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교과목을 넘나드는 ‘융합형 독서’를 선도한
『명화와 함께 떠나는 수학사 여행』
13년 만에 개정판 출간!

어린 딸의 머리를 따주던 마음으로
‘수학’ ‘미술’ ‘역사’라는 세 갈래를
온 정성을 담아 재미있게 엮어내다!

『계영희 교수의 명화와 함께 떠나는 수학사 여행』이 13년 만에 개정판으로 새롭게 태어났다. 그동안 이 책은 교과목을 넘나드는 ‘융합형 독서’를 선도하며 수학을 좋아하는 사람뿐만 아니라 일명 ‘수포자(수학 포기자)’에게도 많은 사랑을 받아왔다. 수학의 ‘수’자만 들어도 치를 떨거나 수학 하면 복잡하고 어려운 공식이나 문제만 떠올리던 학생들에게 수학이 충분히 흥미진진할 수 있다는 진실을 깨닫게 해주었다.
저자의 표현을 빌리자면, 이 책은 어린 딸의 머리를 예쁘게 따주던 엄마의 마음으로 ‘수학’과 ‘미술’과 ‘역사’라는 세 갈래를 온 정성을 담아 쉽고 재미있게 엮어냈다. 수학의 새싹이 움트기 시작한 고대 오리엔트 시대부터 이상적인 황금비를 추구한 고대 그리스, 수학의 암흑기인 중세를 거쳐 수학이 본격적으로 발달하기 시작한 르네상스와 근대, 그리고 새로운 수학(위상기하학)의 문을 연 현대에 이르기까지, 역사의 흐름에 따라 수학이 어떻게 발전해왔는지 한눈에 살펴본다. 더불어 수학이 각 시대의 분위기와 예술의 경향과 어떻게 서로 영향을 주고받았는지 다양한 에피소드를 통해 확인해본다.
개정판에서는 특히 현대 수학과 현대 미술 분야의 이야기를 좀 더 풍성하게 담았다. 또 동서양의 화풍과 수학을 비교해보는 새로운 지면도 마련했다. 혹시라도 수학이 어렵거나 지루하거나 두렵다는 편견에 사로잡혀 수학을 포기하려는 유혹 앞에 망설이고 있다면, 이 책을 통해 유혹에서 벗어나 새로운 수학 세계에 눈을 뜰 수 있기를 바란다.

역사의 물결을 따라서
수학사 여행을 떠나다

이 책은 제목 그대로 ‘명화’를 감상하면서 ‘수학사’를 한눈에 살펴본다. 그것도 여행하듯 가벼운 마음으로 수학사를 둘러볼 수 있다. 수학사 여행은 오랜 옛날 선사시대부터 시작한다. 선사시대에 수학이 존재했을 리 만무하지만, 수학적 사고가 생기기 이전과 이후를 비교한다는 데 의미를 둔다. 선사시대에 숫자는 없었지만 그림과 기호가 있었으므로 수학의 역사보다 미술의 역사가 더 길다고 할 수 있다. 수학은 고대 오리엔트 시대에 처음 시작되었다고 하는데, 농사, 측량, 천체 관측 등 실용적 목적이 강했다.
유독 문명이 발달한 그리스에서는 수학도 탁월하게 발달했다. 이를 통해서도 수학은 인류의 역사와 뗄 수 없는 문명의 산물임을 알 수 있다. 종교 이데올로기에 사로잡힌 중세는 예술의 발전이 주춤했고, 수학도 마찬가지였다. 하지만 건축에서만큼은 수학이 활용되어 로마네스크 양식과 고딕 양식 건축이 꽃을 피웠다.
르네상스 시대가 도래하면서 사영기하학이 탄생했다. 기존의 유클리드기하학에서는 임의의 직선은 아무리 연장해도 만나지 않지만, 사영기하에서는 양 끝이 만난다(무한원점). 사영기하학은 중세의 평면적인 그림에서 벗어나 사실적이고 입체적인 그림을 그리려고 노력한 화가들에 의해 촉진된 기하학이다. 여기서 원근법이 생겨났고 소실점이 발견된다. 저자는 원근법적 공간 계산이 뛰어난 작품으로 다빈치의 <최후의 만찬>을 꼽는다.

