까요?
기계적으로 계산하는 능력│세상을 뒤흔든 수학의 난제│모든 계산이 가능한 알고리즘│그런 알고리즘은 없다│질문을 찾기 위한 질문

제4강 논리적 사고와 수학적 사고
“이 문장이 참이면 김민형은 억만장자다.” 이 문장은 참입니까 거짓입니까? 맞고 틀리다는 판단은 무엇에 근거하며, 논리적으로 올바른 사고란 무엇일까요? 명제의 참·거짓을 모르는 상태에서도 정확한 추론을 하는 실력은 수학적 사고에 있어 매우 중요합니다.
대화로 하는 수학│이 문장이 참이면 김민형은 억만장자다│논리란 무엇인가│이상한 나라의 대화법

제5강 세상을 이루는 함수들
함수에 관한 기초 개념 몇 개를 복습해봅니다. 수학은 자연 현상을 설명하기 위한 체계적 언어와 개념적 도구가 축적된 수천 년의 산물입니다. 그러한 언어를 효율적으로 사용할 때 우리는 수학적 사고에 한 발 가까워질 수 있습니다.
함수란 무엇인가│좌표란 무엇인가│사인과 코사인 정복하기

2부 | 수학의 모험
제6강 수 없이 계산하기

수가 없이도 A와 B의 합을 구할 수 있을까요? 고대 그리스의 수학자들은 수 대신 기하학과 비율을 이용해 연산을 했습니다. 만약 그들이 기하로 구축한 수 체계를 완성했다면 훨씬 더 일찍 수학이 발전했을지도 모릅니다.
고대 그리스식으로 계산한다면│평면에서 계산하기│증명, 그리고 더 좋은 증명│서로 다른 관점에 대한 수학 이론│관점들 사이의 관계

제7강 차원이 다른 정보들
무한해 보이는 정보 사이에 상관관계를 가능한 한 많이 발견하면, 정보의 ‘차원’을 효율적으로 줄일 수 있습니다. 빅데이터와 AI가 주도하는 정보과학 시대에는 눈에 보이는 정보의 기저에 있는 ‘다차원’을 이해하는 것이 매우 중요한 감각이 될 것입니다.
추상적인 공간을 상상하기│정보의 차원│무한 차원!│소리의 ‘정보’│근본 주파수와 기본 입자

제8강 우주의 모양을 찾는 방정식
아인슈타인의 방정식은 우주의 깊은 현상을 파악하는 데 중요한 지표를 제시함으로써 과학의 조류를 뒤바꿨습니다.‘ 시간이 상대적이다’,‘ 시공간이 휘어져 있다’와 같은 말은 구체적인 수학을 모르더라도 당대 예술가들의 심금을 울리기에 충분했습니다.
로저 펜로즈의 거시적인 마음│우주의 모양│음악과 수학, 그리고 현대주의│선형함수│시간의 선형성│법칙과 방정식

제9강 수학으로 세상을 본다는 것
‘본다는 것’은 모양과 실체를 파악한다는 의미입니다. 그리고 이는 곧 빛이나 초음파, 그리고 중력 등과의 상호 작용을 발견하는 일입니다. 수학적 문명 역시 세상의 실체를 보기 위해

지은이의 말
이 책을 펴내며

시작하며

수학은 인간의 직관에 영향을 미칩니다. 확률 이론은 17세기에야 시작되었지만 지금 사람들은‘ 37%의 비 올 확률’을 읽고 이해하는 데 무리가 없습니다. 오늘날 인간이 가진 상상력에 차이가 있다면, 그것은 수학적인 이해력의 차이 때문일 것입니다.

1강 수학은 무엇인가

갈릴레오는 말했습니다. “우리가 우주를 이해하기 위해서는 우주에 관해 쓰여 있는 언어를 배우고 친숙해져야 하는데, 그 언어는 수학적인 언어다.” 수학은 특정한 종류의 논리나 사고가 아니라, 우리의 일상과 우주를 이해하는 상식에 다름 아닙니다.

