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악학궤범의 학제적 연구서가 드디어 세상에 출간!
피타고라스 콤마에 대한 보편적 고찰!

『악학궤범 학제적연구』는 악학궤범이라는 하나의 방향과 길라잡이를 통해, 수학 철학 음악 과학 명리학 문학 건축 의상 신학에 대한 문명사적 고찰한다. 학문 상호간의 벽을 허무는 것을 훨씬 뛰어넘어 각 분야에서 ‘핵심주제’를 잡아 명쾌하게 풀어내고 있다. ‘결정불능 문제’, 이것은 생존전략의 문제이기도 한다. 상대방의 생각을 아는 것을 또 아는 문제, 즉 ‘메타 생각’의 문제가 결정의 문제이다. 결국 악학궤범 안에 이러한 메타 사고를 발견하고 그것이 다른 학문 분야에선 어떤 다른 모습으로 나타나는가를 살펴 서로 뗄 수 없는 ‘영원한 황금실eternal golden blade’을 이 책을 통해 만들 수 있다면 그것은 더 없는 보람이 될 것이다.

『악학궤범 신연구』(솔과학) 출간 직후 2019년 8월 8일에 인사동 태화사회관에서 수학, 철학, 음악, 문학, 신학 등 제 분야의 전공자들이 모여 토론회를 가졌다. 토론에 참가하신 분들 간에 이구동성으로 의견을 모은 것은 악학궤범을 학제적으로 연구할 필요가 있다는 공감대가 있었다. 악학궤범은 이미 하나의 방향과 길을 제시해 주었기 때문에 연구자들은 다만 길라잡이를 따라가기만 하면 될 정도로 빠른 시기에 이와 같은 연구 결과를 내놓게 되었다.
다시 말해서 ‘피타고라스 콤마’란 길라잡이는 음악 안에서 비결정성의 문제를 제기하는 핵심주제어이다. 2019년 여름, 악학궤범 신연구가 출판된 이후 토론회를 통해 각계 각 분야의 전문가들이 이구동성으로 악학궤범을 학제적으로 한번 다루어 볼 필요가 있다고 자연스럽게 제안하였다. 학제적인 연구 거리가 되는 이유는 피타고라스 콤마 때문이다. 다시 말해서 비결정성의 문제 때문이다. - (중략) -
이렇게 빠른 시기에 『악학궤범 신연구』에 이어 이에 관한 학제적 연구가 나오게 된 이유는 악학궤범이 그만큼 오지랖이 넓은 책이기 때문이다. 책을 읽는 순간 여기에 기고한 분들은 자기들이 지금까지 연구해 온 연구들이 곧바로 악학궤범이 지닌 문제성과 같다고 생각했기 때문이다. 신현용님은 수학과 음악과의 관계에 관하여 오랜 동안 여러 편의 논문과 단행본을 내셨을 뿐만 아니라 거문고를 손수 제작하시기도 하셨다. 우실하님 역시 요하문명을 중심으로 한 중국음악 배경에서 한국 음악을 심도있게 연구하여 단행본과 논문을 발표하셨다. 조춘영님은 한신대학 철학과에서 전통음악을 피타고라스 콤마의 관점에서 조명하여 석사학위를 받은 이후 성균관대학교 대학원에서 전통 풍물굿 연구로 학위를 취득해 지금 사계의 현장과 강단에서 이 분야에 전 문적인 강의를 하고 있다, 박미자님은 1990년 대 초반에 위상기하학과 한복의 관계로 세종대 대학원에서 박사학위를 취득하였다. 지금 초등학생들 중심으로 한복바지와 뫼비우스 띠 관계 강좌들이 개최들 정도로 이 분야는 학계의 주요 쟁점이 되었다. 필자의 1970년 대 『한복바지와 뫼비우스 띠』 그리고 1990년 대 『초공간과 한국문화』가 이 분야 연구의 효시가 되었다.
이진길님의 전북대학교 대학교 대학원에서 학위 논문인 건축과 한사상 관련은 한옥의 무자성공간을 피타고라스 콤마와 연관시키는 계기를 만들어 주었다. 당시 학위 논문을 필자가 재구성하였다.
여봉수님은 현재 고려대학교 대학원에서 한국 고전 소설에 나타난 역설을 해학과 연관시켜 연구 중이시다. 특히 〈토끼전〉, 〈두꺼비전〉 같은 우화소설에 나타나는 해학과 유머를 악학궤범의 율과 성에 나타난 피타고라스 콤마의 문제, 비결정성, 혹은 역설의 문제와 연관시키고 있다. 해학의 문제를 베이트슨의 이중구속 이론과 최근 블록체인에서 문제시되는 비잔틴 장군 역설 문제와도 연관시킨다. 창이님은 같은 문학 분야 가운데 현대시와 화이트헤드의 상대성 이론과 아인슈타인의 상대성 이론의 차이점을 비교하면서 그것이 어떻게 한태동 박사의 음양율쌍곡선의 유래가 되었는지를 고찰한다. 악학궤범을 두 편의 시와 연관시켜 미학적으로 이해를 돕는다. 김영진의 번역서 ‘느낌의 위상학?에 이론적 근거를 두고 있다. 김정엽님은 하와이 대학 대학원의 박사학위 논문 장재 연구가 정다산의 역에 연관되는 것에 착안하여 필자의 『대각선 논법과 조선역』의 내용 중 중부와 소과 괘를 피타고라스 콤마와 연관시켰다. 우실하님은 삼수분화를 우리 음악에 적용하여 문명사적으로 고찰했다. 음악의 체계 이론뿐만 아니라 이를 문명사에 연관시키는 연구는 독보적이라 할 수 있다. 늦게 논문이 접수되어 후반부에 싣게 되었다.