수학의 혁명에서부터
수학의 변주까지…

르네상스 시대가 지나고 근대의 과학혁명을 거치면서 수학도 혁명적으로 발전한다. 갈릴레이, 뉴턴, 데카르트, 파스칼, 페르마 등 천재 수학자들이 폭발적으로 업적을 쏟아냈다. 이때 수학이 전문화되기 시작하는데, 그래서 우리가 수학을 복잡하고 어렵게 느끼는지도 모른다. 이 시기에는 해석기하학과 화법기하학이 발전하고 사영기하학이 이론 체계를 갖추었다. 근대 지식인들은 빛, 운동, 속도에 관심을 갖기 시작하는데, 이것이 수학에서는 미분적분학을 발달시켰고, 미술에서는 바로크미술의 역동적인 표현 방식을 등장시켰다.
현대에 들어와 칸토어가 ‘집합론’을 발표했을 때 우연찮게도 미술 분야에서는 사물을 ‘점들의 집합’으로 보는 후기 인상주의의 점묘화법이 나타난다. 또 20세기 수학자들이 새로운 수학, 즉 토폴로지(위상기하학)의 세계를 열어갈 때, 미술에서도 피카소, 마티스 같은 입체파 화가들이 기존의 원근법을 파괴하고 추상의 세계로 나아갔다. 저자는 위상기하학과 추상화는 모두 같은 시대정신의 산물이라고 보고 있다. 그러면서 기존의 고정관념을 깨는 최근의 다양한 문화 트렌드도 토폴로지적인 발상이라고 주장한다.
이 책에서 저자는 현대 수학의 변주 현상을 몇 가지 더 소개한다. 20세기는 양차 대전 등으로 인간 이성의 한계를 직면하는 시기이기도 한데, 수학에서도 호모 사피엔스의 한계를 비꼬는 패러독스가 등장했다. 20세기 후반에 등장한 프랙탈 이론도 현대 수학과 미술에서 빼놓을 수 없는 분야다.

동서양의 수학과 미술이
절대 같을 수 없는 이유?

개정판에는 제7부 「동서양의 수학과 미술의 비교」가 새롭게 추가되었다. 저자가 흥미롭게 연구한 주제를 청소년의 수준에서 이해하기 쉽게 풀어 썼다. 우리가 배우는 수학사는 엄밀히 말하면 서양의 수학사이고, 미술사도 서양의 미술사라 할 수 있다. 그렇다면 옛 동양에도 수학이라는 학문이 존재했을까? 저자는 중국과 한국을 예로 들면서 동양에도 수학이 존재했지만 서양처럼 하나의 학문으로 발전한 것이 아니라, 물품을 세고 인구를 조사하는 데 필요한 실용적인 산술에 불과했다고 지적한다.
한편, 저자는 수학에 대한 동서양의 사유 형식의 차이가 기하학과 미술 화풍에 그대로 반영되었다고 본다. 서양의 화가들은 르네상스 시대부터 현대까지 ‘한 점 투시화법’을 추구했지만, 동양은 ‘삼원법’이라는 중국 고유의 원근법이 있었다. 이렇게 원근법이 다른 결정적인 이유는 서양인이 분석적인 데 반해 동양인은 종합적이고, 서양인과 동양인의 빛에 대한 인식 자체가 다르기 때문이라고 본다. 17세기부터 서양의 투시화법이 동양에 전해지지만 완전히 정착하지는 못했다. 이처럼 서양의 문화를 동양이 수용했지만 완전히 용해되지 못하는 이유를, 저자는 토인비 이론을 빌려 동서양의 민족 원형의 차이로 설명하고 있다. 이 책을 통해 독자들은 무엇보다 동서양의 사유 형식이 어떻게 다르고 그것이 예술에 어떤 식으로 반영되었는지 분별할 수 있는 안목을 갖게 될 것이다.