2강 역사를 바꾼 3가지 수학적 발견

페르마와 데카르트의 좌표계, 아인슈타인의 상대성 이론 등 위대한 발견들을 살펴보다 보면 수학적 사고가 왜 필요한지 느낄 수 있습니다. 지금 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 앞으로 어떤 질문을 원하는지를 찾아가는 것입니다.

3강 확률론의 선과 악

하이드파크에서 10명이 살해되었다. 이 일은 큰일일까요, 아닐까요? 한 사람이라도 죽으면 안 되겠지만, 수만 명을 죽음으로 몰 수도 있었던 테러를 막는 과정에서 10명이 희생되었다면? 이런 윤리적인 판단 속에도 수학의 확률이 작동하고 있습니다.

4강 답이 없어도 좋다

대표자를 뽑는 가장 좋은 방법은 뭘까요? 수많은 선출 방법을 살펴보면, 방법마다 완전히 다른 결과가 나올 수 있음을 알 수 있습니다. 그러면 이 방법들은 다 틀린 걸까요? 완벽하지 못하다고 해서 포기하기보다는 제한적인 조건에서 이해하는 것이 수학적으로 중요합니다.

5강 답이 있을 때, 찾을 수 있는가

19세기 청혼 문화를 알고 있지요? 남녀가 청혼, 약혼, 파혼, 결혼이라는 단계를 거치면서 짝을 찾는 겁니다. 만약 남녀 각각 100명이 짝을 지을 때 안정적인 답이 있을까요?‘ 좋아하는 마음은 복잡해도 답은 항상 있습니다.’ 답이 있다는 걸 수학은 도대체 어떻게 증명할까요.

6강 우주의 실체, 모양과 위상과 계산

우주가 휘어져 있다고 합시다. 이를 말로 표현할 수는 있어도 정확하게 알기는 어렵습니다. 내면 기하라는 개념이 없이는 우주가 휘어졌다는 주장을 하기 불가능합니다. 상상할 수 없는 것을 상상하는 것은 어떻게 가능하게 될까요.

마치며

수학은 정답을 찾는 일이 아니라, 인간이 답을 찾아가는 과정입니다. 우리는 답을 맞히려고 하지 틀리려고 하지 않습니다. 그런데 틀리기 싫어하면 어떤 질문이 가진 오류도, 어떤 방법이 가진 한계도 발견하기 어렵습니다 .

특강 숫자 없이 수학을 이해하기

수학이라고 하면 숫자가 제일 먼저 떠오릅니다. 엄밀히 말해 숫자와 수는 다릅니다. 수는 수체계를 이루는 여러 원소 중 하나입니다. 우리는 숫자를 전혀 사용하지 않고도 연산을 할 수 있습니다.

추천의 말 기하 뒤의 대수, 그 뒤의 기하, 그 뒤의 대수를 끊임없이 발견하는 여정일 것입니다.
다시 공리로│우주의 모양을 볼 수 있는가│인간의 뇌에서 벌어지는 일│세상을 ‘본다’는 것│기하 뒤에 대수 뒤에 기하 뒤에 대수…

세미나를 마치며
특강 : 실수의 파운데이션
세미나에 함께한 사람들
추천사

본문중에서

스티븐 호킹은 유명한 저서 《시간의 역사》에서 이렇게 말한다. ‘출판사에서 지적하기를 공식 하나 나올 때마다 판매량은 반으로 줄어든다고 했다.’ 그러나 나 자신은 호킹의 책을 보면서 무언가 답답하고 이해할 수 없었다. 그것은 공식이 없었기 때문이다. 갈릴레오의 말대로 우주는 수학의 언어로 쓰여 있는데, 수학을 피하면서 자연을 묘사하는 것이 가능한가?
( '서문' 중에서)

가끔 제가 강의에서 만나는 많은 이는 수학의 모든 증명이나 기초, 근본을 이해해야만 한다는 갈증을 가지고 있는 듯합니다. 수학의 근본을 이해하고 싶다. 아주 좋은 포부임은 분명합니다. 그런데 ‘근본을 이해해야만 수학을 이해한다.’ 그것은 제 생각으로는 아닌 것 같습니다. 기초를 잘 모르더라도, 정리나 공식을 계속 사용하고 여러 상황에 어떻게 개입되는지 과정을 살펴보면서 점차 이해가 깊어지기 때문입니다. 그뿐만 아니라 근본이라는 것이 아예 없을 수도 있거든요.
( '세미나를 시작하며' 중에서)

