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수학의 기본을 원리로 배운다

수학은 학교에서 배우는 그 어떤 과목보다도 논리가 바탕이 되는 과목이다. 따라서 기본 원리를 확실히 익히는 것이 무엇보다 중요하다.
그런데 ‘수’학의 기본은 ‘수’이다. 도형과 함께 수는 수학의 주요 탐구 대상이다. 1, 2, 3, 4, … 이렇게 단순히 이어지는 것처럼 보이는 수에도 사실은 여러 종류가 있다. 실수와 허수, 유리수와 무리수, 정수와 소수(小數) 등이 바로 그것이다. 뿐만이 아니다. 앞서 말한 것 이외에도 ‘1과 자신으로만 나누어지는 소수(素數), 지수, 로그(log), 원주율 π, √(근호), 연분수 등 특별한 수와 그에 관련된 다양한 개념도 수학의 중요한 부분을 차지한다.
《원리로 배우는 수학(수의 원리편)》은 수를 주제로 이루어지는 수학의 세계를 기초부터 응용에 이르기까지 원리를 바탕으로 탐구하는 책이다. 책은 총 7개의 장으로 나누어져 있다.
제1장에서는 소수(素數)를 다룬다. 소수의 정의와 발견법, 소수의 개수, 기묘한 특성을 가진 소수와 함께, 소수가 현대 사회에서 ‘암호’라는 중요한 역할을 하는 것까지도 모두 살펴본다.
제2장부터 제4장까지는 √(근호)와 무리수, 지수와 로그, 허수에 대해 알아본다. 유리수와 무리수, 원주율 π 및 지수와 로그의 법칙 등 중고등학교 수학에서 배우는 핵심 내용을 원리적인 측면에서 상세히 설명함으로써, 앞으로 만나게 될 다양한 응용 상황에도 자신 있게 대할 수 있도록 구성했다. 허수에서는 그 정의와 활용은 물론, 허수가 양자 역학과 함께 현대 문명의 한 축을 떠받치고 있는 사례까지도 소개한다.
제5장~7장에서는 수에 관한 더욱 깊은 응용의 사례를 소개한다. 무한히 계속되는 수, ‘세계에서 가장 아름다운 식’이라고 불리는 오일러의 등식, π와 허수 단위 i와 삼각 함수의 관계 등, 수학의 오묘한 원리를 새삼 깨달을 수 있는 사례에 대해 알아본다. 아울러 수식으로 표현되는 다양한 곡선과 그것들이 우리의 실생활에서 이용되는 현장도 함께 제시해, 수학이 우리의 생활과 동떨어진 것이 아님을 다시 확인시켜 준다.
수의 다양한 특성과 응용 사례를 소개하는 이 책이 독자들의 친근한 벗이자 충실한 안내자가 되기를 바라마지 않는다.

● 소수(素數)의 발견 방법·소수의 개수·기묘한 소수·소수를 만드는 식·쌍둥이 소수·짝수와 소수·소수 정리·소수와 현대의 암호의 원리
소수란 2, 3, 5, 7처럼 ‘2 이상의 정수 가운데 1과 자신으로만 나누어지는 수’를 말한다. 흔한 수처럼 보이지만, 소수의 성질에 대해서는 아직 모든 것이 밝혀지지 않았다. 소수는 과연 얼마나 존재할까? 그리고 어떤 출현 패턴을 가지고 있을까? 다양한 수수께끼를 가진 소수의 원리에 대해 알아본다.
한편 소수는 금융 시스템 등 현대 사회를 떠받치는 여러 분야에서 반드시 필요한 암호 설정 수단으로도 이용된다. 소수가 어떤 원리로 암호로 이용되는지에 대해서도 설명한다.

● √2·유리수와 무리수·제곱근의 필산·제곱근의 실용·원주율 π의 원리
1, 2, 3 등의 정수, 그리고 분모와 분자가 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수를 통틀어 ‘유리수’라고 한다. 한편 정수인 분수로 나타낼 수 없고, 소수점 이하의 숫자가 순환하지 않고 무한히 계속되는 수를 ‘무리수’라고 한다. 유명한 무리수에는 1.4142…로 계속되는 √2나 3.1415…로 계속되는 원주율 π 등이 있다.
0.33333……은 왜 1/3인가? √2 같은 무리수의 의미는 무엇인가? 유리수와 함께, 무리수의 소수점 이하로 계속되는 숫자가 만들어 내는 불가사의한 세계를 살펴본다.