개정판을 내며

들어가는 말

제1부 수학사의 시작 고대 오리엔트
숫자보다 그림을 먼저 그린 인간 | 보이는 대로 그린 구석기인 | 아는 대로 그린 신석기인 | 기하학의 출발은 측량에서 |
추상화를 먼저 그리는 어린아이들 | 60진법을 개발한 메소포타미아문명 | 어린 왕 투탕카멘의 저주 | 피라미드의 수학적 비밀 |
북어처럼 마른 시체가 문화유산? | 10진법과 60진법의 차이는? | 수학은 강력한 통치 수단 | 이집트의 수학 노트 파피루스 |
단위분수만 사용한 이집트인 | 메소포타미아의 수학 노트 점토판 | 아브라함의 고향 우르 | 를 다룬 메소포타미아 수학 |
1,000년 앞서 피타고라스의 정리를 사용한 이집트 | 이집트의 아름다운 상형문자 | 역사학의 아버지 헤로도토스의 통찰 |
문명과 함께 사라진 이집트 수학 | 다시 살아나는 이집트의 문화 | 이집트 미술은 죽은 자의 미술 |
춤과 음악, 오락을 즐긴 이집트인 | 호루스의 눈을 수학으로 풀다 | 원주율의 근삿값은 얼마로? |
메소포타미아의 설형숫자 | 이집트 수학은 왜 몰락했을까?

제2부 비례와 균형을 중시한 그리스
미노아문명과 미케네문명이 합쳐진 에게문명 | 왜 그리스에서 수학이 발달했을까? | 수학에 영향을 미친 알파벳 |
아테네의 민주주의와 스파르타의 군국주의 | 수학을 잘하는 나라는 운동도 잘한다? | 마라톤 전투에서 유래한 마라톤 경주 |
그리스인의 종교 | 제단의 크기를 두 배로 늘리는 문제 | 수학자는 곧 철학자 | 그리스의 숫자와 수학 |
신비적인 수학자 피타고라스 | 여성 교육을 주장한 플라톤 | 그리스의 3대 난문제 |
알렉산드리아 대학의 설립자 알렉산드로스대왕 | 알렉산드리아의 파로스 등대 | 헬레니즘 문화의 탄생 |
기하학의 완성자 유클리드 | 유클리드기하는 만지는 기하 | 지구의 둘레를 측정한 에라토스테네스 |
헬레니즘 문화의 종말 | 비례와 대칭, 조화의 그리스 미술 | 술잔에서 신전까지 황금비로 | 아름다운 베누스와 추한 노파

제3부 수도원에 갇힌 중세 수학
역사에 등장하는 로마 | 싸움터에서도 글을 쓴 로마의 카이사르 | 카이사르와 안토니우스를 굴복시킨 클레오파트라 |
아우구스투스의 통치 | 아우구스투스의 후손인 네로 황제 | 하나님의 아들 예수의 등장 |
300년의 크리스트교 탄압이 막을 내리다 | 햇빛과 비를 피할 수 있는 콜로세움 | 목욕을 좋아한 로마인 |
중세 유럽의 교과서 『성경』 | 크리스트교의 경건한 미술 | 중세의 매력 없는 그림들 | 춤추는 미녀들 |
카노사의 굴욕 | 신성한 전쟁 십자군 원정 | 도시의 발생 | 도시의 새로운 주인, 시민계급 | 여전히 차별받는 여성 |
중세의 혼수품, 리모주 상자 | 중세에도 부동산 거래는 도장으로 | 주전자 맞아요? | 앞다투어 대성당을 건축하다 |
천상의 빛 스테인드글라스 | 수도원에 갇힌 중세의 수학 | 수를 분류한 보에티우스 | 부활주일을 계산한 비드 |
웃기는 수학 문제를 내는 알비누스 | 중세 도시에 대학이 등장하다 | 유럽을 휩쓴 페스트 |
르네상스의 상업 산술을 준비한 피보나치 | 수학적으로 새끼를 낳는 토끼 | 로마식 계산과 아라비아식 계산의 싸움 |
르네상스를 준비하는 사회 | 무한 개념을 도입한 오렘 | 르네상스 미술의 선구자 치마부에와 조토