[모둠글]
‘학제적’이란 말이 이젠 공염불이 되고 말았지만, 상투어 같이 아직 회자되고 있다. 학문들 간에 학제적이 되지 못하고 실패로 끝난 이유에는 몇 가지 이유가 있었다. 전공자들 간의 밥그릇 싸움만이 그 원인이 아닌 학문이 학제적이 되지 못하는 가장 큰 원인은 구슬을 꿸 수 있는 끈이 없었기 때문이다. 한태동 박사님은 1960년대부터 학문을 학제적으로 해 오셨던 분이시다. 강의를 직접 들은 세대들은 전공이신 교회사보다는 수학과 논리학이 대부분인 것을 기억할 것이다.
한박사님의 악학궤범 연구만 하더라도 수학을 모르고는 이해하기 힘들다. 한박사님은 수학의 집합론이 앞으로 모든 학문을 학제적이게 할 것이라고 했다. 현대 프랑스 철학자 알랭 바디우는 칸토어의 집합론 하나로 철학을 비롯한 정치와 예술 등 제 학문 분야들을 하나의 실로 엮고 있다. 그래서 그동안 학문들 간에 학제적이지 못한 가장 큰 원인 가운데 하나가 수학에 대한 무지 때문이라 할 수 있다. 수학에 대한 무지는 앞으로도 학제적이지 못하게 하는 원인이 될 것이다. - (중략) -
고대 그리스의 4과학이란 음악, 천문학, 수학, 기하학을 두고 하는 말이다. 이들 4과학은 서로 학제적이었다는 것을 의미한다. 그러나 고대 사회의 학제 적이란 말과 지금의 그것과는 판이하게 다르다. 그리스의 4과학의 기준이 정확성과 결정성에 있었다면 지금의 그것은 그 반대인 부정확성과 비결정성에 있다. 다시 말해서 학제적 연계 고리를 정확성과 결정성에 둔다면 그런 학제는 실패할 수밖에 없다. 대학의 학제적 연구가 실패하는 이유가 바로 그 방향타를 잘못 정하였기 때문이다. 현대의 비결정성은 수학의 대각선 논법으로부터 출발한다. 그러나 한국 학계는 대각선 논법에 관한 논문 한 편 제대로 발표되지 않고 있다.
이 책에서 학제적 연계 고리를 만드는 것은 칸토어의 제2 대각선 논법에 연관된 힐베르트의 소위 ‘10번째 문제’, 곧 비결정성의 문제이다. 수학자 힐베르트의 ‘10번째 문제’란 너무나 단순하고 간단한 문제이다. 즉, 우리가 흔히 자연스럽게 사용하는 ‘자연수’에 어떤 수 D가 속하는지 안 속하는지를 결정하는 문제를 두고 하는 말이다. 이 질문에서 생긴 화두가 튜링으로 하여금 컴퓨터의 모체인 튜링기계를 탄생케 한다. 여기서 도출된 것이 소위 튜링기계의 ‘결정문제’이다. 힐베르트는 이 문제를 두고 “수리 논리학의 근본문제”라고 했다. 이를 일러 ‘힐베르트의 10번째’ 문제라고도 한다. 혹은 결정불능의 문제라고도 한다.
1장 한태동 악학궤범 연구는 멀리 라이프니츠에까지 이르는 수학적 배경이 있다. 17세기 라이프니츠는 현수선을 x축과 y축에 투영시키는 기법을 최초로 발견했다. 20세기 화이트헤드는 허수 개념을 이 투영법을 통해 이해하고 있다.
2장은 피타고라스 콤마를 다루는 동양적 기법은 삼분손익법을 인자진수를 삼아 그것은 자연로그함수 e를 밑으로 하여 계산된 것으로 시작된다. 다시 이 를 12율의 고유한 값으로 삼아 x축과 y축에 투영시킨다. 그래서 2장에서는 한 태동 악학궤범 연구의 꽃이라 할 수 있는 자연로그함수 e에 대한 다방면적 고찰을 한다.