체계적인 이론을 개발하는 사람도 결국은 필요하지만, 그런 것 없이도 수학은 항상 진전해왔습니다. 그런 면에서 르네상스 즈음에 보통의 수학자들은 √2를 크게 문제시하지 않았던 것으로 보입니다. 물론 그걸 다루는 데 필요한 대수는 꽤 추상적이지만 말이죠. 그런데 흥미롭게도 학자이든 보통 사람들 사이에서든, 지금 우리 현대문명 속에서는 보통 수를 기하학보다 훨씬 쉽게 생각하고 있습니다. 대부분의 사람들 사고가 컴퓨터식으로 바뀌어가고 있는 것은 아닐까요?
( '제1강 ‘수 체계에 찾아온 위기' 중에서)

수학적 사고는 일상적으로 궁금해할 만한 모든 의문을 정확하게 만들어가는 과정을 말합니다. 다시 말해 사물에 대한 이해를 점점 섬세하게 체계화하면 저절로 수학이 된다는 이야기죠. 그런데 이 과정을 거치는 것이 쉽지 않습니다. 이것이 바로 수학에 대해 느끼는 어려움의 핵심이 아닐까요? (중략) 수학을 포함하여 사고와 말을 명료하게 만드는 모든 과정은 꽤 어렵습니다. 그런데 수학에서는 학문의 특성상 그런 것들이 겹겹이 들어 있습니다. 논리적으로 정확하게 표현하는 전통이 오랫동안 쌓여온 것이 바로 수학이니까요.
( '제2강 ‘본질을 향한 길고 긴 생각' 중에서)

대화를 하다 보니‘ 수학을 한다’라는 것이 늘 무엇인가를 계산하는 것이라는 선입관이 꽤 널리 퍼져 있는 듯합니다. 그런데 이‘ 기계적인 계산’도 쉬운 게 아니라는 것을 한번 짚고 넘어갈 필요가 있겠군요. 기계적 계산은 철학적 관점에서 수학을 완전한 논리 체계로 기술하려는 노력과 밀접한 관계가 있습니다. 어떤 철학자들은 정리를 증명할 때 공리로부터 출발해서 논리의 룰을 기계적으로 적용하기만 하면 되도록 수학 시스템을 구축하고 싶어 했습니다. 여기에는 완벽한 공리 체계 속에서 단순한 계산만으로 명제의 참․거짓을 판명할 수 있다는 기대가 암시적으로 있었죠.
( '제3강 ‘답을 찾는 기계 만들기' 중에서)

산수와 수학을 구분하는 것을 별로 좋아하지 않습니다. 기계적으로 문제를 풀어 계산을 효율적으로 하는 것도 수학에서는 굉장히 중요한 능력입니다. (중략) 저는 수학교육에 관하여 ‘이렇게 해야 한다’는 특별한 해결책을 내놓는 방법론을 거의 믿지 않습니다. 그런데도 우리나라는 수학교육에 대한 자아비판을 너무 좋아합니다. 수포자라는 인식 역시 그런데서 나온 게 아닌가 생각합니다.
( '제3강 ‘답을 찾는 기계 만들기' 중에서)

문제는 뉴턴의 법칙 같은 근본 원리들은 직접 관찰하기 어렵다는 것입니다. 아무 힘도 작용하지 않는, 심지어 중력조차도 작용하지 않는 물체를 우리 주변에서 볼 수 있나요? 사실 물리학의 기본 법칙들이 다 그렇습니다. 입자 물리학에서 미세입자들의 운동을 기술하는 운동법칙을 직접 관찰할 수가 있습니까? 그렇기 때문에 R를 믿든 믿지 않든 R → Q 같은 추론은 중요합니다. 특히 Q가 직접 관찰할 수 있는 현상을 다루는 명제이면 좋겠지요. 그래서 참인 Q를 검증함으로써 R의 옳고 그름에 대한 증거를 얻게 됩니다.
( '제4강 ‘논리적 사고와 수학적 사고' 중에서)