제4부 상업 산술이 발달한 르네상스
르네상스 시대의 개막 | 하나님 중심에서 인간 중심으로 | 역사를 바꾼 마르코 폴로의 중국 여행 |
상거래에는 인도숫자가 딱이네! | 종교개혁에 불을 지핀 구텐베르크의 금속활자 | 기하학을 흔들어놓은 탐험가들 |
사영기하는 보는 기하 | 비참한 존재에서 영광 받을 존재로 | 식물도감을 뛰어넘는 보티첼리의 탐구 | 원근법=투시화법 |
최초의 원근법 그림을 그린 마사초 | 사인·코사인의 정리를 만든 레티쿠스 | 복식부기의 아버지 파치올리 |
사보나롤라는 예언자인가, 이단자인가? | <최후의 만찬>은 누구의 것이 최고? | 미술가가 수학 문제를 어떻게? 몸으로! |
미켈란젤로는 화가인가, 조각가인가? | 고대 그리스 학자들을 초대한 라파엘로 | 경제 발전이 방정식 문제를 촉진하다 |
복리의 위력 | 르네상스 수학의 대표 주자 페로와 카르다노 | 다빈치 기법을 부정한 틴토레토 |
근대 수학을 준비한 네이피어와 브리그스 | 기호의 정비 | 그림은 투영의 단면 | 원근법의 수학적 이론

제5부 빛, 운동, 속도를 중시한 근대
직업은 하나님이 주신 소명 | 가내수공업에서 공장제수공업으로 | 17세기의 위대한 발견 | 시간은 돈이다 |
갈릴레이는 과학적 영웅? | 천문학의 교통경찰 뉴턴 | 최초의 미적분학 저서 『자연철학의 수학적 원리』 |
대수학+기하학=해석기하학 | 상금이 걸린 페르마의 마지막 정리 | 대박을 터트린 와일스 교수 |
같은 생각을 가진 화가와 수학자 | 역동적인 바로크미술 | 17세기의 탐구 주제: 빛·운동·속도 | 최초의 여성 화가 젠틸레스키 |
뚱뚱한 여자를 좋아한 루벤스 | 순간의 화가 할스 | 사진일까? 초상화일까? | 불공평한 단체 사진 <야간 순찰> |
독신주의자 뉴턴 | 과학에서 소외된 여성 | 수학 때문에 귀족이 된 뉴턴 | 컴퓨터를 예언한 라이프니츠 |
미적분학에서 공동 우승한 뉴턴과 라이프니츠 | 사치스러웠던 유럽의 18세기 | 프랑스대혁명이 일어나다 |
그네 타기가 외설적이라고?! | 영웅 나폴레옹의 등장

제6부 현대 수학과 현대 미술
19세기는 과학의 세기 | 자율성을 추구한 19세기 | 큰 무한과 작은 무한을 비교한 칸토어 | 1883년은 독특한 해 |
초상화 대신 독사진으로 | 여성의 정체성을 표현한 나체 자화상 | 제1차 세계대전의 영향 | 원근법을 파괴하는 추상 |
사물을 단순화시키는 추상 | 수학자와 미술가의 뫼비우스 띠 | 초현실의 세계 | 힐버트의 무한 호텔 | 천재의 건망증 |
4차원을 표현하는 화가 | 토폴로지의 세계: 직선=곡선 | 마그리트의 패러독스 | 힐버트 공간과 초현실주의 |
파격적인 초현실주의 작품 | 초현실주의 화풍으로 변신한 아테네 학당 | 수학의 명제와 회화의 패러독스 |
황금비와 소실점을 추구하는 초현실주의 미술 | 21세기 <최후의 만찬>은 지구의 종말? |
‘이중 초상’의 원리는 시각적 착시 | 서울 한복판에 설치된 초현실적인 공공 조각 | 새로운 기하학의 등장 |
한국이 낳은 천재 비디오 작가 | 의자에 표현된 토폴로지 | 성 역할 고정관념에도 토폴로지

제7부 동서양의 수학과 미술의 비교
제1장 동서양의 원근법 차이
수학은 학문의 핵심 | 아폴론적 정신이 논증기하학으로 | 문자는 사유 형식의 핵심 | 중국의 독특한 투시법 |
중국 고유의 삼원법(三遠法) | 중국에 전파된 서양의 투시화법 | 조선에 상륙한 서양의 투시법 |
영·정조 시대, 문화가 융성하다

제2장 추상화의 경로가 다른 동서양의 회화
동양과 서양의 자화상은 어떻게 다른가? | 역동적인 조선의 풍속화 | 동양화에도 서양의 점묘화법이 적용되었다? |
동양의 감필법 | 패러다임을 넘어서는 범패러다임

