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저자의 『악학궤범 新연구』는，

악학궤범 연구를 새 궤도에 올려놓은 책!
음악과 수학의 난제를 윷판 속에 요약한 명저서이다!
수학을 모르면 음악도 모른다는 것을 절감하게 하는 책,
수학과 음악의 협주곡 같이 들린다!
문화와 수학과 음악의 삼중주를 연주하다!
한태동 박사님의 획기적인 연구를 계승해서 새로운 연구가 나올 수 있는 기틀을 만들어 주었다!
음양은 반영대칭이고 오행은 회전대칭이란 놀라운 발상, 음악도 이 두 대칭의 지배를 받는다는, 그래서 음악 자체는 없다는 음악 해체론 같이 들린다!

이 책은 수학과 음악의 협주곡 같다고 할 수 있다. 실로 악학궤범은 땅에 묻힌 우리 문화의 진주와 같다. 대학의 학문, 특히 인문학은 날이 갈수록 그 질이 천박해져 가고 있다. 저자는 위악적이라 할 정도로 이런 학문적 풍토에 도전하고 있다. 세계 주류 학문적 문제성에 도전하고 쌍벽을 겨누어 왔다.

저자는 현대수학과 악학궤범이란 쉽지 않은 산을 소박한 우리 문화유산 윷판에서 요약하고 있다. 그래서 책을 읽는 독자들은 한복이나 윷놀이 같은 가장 쉬운, 그리고 친근한 우리 문화유산에서 개념을 먼저 포착한 다음, 그 개념을 통해 수학이나 음악에 접근해 들어가면 이해가 재미있고 쉬워질 것이다.