3장은 컴퓨터의 모체가 되는 튜링기계와 그 안에서 산파 역할을 하는 대각선 논법을 악학궤범의 악률 조절과 연관을 시킨다. 대각선 논법이란 세로와 가로가 서로 사영된 것이다.
4장은 정다산의 벽괘론을 중심으로 그가 초과분을 어떻게 다루는가를 다룬다. 정다산의 음악서 『악서고존』 보다는 그의 벽괘론을 다루는 것이 차라리 피타고라스 콤마 같은 초과분을 이해하는 데 더 도움이 된다고 생각했기 때 문이다.
5장은 한의학과 악학궤범의 상관적 연구에 관한 것이다. 콤마와 같은 초과분을 처리하는 방법에 있어서 한의학만큼 철저하게 치밀하게 다루고 정리를 해 놓은 분야도 없을 것이다.
6장은 명리학과 악학궤범의 상관적 연구에 관한 것이다. 한의학에 이어 명리학을 다루는 이유는 지금까지 문헌과 자료 중에 명리학 만큼 콤마를 다양하게 이름을 준 분야도 없기 때문이다.
7장은 들뢰즈의 시간개념 가운데 ‘순수과거’ 개념을 피타고라스 콤마와 연관시킨 것이다. 현재가 과거가 되면 그 내용과 길이가 같아야 한다.
8장은 한국의 아리랑과 같은 민속음악에서 피타고라스 콤마가 어떻게 처리되는가를 살펴보는 글이다. 조춘영의 석사학위 논문은 피타고라스 콤마를 한국음악에 적용하여 주요 주제로 다루었다. 그리고 이를 아리랑과 같은 한국 민속음악에 적용해 보았다는 점에서 귀중한 가치를 갖는다. 9장은 피타고라스 콤마란 연속체 가설의 문제이고 동시에 비결정성의 문제임을 다룬다. 부분의 합이 전체이지만 칸토어의 멱집합에서 보는 바와 같이 부분의 합은 전체 자체를 초과한다.
10장은 현대 두 편의 시 ‘야생화’와 ‘느낌’을 통해 악학궤범의 시용時用의 논리인 상하12지법을 적용해 본다. 즉, 시 ‘야생화’에 상하12지법을 적용해 비결정성의 문제가 시상과 어떻게 연관이 될 수 있는가를 보여준다.
11장은 한옥의 공터와 집터를 집합 관계로 보아 다시 집의 공간이 정해지는 문제를 다룬다.
12장은 피타고라스 콤마를 하드에 응용해 보기 위해 마련되었다. 한옥의 지붕의 부채꼴 모양의 선자 서까래는 그대로 12악율이라 보아도 좋다.
13장은 한옥에 이어 한복에서 콤마를 찾기 위한 작업을 위한 것이다. 한복이 뫼비우스 띠와 같은 위상공간을 그 속에 가지고 있다는 이론은 1974년 경부 터 소개되기 시작하였다.
14장은 Tymocszko는 A Geometry of Music의 이론을 소개하는 장이다. Tymocszko는 그의 방대한 저술을 통해 위상수학과 음악을 일치시켰다. 신현용 교수는 이를 ‘음악에 스민 수학?이라 하였다.
15장은 기독교 신학 안에서 피타고라스 콤마와 같은 요소를 찾는 것이다. 한복과 한옥은 하드 속에 들어 있는 콤마를 시각적으로 보여주는 점에서 이 점이 있었다.
16장은 우리 음악의 특징을 ‘3수분화?에 두고 ‘2수분화?와 대조시키면서 향 악과 아악의 차이점을 문명사적으로 고찰하고 있다. 2수분화가 결정성에 있다면 3수분화는 비결정성에 있다고 보아 수학의 문제가 결국 문명사의 문제이고 음악의 문제라는 것을 일괄하여 보여준다.

