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허수의 기본과 응용을 안다!

17세기 프랑스의 철학자이자 수학자인 데카르트가 그 존재를 인정하지 않고 ‘상상의 수’라고 불렀던 기묘한 수가 있다. 학교 수학에서 배우는 ‘허수’이다. 허수의 어떤 성질이 기묘한 것일까? 양수나 음수 모두 제곱하면(두 번 곱하면) 반드시 양수가 된다. 하지만 허수는 ‘제곱하면 음수가 된다.’는 특성이 있다. 그와 같은 수는 실제로는 존재하지 않는 수이다. 그러면 왜 학교에서 허수를 배울까? 그 이유는 수학에서 허수가 매우 중요한 역할을 하기 때문이다. 실은 허수는 수학뿐만 아니라 물리학, 그리고 경제 활동의 분석 등에서도 반드시 필요한 존재이다. 단적인 예로 허수가 없으면 우리는 전자 1개의 움직임조차 올바로 알 수 없다. 즉 휴대폰이나 컴퓨터 같은 문명의 이기인 전자 제품을 만드는 데도 허수가 그 바탕을 이루는 것이다.

이 책은 2009년에 초판이 발행되어 호평을 받은 《허수란 무엇인가?》의 완전 개정판이다. 허수의 기본과 그 응용에 대해 새로운 방식으로 쉽게 설명하는 것은 물론, 보충 학습 자료에 해당하는 새로운 특집 기사를 덧붙이는 대대적인 개정을 통해 더 재미있고 읽기 쉬운 내용으로 만들었다. 인류가 허수에 이르기까지의 수 확장의 역사와 허수의 성질, 그리고 수학과 물리학에서 허수가 어떻게 도움이 되는지를 알기 쉽게 소개한 이 책을 통해, 허수의 핵심과 그 신비한 세계를 한 번에 확인하기 바란다.

특장

● ‘실재하지 않는 수’를 그래픽으로 보면서 이해
1, 2, 3 …으로 나아가는 자연수는 그 개수가 눈에 보이므로 이해하기 쉽다. 한편 0과 -1, -2, -3 …은 그 개수가 눈에 보이는 것은 아니지만, 수직선 위에 나타낼 수 있으므로 이해하기는 쉽다. 그러나 허수는 제곱하면 음수가 되는 수이다. 이 세상에 실제로 존재하지 않을 뿐더러 수직선 위에 나타낼 수 없는 수이다.
눈에 보이지 않는 분자, 원자, 소립자의 세계를 그래픽으로 이해하면 쉽듯이, 실제로 존재하지 않고 수직선 위에 나타낼 수 없는 허수의 개념을 이해하는 데는 역시 그래픽이 중요한 역할을 한다. ‘과학의 핵심을 그래픽으로 전달한다.’는 Newton의 편집 방침은 여기서도 힘을 발휘한다. 허수의 기본 개념과 다양한 응용의 사례를 세계 최고 수준의 그래픽을 통해 확실히 이해할 수 있다.

● 수의 역사와 허수가 탄생하기까지 과정을 명쾌하게 정리
어떤 새로운 개념을 배울 때는 그 배경부터 완전히 이해해야만 한다. 우리가 실제로 매일 사용하고, 수학 시간에서도 항상 다루는 수의 세계는 오랜 세월에 걸쳐 확장되어 왔다. 눈에 보이는 수의 세계에서 눈에 보이지 않는 수의 세계로, 더 나아가 ‘제곱하면 음수가 된다.’는 ‘상상의 수’ 허수가 나오기까지, 인류는 무수히 많은 반대와 시행착오를 겪어야만 했다. 그 결과 지금은 허수가 문명의 다양한 장면에서 맹활약하게 되었다. 허수가 탄생하기까지 수학이 걸어 온 과정을 명쾌하게 이해한다.

● 허수와 복소수의 기본 개념, 응용을 다양한 예를 통해 설명
‘뉴턴 하이라이트 시리즈’의 편집 과정에는 대학 교수를 비롯한 해당 분야의 전문가들이 참여하고 있다. ‘뉴턴 하이라이트 시리즈’의 최대 장점인 ‘그래픽을 통한 핵심 개념의 설명’과 함께 전문가들의 쉽고도 자상한 설명은 허수와 복소수의 기본과 응용을 ‘완전한 내 것’으로 만들어 준다.