《악학궤범樂學軌範》은 세종대 문화유산 가운데 한글과 함께 양대 괄목한 것이다. 《악학궤범》의 편저자는 성현(成俔), 유자광(柳子光), 신말평(申末平), 박곤(朴棍), 김복근(金福根) 등이 1493년(성종 24년)에 왕명에 따라 편찬한 음악 이론서로서, 총 9권 3책으로 이뤄져 있다. 그러나 악학궤범은 그 동안 연구가 한 번도 제대로 된 적이 없던 중, 1998년 연세대학교 신과대학 한태동박사가 [[세종대 음성학]] [악학궤범 연구](연세대학교 출판부)가 그 효시가 되었다. 그러나 그 이후에도 음악계 안에서 마저도 악학궤범 연구가 몇몇 소수 연구자들에 의하여 연구가 되었을 뿐, 한태동박사의 연구 자체가 그대로 이어지지는 않았었다.
한태동박사는 현대수학의 자연로그함수(e)를 12악율에 적용하여 동서양 음악의 최대 풀기 어려운 난제 가운데 하나인 ‘피타고라스 콤마Pythagoras Comma’(0.0135)의 정체를 밝혔다. 피타고라스 콤마는 한 옥타브 연주하고 났을 때에 정체불명의 남는 음을 두고 하는 말이다. 마치 지구가 태양을 한 바퀴 회전하고 나면 남아도는 윤일閏日과도 같은 것이다.
이 책에서는 피타고라스 콤마의 정체를 칸토어의 대각선 논법에서 찾는다. 칸토어는 실수를 가로와 세로로 된 사각형 안에 격자 형식으로 배열했을 때에 사각형 안에 들어가지지 않는 초과분이 생긴다고 보았다. 그 이유는 세로에는 ‘으뜸수’를 가로에는 ‘따름수’로 나누어 배열했기 때문이다. 주역에서는 세로에는 음뜸괘 1개를 가로에는 거기에 따름괘 8를 배열한다고 하여 이를 ‘1정8회一貞八悔’라 한다.
음악에서도 으뜸음과 따름음으로 나누는 한 초과분 즉, 피타고라스 콤마가 나타날 수밖에 없다는 것이다. 신학적으로 보아 에덴동산 구조가 중앙(으뜸)과 주변(따름)으로 나누었기 때문에 콤마 같은 것이 나타날 수밖에 없고 신학은 지금까지 그것을 타락의 원인으로 규정했다. 탈중심화와 함께 대각선 논법에 의해 신학을 재검토해야 될 이유가 분명해 진다.
이 책의 5개의 부록은 양자역학(부록4)과 상대성 이론(부록5)에서도 피타고라스 콤마 같은 것이 어떻게 나타나는 가를 참고로 보여주고 있다. 다시 말해서 현대 수학의 집합론에서는 이를 초과분excess이라 하고, 경제학에서는 ‘잉여’라고도 한다. 마르크스의 잉여가치 역시 노동자가 자기가 만든 물건을 다시 사는 데서 생긴 것이라 할 때에 논리적으로 그것 역시 콤마의 한 종류이다. 그렇다면 피타고라스 콤마의 문제는 도처 어느 곳에서나 나타나는 난제라고 할 수 있을 것이다.
저자 김상일박사는 1960년도 연세대학교 신학과에 입학하여 한태동박사로부터 직접 강의도 듣고 사사를 받는다. 김상일박사는 선행연구로 한태동박사의 다른 연구인 원효의 [[판비량론연구]](지식산업사, 2002) [[판비량론 비교연구]](지식산업사, 2004)에 관한 두 권의 저서를 이미 출간한 바 있다. 한국 학계에서 스승의 연구를 이어 받아 계승한다는 전통은 거의 전무라고 할 풍토에 이번 악학궤범 출간은 각별한 의의를 갖는다.
김상일박사는 이번 저서에서 한태동박사의 자연로그 함수를 이해하기 위해 자신이 유학시절(클레어몬트 대학원 박사)에 터득한 칸토어의 대각선 논법과 갈루아 군론을 보조적으로 원용하고 있다. “음악은 수학이다”라고 할 때에 음악을 수천 단위의 숫자 개념 만으로 이해해서는 오해이다. 그 이전에 현대 수학의 첨단 이론들과 논리를 모두 동원해야 할 정도로 음악은 수학적이라 할 수 있다.
그래서 이 책은 수학과 음악의 협주곡 같다고 할 수 있다. 실로 악학궤범은 땅에 묻힌 우리 문화의 진주와 같다. 대학의 학문, 특히 인문학은 날이 갈수록 그 질이 천박해져 가고 있다. 김상일박사는 위악적이라 할 정도로 이런 학문적 풍토에 도전하고 있다. 세계 주류 학문적 문제성에 도전하고 쌍벽을 겨누어 왔다. 이번 저서도 예외는 아닐 것이다. 저서들 가운데는 외국 학계의 참고도서로 사용되기도 한다.
수학도 음악도 저자에게 비전문적인 분야이다. 학문 간에 서로 쌓아 놓은 방벽을 허무는 것이 금기시 돼 있는 한국적 풍토에 김상일박사는 학문하는 방법에 있어서 가장 단순한 한국 문화의 소박함으로 돌아온다. 1970년 대 초에 김상일박사는 우리 한복이 위상기하학적 즉, 뫼비우스띠의 원리로 제작된다는 것을 발표한 적이 있다. 지금은 유치원생 교육용으로 이 이론이 가르쳐지고 있다. 이번 책에서도 예외는 아니다. 김상일박사가 한태동박사와 서로 찾은 접촉점은 우리 문화의 진수에 이다. 한태동박사는 프린스톤 대학에서 교회사를 전공했지만 그가 한국에 온 후에는 거의 한국적인 것을 찾는 데 집중한다. 그래서 한글과 악학궤범 그리고 판비량론 연구를 하게 되었고 연구의 새 방법론을 제시해 주어 후학들은 그 뒤를 쉽게 따라갈 수 있었다.
이번에도 김상일박사는 현대수학과 악학궤범이란 쉽지 않은 산을 소박한 우리 문화유산 윷판에서 요약하고 있다. 그래서 책을 읽는 독자들은 한복이나 윷놀이 같은 가장 쉬운, 그리고 친근한 우리 문화유산에서 개념을 먼저 포착한 다음, 그 개념을 통해 수학이나 음악에 접근해 들어가면 이해가 재미있고 쉬워 질 것이다.
예를 들어서 자연로그함수(e)는 지금까지 발견한 가장 아름다운 공식에 들어가는 숫자(2.271)이다. 이 개념은 불교의 포대화상이 자루에서 아무리 물건을 꺼내 포시를 해도 자루에는 항상 남는 것이 있다는 것으로 접근하면 된다. 아무리 더해도 빼도 e의 범위에서 더도 아니고 덜도 아니게 한다. 이 자연로그함수는 경복궁을 비롯한 우리 한옥 지붕의 곡선인 현수곡선에 그대로 들어 있다.
악학궤범은 중국 채원정의 『율려신서』에 기초해 있다. 다시 말해서 삼분손익법三分損益法을 그대로 가지고 와 적용한다. 삼분손익법이란 위에서 말한 피타고라스 콤마를 다루는 동양적 악율법이다.
음악인들을 성가시게 만드는 콤마를 해결하기 위해 피타고라스는 소위 순정율을 그리고 바흐는 평균율을 제시했다. 그러나 이것은 하나의 미봉책이고 좀 심하게 말해 속임수 이다. 평균율이란 음계 사이에 콤마 값을 잘게 나누어 평균적으로 분배하여 듣는 사람들이 분간하지 못하게 하는 것으로서 콤마에 대한 완전한 해결책이라 할 수는 없다.
이에 대해 삼분손익법이란 음계 사이사이 마다 한 번 올려주고 한 번 내려 주는 법을 사용해 콤마를 해소하자는 방법이다. 그러나 악학궤범은 ‘청중탁’ ‘탁중청’ ‘청중청’ ‘탁중탁’ 같은 소위 ‘상하12지법’을 사용해 즉, 현대의 프랙털 기법으로 이 문제를 해의하려 한다. 이러한 지혜를 한태동박사의 연구를 통해 알게 되었을 때의 감격이 이번 ‘악학궤범 신연구’로 이어지게 되었다.
이 책의 표지는 미국 세인트 루이스 시의 Gateway Arch이다. 최초로 자연로그 함수인 현수곡선으로 제작된 아치이다. 이런 시각적인 것을 현대수학이 수치로 계산해 내었다. 부디 앞으로 이에 대한 연구가 지속적으로 이어져 더 좋은 저작물이 나오기만을 기대한다.