머리말 004

모둠글 010

제 01장 악학궤범의 수학적 배경 025

제 02장 피타고라스 콤마와 자연로그 함수 e
2.1 자연로그 e와 순정음 60 050
2.2 한태동의 ‘음양율쌍곡선’에 관하여 060

제 03장 악학궤범과 튜링기계의 비결정성의 문제
3.1 비결정성의 문제 078
3.2 易의 사상꾸러미와 비결정성의 문제 100
3.3 악학궤범과 튜링기계 113
3.4 윷판과 ‘생명의 꽃? 134

제 04장 정다산역과 피타고라스 콤마 149

제 05장 음양오행은 음악과 한의학의 관건 161

제 06장 지장간과 피타고라스 콤마의 문제 175

제 07장 들뢰즈의 시간 이해와 피타고라스 콤마 205

제 08장 피타고라스 콤마와 한국 음악 231

제 09장 고전문학의 해학과 비결정성의 문제 271

제 10장 느낌의 위상학과 음양율쌍곡선
10.1 시 ‘느낌’과 음양율쌍곡선 294
10.2 악학궤범의 악률론으로 본 시 ‘야생화? 310

제 11장 한옥의 무자성공간과 피타고라스 콤마 321

제 12장 한옥 지붕의 현수선과 음양율쌍곡선 359

제 13장 한복과 음율의 위상 공간 비교와 비결정성의 문제 397

제 14장 음악에 스민 수학 423

제 15장 악학궤범과 신학의 가능성 441

제 16장 ‘3수 분화의 세계관(1-3-9-81)’과 동양 음악의 탄생 481

부 록 우주와 원소의 구조 속에 나타난 ‘나선형’과 ‘동심원형’ 517

참고문헌 519

찾아보기 530

허수 이해에 주요한 개념들은 순서쌍, 벡터, 좌표계이다. 화이트헤드는 “순서쌍의 표현 방식은 우리가 그 의미를 더하기와 곱하기 등의 연산과 결부 시켜 생각할 때 매우 유용하다”(화이트헤드, 1993, 89)라고 했다. 순서쌍 (x,y) 와 (x', y')를 셈할 때에 다른 수들과 같은 방법으로 할 수 있다. 화이트헤드는 허수도 지금까지 다룬 일반적 음수 개념과 여러 가지 점에서 같다고 했다. 그러나 허수는 음수와는 비교가 안 될 정도로 까다롭다. 위에서 말한 대로 허수도 변수개념, 대수적 형식 개념, 일반화 개념을 가지고 있지만, 음수의 경우와는 달리 허수개념을 이해하기 위해서는 ‘순서쌍ordered couple’과 좌표계coordinate라는 개념을 새롭게 도입해야 한다. 그래서 화이트헤드는 아래와 같은 좌표 계 속에 8개의 순서쌍을 적용한 다음 다시 이를 덧셈 법칙에 응용한다.
(p.32 중에서)

지금까지 튜링기계와 악학궤범을 이해하는 데 그 중심에 윷판이 있었다. 여기서는 윷판을 전통 유아 교육에 필수였던 단동십훈의 ‘곤지곤지잼잼’과 ‘도리도리짝짝궁’을 중심으로 창조의 기하학적 의의와 나아가 ‘생명의 꽃’이론을 윷판과 연관시킴으로 악학궤범과 윷판의 진가를 더 고조시켜 보려한다. 창세기 기자들은 어떤 영상과 구도에 근거하여 창세기를 기록했을까? 그것은 수학에 기초한 기하학적 제 요소들이라고 본다. 카발라 신비주의자들은 수학 특히 기하학에 대가들이었다. 혹자들은 아예 창세기 기록을 기하학의 연장이라 할 정도로 이해하고 있다.4 히브리 전통의 탈무드는 우리 전통 단동십훈과 유사한 면이 있다.
(p.134 중에서)