● 허수와 그 관련 분야에 대한 다양한 보충 학습 자료 제공
이 책 《허수란 무엇인가?》에는 본 내용과 함께 다양한 보충 학습 자료가 제공된다. 소수, 무리수, 방정식, 16세기의 수학 승부, 황금비, 프랙털, 삼각함수, 원주율 등등, 허수와 직접 간접으로 연결된 다양한 수학 개념과 수학사의 사건 등을 22개의 ‘칼럼’과 4개의 ‘Q&A’에 담아서 독자에 제공한다. 허수를 이해하고 활용하는 데 중요한 배경 지식이 될 것이다.

● ‘양자 역학, 4차원 시공, 미지의 입자, 허수 시간과의 관계 집중 해설
‘실제로 존재하지 않는 수’ 허수는 현대 사회의 다양한 장면에서 활약하고 있다. 그중에서 상대성 이론과 함께 ‘물리학의 양대 산맥’이라고 불리는 양자 역학, 그리고 거기에 바탕을 두고 발전해 나온 전자공학 분야에서 허수는 빼놓을 수 없는 존재가 되었다. 현대인의 필수품이 되다시피 한 컴퓨터와 휴대폰도 허수라는 수학적 배경 없이는 존재할 수 없다. 이 밖에도 허수가 물리학과 공학 분야에서 어떻게 활용되는지를 깊이 있게 설명한다.

서론
인류는 수의 세계를 확장해 왔다 / 허수와 관련된 수학자·물리학자의 역사 연표

제1장 허수 탄생의 길
자연수 / 0(영) / 음수 / 음수의 곱셈 / 유리수 ①~② / 무리수 / 실수

Column
소수의 표기법은 16세기에 태어났다 / 피타고라스는 유리수가 수의 전부라고 믿었다 / 고대 메소포타미아의 점토판에 새겨진 √2 / 고대인은 제곱근을 이렇게 작도했다 / √2가 무리수임을 증명한다 / √2를 분수로 나타내는 방법-연분수 / 방정식이란 무엇인가?

Topics
실수의 완성과 무한의 개념

제2장 허수란 무엇인가?
허수란 무엇인가? / 풀리지 않는 문제 / 허수의 탄생 ①~② / 시민권을 얻은 허수

Column
‘2차 방정식’에는 실수로는 답이 나오지 않는 것이 있다 / 4000년의 역사를 가진 ‘2차 차 방정식’ / 2차 방정식의 ‘근의 공식’으로 카르다노의 문제를 푸는 방법 / 허수 탄생의 계기는 16세기의 ‘수학 승부’ / 도박을 좋아해, 확률론의 발전에도 기여한 카르다노

Q&A
복소평면을 왜 ‘가우스 평면’이라고 할까? / 허수에 대소가 있는가?

제3장 허수와 복소수
복소수를 나타내는 법 / 복소수의 덧셈 / 복소수의 곱셈 ①~② / 허수로 푸는 불가사의한 퍼즐 ①~② / 가우스와 복소수 ①~② / 수 확장의 종착역

Column
‘카르다노의 문제’를 복소평면으로 확인해 보자 / ‘음수×음수는 왜 양수일까? / 복소수의 ‘극형식(極形式)’이란? / ‘대수학의 기본 정리’의 증명 / 프랙털과 복소수 / 복소수 뉴턴 방법에 의한 프랙털

Q&A
-1의 4제곱근, 8제곱근, 16제곱근은?

Topics
황금비와 복소수로 정오각형을 작도해 보자

제4장 인류의 보물 오일러의 공식
삼각 함수 / 테일러 전개 ①~② / 허수 제곱 / 오일러의 두 가지 식 / π와 i와 e / 오일러의 공식을 바라본다 / 오일러의 공식은 왜 중요한가?

Column
삼각함수란 무엇인가? / 자연로그의 밑 e란 무엇인가? / 원주율 π란 무엇 인가? 대수학의 기초를 세운 천재 수학자 오일러 - 오일러

제5장 허수와 물리학
빛·천체와 허수 / 4차원 시공과 허수 ①~② / 미지의 입자와 허수
양자 역학과 허수 ①~③

Q&A
실재하지 않는 허수가 왜 자연계와 관계가 있을까?

Topics
양자 역학에는 왜 복소수가 등장할까? / ‘고바야시·마스카와 이론’에서도 허수가 활약한다