머리말 002
모둠글 006
초장 음악의 수학적 본성
0.1 대각선논법과 음악_018
0.2 군론과 음악_038

제1장 작율론과 피타고라스 콤마
1.1 피타고라스 콤마라는 난제를 만나다_052
1.2 배음/음정의 비례와 대각선 논법_075
1.3 람도마와 대각선 논법_084
1.4 원도와 대각선 논법_093
1.5 평균율과 대각선 논법_111

제2장 율려의 3분손익법과 대각선 논법
2.1 율려와 피타고라스 콤마_156
2.2 자연로그와 삼분손익법의 인자진수_180
2.3 콤마와 자연로그함수_197
2.4 평행률선과 피타고라스 콤마_210
2.5 격팔상생과 피타고라스 콤마_237

제3장 율려신서와 피타고라스 코마의 문제
3.1 율려신서의 배경과 역사_254
3.2 궁선법과 대칭의 문제_264

제4장 악학궤범과 대각선 논법
4.1 궁선법과 60조도_280
4.2 60조도와 연속체 가설의 문제_299
4.3 7성과 12율의 용률의 문제_320
4.4 ‘상하일이지법’과 윷판_346
4.5 평조와 계면조, 그리고 대각선 논법_371

부록
부록1 '소리의기원', 9와 10의 문제_396
부록2 정다면체 이론으로 본 60조론_404
부록3 5성과 7성: 왜 5성에 2변음이 추가 되는가?_411
부록4 프랑크 상수h와 피타고라스 콤마_425
부록5 상대성 원리와 초과분의 문제_439

참고문헌_457
찾아보기_461

대각선 논법이란?
‘대각선 논법’이 없었더라면 지금 내가 책상머리에 앉아서 컴퓨터 작업 자체를 할 수 없었을 것이다. 왜냐하면 튜링의 컴퓨터 발명 자체가 칸토어의 대각선 논법이 없었더라면 불가능했기 때문이다. 컴퓨터가 역의 2진법을 적용했다는 정도는 잘 알려진 사실이지만, 그것보다 더 근본적인 것은, 지금 우리가 사용하는 컴퓨터는 그 이전에 대각선 논법이 없었더라면 세상에 나타나지 못했을 것이다.
(p.18 중에서)

음악과 수학을 직접 연결한 장본인은 피타고라스(기원전 582년경-497년경)이다. 피타고라스가 대장간 앞을 지나다가 해머의 무게에 따라 음의 고저가 달라지는 것을 발견한 것은 뉴턴이 만유인력을 발견한 일화만큼이나 유명하다. 타악기와 연관이 되는 일화이다. 현악기는 현의 길이에 따라 음의 고저가 달라진다는 데 착안한 피타고라스는 현의 길이와 진동수 간에는 역분수逆分數의 관계가 성립하는 사실을 발견한다. 이 단순한 발견이 2500여 년 동안의 서양 음악사를 장식한다. 그러나 그의 음계에 예기치 않았던 초과음이 나타난다. 초과음을 ‘피타고라스 콤마’라 한다. 이에 대한 처리를 순정률pure temperament이라고 한다. 이 순정률은 16세기 바흐에 의해 평균률equal temperament로 변한다. 동양 음악사에도 피타고라스 콤마와 동일한 것이 나타난다. 이를 처리하는 방법을 두고 ‘삼분손익법三分損益法’이라 하고, 이를 다루는 분야를 ‘율려’라 한다. 역이 율려의 배경이다. 한국의 세종 대에 들어와 삼분손일법이 ‘악학궤범樂學軌範’에서 획기적으로 정리된다. 그런데 지금까지 음악사는 피타고라스 콤마가 생겨나는 결과만 다루었고 그것을 처리하는 방법, 즉 순정율과 평균율을 언급하고 있을 뿐 초과분에 대한 근본적인 원인에 대해서는 다루지 않은 것 같다. 필자는 그 원
인을 아는 첩경은 칸토어의 집합론과 대각선 논법 그리고 갈루아의 군론에서 찾을 수 있다고 판단, 이 점에 착안하였다. 동양의 삼분손익법 역시 두 가지 현대수학의 관점에서 이해되고 있다. 다시 말해서 피타고라스 콤마의 정체 그리고 그것이 생기는 원인과 이유를 대각선논법과 군론에서 찾고 있다.
(p.51 중에서)