참고문헌

고도로 발달한 이집트 수학이 왜 그 뒤로는 더 발달하지 못했을까요? 나라가 망했기 때문에? 아닙니다. 이집트에서는 기하학이나 산술, 달력 등을 모두 사제들만 볼 수 있는 파피루스 경전에 기록했기 때문입니다. 당시 경전은 요즘의 『불경』이나 『성경』과 다르게 아무나 볼 수 없었지요. 경전을 너무 신성시했기 때문에 사제가 아닌 일반인은 함부로 볼 수도 없고 연구도 할 수 없었어요. 심지어 몰래 경전을 훔쳐보는 사람에게는 엄벌이 내려져 자유로운 연구가 불가능했답니다. 이런 이유로 이집트의 수학은 곧 한계에 부딪히고 맙니다. 모든 학문 연구는 자유롭고 평화로운 분위기에서 사람들이 마음대로 연구하고 발표하고 토론할 때 비로소 발전하거든요. 만일 이집트의 수학이 경전 속에 꼭꼭 숨어 있지 않았다면 엄청나게 발전했을 거라 생각하니 안타깝기 그지없습니다. _54쪽

파르테논 신전이 세워질 무렵은 아테네에 민주주의가 만발한 시기였습니다. 민주주의는 신분이나 혈통보다 개인의 자유와 능력을 중시하는 이념이지요. 내세보다는 현세를 중시하는 그리스인이었기에 과거에 매달리지 않고 현재를 과거에서 독립시킵니다. 이렇게 변화와 진보를 인정하면서 민주적 정치의식이 반영된 기념물과 미술품을 본격적으로 만들었어요. 이들의 철저한 기하학적 정신은 술잔에서 신전에 이르기까지 엄격한 비례에 맞추어 설계되었습니다. 기하학적 정신과 민주 의식은 중세에는 사라졌다가 르네상스 시대에 함께 부활합니다. 기하학적 정신과 민주주의는 더불어 나타나는 공생의 속성을 지닙니다. 둘 다 합리적인 사고를 요구하기 때문이지요. _102쪽

중세 건축의 대표적 양식인 로마네스크 양식의 교회는 지붕을 둥근 돔으로 만들고, 기둥은 기하학적인 모양의 돌을 이용해 육중하게 아치형으로 세웠습니다. 아치형은 이미 로마 시대부터 수로를 만들 때 발달한 양식으로 교회 건축에 사용되었지요. 중세에 수학이 발달하지는 못했어도 건축에 수학이 없어서는 안 되었으니 수학이 실생활에서는 활발하게 쓰였다고 말할 수 있습니다. 또 다른 건축 양식인 고딕 양식에도 수학이 철저하게 사용되었습니다.
이를테면 양익부의 길이와 회중석의 비, 기둥과 아치의 비, 첨탑과 교회 탑신의 비 등은 모두 황금 비례였다고 합니다. 고대 그리스 시대의 황금비는 오랜 세월이 흘러도 여전히 사람들에게 사랑을 받았다는 사실을 알 수 있지요. 무엇보다 인간에게 조화로움과 안정감을 느끼게 해주었기 때문입니다. _137~138쪽

한마디로 유클리드기하가 만지는 기하라면, 사영기하는 보는 기하입니다. 유클리드기하에서 임의의 직선은 아무리 연장해도 만나지 않지만, 사영기하에서는 양 끝이 만납니다. 직선을 손으로 들어올리면 양 끝이 붙지 않지만, 아주 멀리 지구 밖에서 바라보면 지구 위에 놓여 있는 직선이 지구를 한 바퀴 돌아서 만나게 되지요. 또 유클리드기하에서 평행한 두 직선은 절대로 만나지 않지만, 사영기하에서는 만납니다. 두 직선이 평행하다고 말하는 것은 한 직선을 손으로 집어서 다른 직선 위에 올려놓을 수 있다고 생각하기 때문입니다. 그러나 평행한 직선을 멀리서 바라보면 앞에서 이야기했듯이 멀리 있는 지점, 곧 소실점에서 만나게 되지요. _164~165쪽