함수가 무엇에 정의되어 있는가를 규명하는 것이 정의역이죠. 예를 들어 사람의 집합에 정의된 함수들을 찾아볼까요? 일상적으로 관심 있는 함수들 가운데, 사람을 하나 집어넣으면 수가 나오는 함수에는 어떤 것이 있을까요? 예를 들어 주민등록번호라는 함수에서 ‘정의역’은 ‘우리나라에 거주하는 국민’입니다. 또 찾아볼까요? 쉽게 생각하면 체중도 사람의 함수입니다. 사람의 나이도 함수이고, 키도 마찬가지죠. 1분에 심장이 몇 번 뛰나 재는 맥박수도 함수입니다. 우리가 늘 관심 가지는 종류의 함수들이죠. 그리고 이런 함수들 사이의 ‘관계’에도 관심이 많습니다. 가령 키와 체중의 상관관계는 어떤가요?
( '제5강 ‘세상을 이루는 함수들' 중에서)

소리의 주파수 분석은 과학의 패러다임에 중대한 변화를 일으켰습니다. 보통 우리가 듣는 소리가 직접 나타나지 않는 더 근본적인 성분으로 이루어져 있고, 수학적인 방법론으로 그 성분들을 계산해낼 수 있다는 착안은 20세기 입자물리학의 발전에 지대한 영향을 미쳤기 때문입니다.
( '제7강 ‘차원이 다른 정보들' 중에서)

아인슈타인의 상대론은 과학의 조류를 바꿨을 뿐 아니라 20세기 초 많은 예술가들의 상상력을 자극하기에 충분했습니다. 일반 상대론에서 ‘시간이 상대적이다’, ‘시공간이 휘어져 있다’는 종류의 문장은 정확히 이해하지 못해도 어딘가 심금을 울리는 신선함이 있지요.
( '제8강 ‘우주의 모양을 찾는 방정식' 중에서)

모양을 파악한다는 것 자체가 이런 상호작용, 저항을 느끼는 일입니다. 빛이든 초음파이든 손이든 진행하는 곳과 진행하지 못하는 곳이 있는 거죠. 그러니까 이 관점에서 보면 아인슈타인 이론의 구체적인 수학을 이해 못하더라도 우주가 모양이 있다는 게 무슨 뜻인지 파악이 됩니다. “공간에 모양이 있다.”(중략) 그러니까 수학을 통해 세상의 실체를 파악해나갈 때 생각하던 그림이 하나도 나타자지 않더라도 그렇게 놀랍지 않다는 말입니다.
( '제9강 수학으로 세상을 본다는 것' 중에서)

저는 학문을 할 때에도, 우리가 인생을 살아갈 때에도 달성할 수 없는 목표는 굉장히 중요하다고 생각합니다. 공리를 하나 더할 때마다 불확실성이 생기고, 대수 뒤에 기하 뒤에 대수가 계속 숨어 있어서 진리를 찾으려는 사람들이야말로 학문의 발전에 가장 큰 기여를 하는 것 같습니다. 그것은 정신병이 생길 정도로 창의적인 예술가가 가장 숭고한 아름다움을 발견하는 것과 비슷한 현상 아닐까요. 따라서 수학여행을 즐기되 스스로를 괴롭힐 목표를 한두 개 정도는 가지고 떠나는 것을 권장하겠습니다.
( '세미나를 마치며' 중에서)

저자소개

생년월일 -
출생지 -
출간도서 6종
판매수 11,329권

옥스퍼드대 수학연구소 교수이자 이화여대 수학과 초빙 석좌교수. 전공은 수학의 고전 분야인 ‘정수론’이다. 중학교 1학년 때 학교를 그만두고 검정고시로 서울대 수학과에 입학했다. 서울대 개교 이후 처음으로 조기 졸업하여 당시 화제가 되었다. 예일대에서 박사학위를 받았으며 매사추세츠공대, 퍼듀대 등을 거친 뒤 유니버시티칼리지런던 교수를 역임했고, 포항공대 연산 석좌교수와 서울대 수리과학부 초빙 석좌교수를 역임했다. 2011년에 한국인

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