동서음악이 피타고라스 콤마의 문제를 공유하고 있는 것이 위에서 쟁점으로 거론되었다. 피타고라스 콤마를 ‘초과분’이라고 정의할 때에 이러한 정의는 4과학인 천문, 수학, 기하학, 음악에 어디서나 발견된다. 예를 들어서 천문학에서 초과분이란 윤달과 윤일에 해당되는 것이다. 12벽괘에서는 감괘와 리괘가 초과분에 해당하는 것으로서 주자는 제거를 다산은 수용을 해야 한다고 한다. 콤마 하나를 놓고 동양과 서양이 갈라지고, 같은 동양 안에서도 중국과 우리가 갈라진다.
(p.254 중에서)

세기적인 화두인 대각선 논법이 던진 연속체 가설의 문제를 음악은 어떻게 다루고 볼 것인가? 악학궤범 속에서 이 문제를 들여다 본다. 초과분에 해당하는 변치와 변궁을 5음 속에 包含시킨 7성을 가로(세로)에 배열하고, 5성을 세로(가로)에 배열하여 대각선화와 반대각선화를 해 그것을 12율에 대응시키는 기법과 율려신서가 기준음를 주요시하는데 이에 대해 악학궤범은 중심음을 주요시하는 기법을 비교한다. 거기에 ‘상하일이지법’을 적용해 연속체가설의 문제를 바라본다는 것은 희열이라 아니할 수 없다.
(p.278 중에서)

음악사는 피타고라스 콤마에 시달려 온 역사라 할 수 있다. 이 점에 있어서는 동서양이 예외가 아니다. 서양 음악사에서 평균율은 그 보다 한 세기 후에 물리학계에 나타난 빛의 이론과 맞물리게 된다. 물리학과 음악은 이 점에 있어서 일란성 쌍둥이 같이 보인다. 서양에서 프랑크 상수의 발견은 동양의 삼분손익법의 진가를 돋보이게 하고도 남음이 있다. 프랑크상수에 해당하는 값이 다름 아닌 자연로그함수e라고 보면 그 일치점이 더욱 가까워져 보인다.
프랑크 상수를 적용한 결과 원자핵 주변에 있는 전자각들이 핵 주변에서 무한 반복을 할 때에 가속도가 붙어 파국이 생기지 않는 이유도 밝혀졌다. 다시 말해서 K,L,M,N과 같은 전자각은 [부.4.1]과 같이 띄엄띄엄 간격을 이루고 있는 것을 발견했다. 그러한 띄엄띄엄 늘어서게 하는 작용을 시키는 것이 프랑크 상수라는 사실도 알게 되었다. [부.4.1]을 [2.1.6]과 [2.3.1]을 한 자리에 가져와 놓고 보면 음악의 난제 거리가 물리학의 그것과 같지 않나 의심하게 된다.
(p.437 중에서)