17세기에 수학은 매우 역동적으로 변했는데, 이는 미술에서도 마찬가지였습니다. 당시 지식인들의 탐구 주제는 빛, 운동, 에너지, 속도 등이었습니다. 이는 고대 그리스 시대부터 금세기까지 과학자와 수학자가 끈질기게 연구해온 주제이기도 합니다. 아인슈타인의 상대성 원리도 빛에 관한 연구였지요. 17세기에는 이러한 주제에 더욱 관심이 고조되어서 뉴턴은 빛의 광입자설과 운동방정식을 발표했고, 회화에서는 명암에 의한 극적인 대비가 표현된 그림이 주류를 이룹니다. 17세기 카라바조(Michelangelo da Caravaggio, 1573~1610)의 작품 <의심하는 성 도마>를 보실까요? 예수의 열두 제자 중 유독 의심 많은 도마가 부활한 예수 그리스도의 창 자국을 만져보는 장면이 너무도 리얼하게 묘사되어 있습니다. 완전성을 추구했던 르네상스 회화와 비교해볼 때 파격적이고 불경스럽기까지 합니다. 예수의 제자들이 위엄 있고 경건한 모습이 아니라 남루한 옷을 입은 평범한 노동자로 묘사되어 있기 때문이지요. 여기서 눈여겨볼 것은 르네상스의 회화와 비교해 빛과 그림자를 대비시켜 『성경』의 내용을 좀 더 현실감 있게 표현한 점이지요. _227~228쪽

초현실주의 화가 마그리트의 작품을 볼까요? 마그리트는 파이프를 그려놓고서 ‘이것은 파이프가 아닙니다’라고 써놓았습니다. 글을 참이라고 생각하면 그림이 거짓이 되고, 글을 거짓이라고 생각하면 그림이 참이 됩니다. 참이라고 생각하면 거짓이 되고, 거짓이라고 생각하면 참이 되는 순환 논리를 러셀의 패러독스처럼 멋지게 표현한 것입니다. 마그리트는 자만한 인간의 논리적 한계에 경고를 주는 초현실주의 화가랍니다.
그다음 작품은 마그리트의 <유클리드의 산책>입니다. 유리창 너머 저 멀리 길 위에 개미만 한 크기의 두 점이 보이세요? 두 사람이 산책을 하는데 너무 멀어서 개미처럼 보입니다. 한 사람은 수학자 유클리드 선생님이고 한 사람은 바로 나라고 가정해봅시다. 창문 너머 바라보이는 길에서 내가 지금 유클리드 선생님과 산책을 한다고 가정할 때, 마그리트는 사실은 유리창 밖에서 현재 일어나고 있는 상황이 아니라 캔버스 위의 점이라고 주장하고 있습니다. 즉, 감상자에게 창문과 캔버스를 가지고 공간의 의미를 헷갈리게 만드는 것이지요.
유클리드는 어떤 수학자였지요? ‘평행하는 직선은 결코 만날 수 없다’는 유클리드기하학의 대가(大家) 아닙니까? 평행선 공준을 주장했던 유클리드를 멀리 지평선의 소실점에서 만나도록 평행선 공준의 모순을 지적하는 마그리트의 번뜩이는 아이디어가 대단하지 않나요? _283~285쪽

유럽에서 르네상스 운동이 시작되자 1,000년간 잊고 있었던 유클리드의 기하학 『원론』이 다시 연구되면서 유클리드 기하학의 정신이 부활했습니다. 하지만 중국은 150년간이나 서양 회화 교육을 받았지만 동양 기하학에 유클리드적인 로고스 정신이 결여되어 있었기 때문에, 선교사가 추방되자 서양 투시법도 금세 사라진 것으로 보입니다. 투시법이라는 서양 문화를 적극적으로 수용은 했으나 중국 문화 속에 용해되지는 못한 것이지요. 이 사실은 전파된 문화가 타 민족에게 쉽게 수용되더라도 수용한 민족의 문명까지는 바꿀 수 없다고 주장한 토인비의 이론으로도 설명됩니다. 결국 동서양의 기하학 차이는 동양인과 서양인의 민족 원형의 차이에서 비롯되었다는 사실을 알 수 있습니다. _324쪽