음악과 한의학은 모두 역의 음양오행에서 유래하는 것을 보았다. 한의학에서 초과분의 과태와 과소에 따라서 인체에서 질병이 생기는 것을 보았다. 음양에서도 율려가 조율이 안 된다든지 초과분 변음과 정음과의 관계를 제대 로 설정하는 것은 중요하다. 60조도론이란 바로 이러한 음에서 생기는 병폐를 고려한 배열 방법이라 할 수 있다. 세로에 7성을 배열하고 12율려를 5성으로 등분하여 60조를 만든 것은 지금까지 인체의 내부에서 생길 수 있는 5사와 같은 질병들을 치유하려는 의도와 진배 다를 바 없다고 보면 될 것이다. 오사론은 명리학의 '십신론'과 밀접하게 연관이 된다. 아생, 아극, 생아, 극아가 조장하는 오사는 그대로 인간의 운명에도 적용된다. 모두 초과분(콤마)을 조절하려는 의도에서 같기 때문이다.
(p.173 중에서)

이처럼 〈토끼전〉은 ‘대칭성’과 ‘역설’을 통해 해학을 자아내는 소설이다. 토끼가 이기고 별주부가 지는 순간, 한편으로 토끼의 승리를 통쾌해 하면서 다른 한편으로는 별주부가 지는 것이 안타까워한다. 고전의 ‘해학’ 속에는 ‘웃음’만 있는 것이 아니라 ‘슬픔’도 있다. 향유자들은 토끼나 별주부의 어리석음을 보고 웃으면서도 한편으로 측은한 마음을 갖게 된다. 우스우면서도 어딘지 모르게 그늘이 느껴지는, ‘웃픈’이란 역설적 표현을 가능하게 한다.1 이는 ?주 역?의 감괘坎卦 속에 불이 들어 있고, 이괘離卦 속에 물이 들어 있는 것에 비유 할 수 있다.
여기서 〈토끼전〉 이야기를 꺼낸 이유는 고전문학에서 나타나는 ‘초과분’의
단서를 찾기 위해서이다. ‘대칭성’은 수학적인 대칭구조에 해당한다.
(p.273 중에서)

중국 음악을 ‘아악雅樂’이라 하고 우리 음악을 ‘향악鄕樂’이라고 한다. 전자를 대표하는 것은 중국 채원정(1135-1198)의 〈〈율려신서〉〉이고, 후자를 대표하는 것은 조선조 성현(1439-1504)의 〈〈악학궤범〉〉이다.
아악과 향악를 구별짓는 첫 장면은 바로 이 두 책의 첫 면에 있다. 그것은 중심음에 해당하는 ‘宮’이 율려신서에서는 두 개이지만, 향악에서는 세 개다. 시에도 시제를 비롯한 중심음에 해당하는 중심어가 있다. 박미서 시인의 ‘야생화’에는 셋이다. 이 점에서 야생화는 향악에 닮아 있다.
(p.310 중에서)

뫼비우스 띠의 원리는 변의 길이가 각각 다른 각형에 일어나는 현상으로서 좌우 또는 전후, 좌우, 상하의 관계를 분명히 해야 하는 경우에 적용된다. 또 뫼비우스 띠의 원리인 ‘비틈’을 봉제에 이용하지 않으면, 한복의 형태구성에 근본적인 모순을 가져 올 수 있고, 위상기하학적 구성에서 전후, 좌우, 상하의 구별이 분명치 않은 원형이나 방형에서보다는 대부분 각형에서 적용됨을 알 수 있다. (그림 13-5. 6. 7)에서 보는 바와 같이 방형이 비틀리면 각형으로 변한다. 한옥의 경우도 갈모산방 같은 것은 각형이다.
(p.402 중에서)

필자는 동양음악의 5음 12율의 산율 수리체계는, 북방 샤머니즘의 고유한 사유체계였던 ‘3수 분화의 세계관(1-3-9-81)’을 바탕으로 하고 있다고 본다. 후대에 동양 음악에 각종 이데올로기적 혹은 상징적 의미를 부여한 것은 유교나 도교일 수 있다. 그러나 동양 음악이 만들어진 사상적 배경은 바로 북방 샤머니즘의 ‘3수 분화의 세계관’이다
(p.483 중에서)