[머리말]
책은 은사 한태동박사님의 《세종대 음성학》(연세대학교 출판부, 2003)의 IV부 [악학궤범]에 대한 이해와 고찰이다. 한태동박사님의 연구에 대한 이해와 고찰을 하기 위해서 나는 나름대로의 도구인 칸토어와 대각선 논법과 갈루아의 군론, 그리고 알랭 바디우의 철학을 원용하였다. 이러한 도구들로서 설명한 것이 이 책의 내용이고 방법론이다. 우리 음악이 상당한 논리적 구조를 가지고 있다는 사실을 알게 된 간접적인 동기는 2004년 조춘녕박사의 학위 논문을 지도하면서부터이다. 그 이전에 1960-1964년 연세대 신학과에서 한태동박사님을 만난 것은 나뿐만 아니라 당시 모든 동기 동창들의 행운이었다. 한태동박사님은 우리에게 학문하는 방법론을 가르쳐 주셨을 뿐만 아니라, 신학을 너머 학제적인 학문 세계를 펼쳐 보여주셨다. 박사님이 미국에서 공부할 당시 서구 철학은 논리실증주의 일색이었다. 논리실증주자들에게 검증 가능하지 않는 것은 모두 진리가 아니었다. 그러나 박사님은 이들 방법론을 우리 전통 가치의 구조를 구명하는 도구로 사용했다. 원효의 판비량론 연구와 세종대의 악학궤범 연구를 비롯하여 신학 연구 등에 적용된 방법론은 논리실증주의자들이 타기 시 한 존재론에 논리적 기호를 적용한 사례의 연구들이라 할 수 있다.
나에게 영향을 준 첫 번째의 글은 원효의 판비량론 연구로서 나의 《판비량론 연구》(2002)와 《판비량론 비교연구》(2004)로 결실되었다. 이 번 악학궤범 연구는 박사님의 1998년의 《세종대의 음성학》 1 속의 IV부 [악학궤범]은 독보적인 연구이나 아직까지 후속 연구가 없다. 이에 본 연구는 박사님의 연구에 자극과 암시를 받아 그 외연을 확장해 본 것이다. 박사님의 연구에서 받은 암시는 ‘파타고라스 콤마’이다. 모든 학문에는 학문마다 안고 있는 난제aporia가 있다. 음악에서 그것은 피타고라스 콤마이다. 프랑스 철학자 알랭 바대우는 그것을 ‘초과분excess’이라고 한다. 그래서 이 책에서는 이 두 말을 동시에 같게 사용하고 있다. 철학에서 뿐만 아니라 모든 학문 분야에서 유사한 난제 거리를 가지고 있으며 불교에서는 이를 ‘화두’라고 한다.
19세기 말엽에 초과분이 칸토어의 집합론과 대각선 논법에서 처음 나타났을 때에 이는 수학의 기초 자체를 흔들어 놓을 만큼의 그 위력을 과시했다. 대각선 논법에서 초과분의 문제가 연속체 가설의 문제로 이어지면서, 한 세기 이상을 끄는 논쟁으로 수학, 철학 그리고 논리학 분야에서 전개되었다. 이 책에서는 피타고라스 콤마의 문제를 대각선 논법의 초과분에 연관 시키는 것을 특징으로 삼는다. 물론 한태동 박사님은 이 문제를 다루지 않았지만 악학궤범 연구에서 피타고라스 콤마를 화두로 삼은 것은 실로 나에게 큰 자극과 암시를 주기에 충분했었다.
한태동 박사님의 악학궤범 연구가 기존의 다른 연구와 다른 점은 자연로그함수(Ln)의 값 e=2.2718을 삼분손익법에 적용해 음양쌍률 곡선을 만든 다음 거기서 피타고라스 콤마의 값을 계산해 낸 것이다. 그러나 안타까운 것은 아직 까지 박사님의 이러한 시도를 한국 학계가 받아 연구를 심화 시키지 못하고 있다는 점이다. 알랭 바디우에서 그러한 바와 같이 한태동박사님의 방법론은 음악뿐만 아니라 초과분의 문제로 고민하고 있는 모든 학문 분야에 던지는 자극과 암시라고 할 수 있다.
그래서 나는 지금 음악에 관한 책을 쓰고 있는 것이 아니다. 선행연구 『알랭 바디우와 철학의 새로운 시작』(서울: 새물결, 2008)을 통해 피타고라스 콤마와 같은 초과분의 중요성을 알랭 바디우를 통해 안 것을 토대로, 그 연장선상에서 한태동박사님의 연구업적이 주요하다는 사실도 새삼 깨닫게 되었다. 다시 요약하면 이 책은 한박사님의 ‘피타고라스 콤마’에 대한 일부분에의 연구일 뿐이다.
한박사님의 [악학궤범] 연구는 작율, 용률 그리고 주법으로 크게 나뉘어진다. 여기서는 작률론과 용률론만을, 그것도 부분적으로 다루게 되었다. 이 두 부분은 순수 이론 부분들이기 때문이다. 악기 하나라도 다룰 수 있으면 순수 사유의 세계가 얼마나 생동감이 있을까 하고 안타까워하면서 주법까지는 갈 수가 없었다. 이 책 부록에 실린 5편의 글들은 필자의 기존 연구물들로서 악학궤범 이해에 배경이 된다고 판단하여 결론을 대신하여 실었다.