● 지수와 로그·생활 주변의 지수와 로그·지수 법칙·로그 법칙·상용 로그 등
우리의 일상생활과 산업에서는 예금의 이자 계산 등 ‘같은 수를 되풀이해 곱셈하는 일’이 많이 생긴다. 그런데 5의 12제곱, 2의 29제곱 같은 계산을 손으로 하는 일은 시간도 걸리고 대단히 번거롭다. ‘곱하는 수를 되풀이하는 횟수’를 의미하는 로그(log)는 이처럼 복잡하고 성가신 계산을 쉽게 하기 위한 수단으로 개발되었다. 로그는 전자계산기가 없던 시대에 자연 과학을 발달시키는 주춧돌이 되었다.
한편 로그와 ‘앞뒤의 관계’에 있는 것이 지수이다. 복잡한 계산을 간단한 계산으로 바꾸어 주는 지수와 로그의 계산 법칙 등이 나오게 된 원리를 살펴본다.

● 허수와 허수 단위 i의 탄생·복소수와 가우스 평면·4차원 시공과 허수·양자 역학과 허수·우주 탄생과 허수 등
우리가 흔히 다루는 수는 모두가 제곱하면 양수가 된다. 그러나 수학이나 물리학의 세계에는 제곱하면 음수가 되는 수가 있다. ‘허수’이다.
허수가 탄생함으로써 수의 세계는 크게 넓어졌다. 나아가 ‘상대성 이론’과 함께 물리학의 양대 이론이라고 불리는 ‘양자론’의 기초가 되는 수식이 탄생했으며, 이를 통해 우주가 탄생한 순간의 모습을 설명할 수도 있게 되었다.
현대인이 사용하는 컴퓨터, 휴대 전화를 비롯해 전자를 활용하는 각종 전자 제품 역시 허수의 도움을 받는 양자 역학 없이는 존재할 수 없다. 기묘한 허수의 성질과, 허수가 가져다준 자연 과학의 발전 상황을 살펴본다.

● 무한과 π·연분수·무한 다중 근호·오일러의 등식·삼각 함수·수식이 만드는 곡선 등
규칙적으로 무한하게 숫자가 이어지는 수식이 있다. 규칙성을 가진 분수가 무한히 더해지는 수식, 분모 속에 같은 분수가 차곡차곡 쌓여 있는 수식, √ 속에 같은 √가 무한히 놓여 있는 수식 등이다.
또 수학에서 독특한 위치를 차지하는 ‘네이피어 수 e’ ‘허수 단위 i’ ‘원주율 π’가 하나의 형태로 통합되고, 거기에 1을 더하면 0이 되는 ‘오일러의 등식’도 있다.
한편 수학은 아름다운 곡선을 만들어 내는 원천이기도 하다. 포물선, 원뿔 곡선, 현수선, 사이클로이드, 로그 나선, 클로소이드, 리사주 곡선의 모습과 수식, 그 곡선들이 나오는 원리를 알아본다.

제1장 소수(素數)의 원리
소수란 무엇인가? / 소수를 발견하는 방법 ①~② / 소수 매미 / 소수의 개수 / 기묘한 소수 / 소수의 식 ①~② / 쌍둥이 소수 / 짝수와 소수 / 소수 정리 / 소수와 암호

제2장 √와 무리수의 원리
√2 / 유리수 ①~② / 무리수 / 제곱근의 필산 / 제곱근의 실용 사례 / 원주율 π

제3장 로그의 원리
지수란 무엇인가? / 지수의 폭발력 / 우리 주변의 지수 / 로그란 무엇인가? / 지수 와 로그의 관계 / 우리 주변의 로그 / 지수 법칙 /로그 법칙 ①~③ / 상용 로그표 ①~②

제4장 허수의 원리
실수의 파탄 / 허수의 탄생 / 허수 단위 @i의 탄생 / 복소수와 가우스 평면 ①~② / 4차원 시공과 허수 / 양자 역학과 허수 / 우주의 탄생과 허수

제5장 무한히 계속되는 수의 원리
무한히 계속되는 직육면체의 높이 / 무한의 덧셈 / 무한과 π / 연분수 ①~② / 무한 다중 근호 / 제타의 세계 ①~②

제6장 세계에서 가장 아름다운 ‘오일러의 식’의 원리
오일러의 식을 감상하자 / π와 i와 e / 삼각 함수 / 테일러 전개 ①~② / 허수 제곱이란? / 오일러의 두 식의 관계

제7장 수식이 만드는 아름다운 곡선의 원리
분수가 그리는 포물선 / 천체 궤도와 원뿔 곡선 ①~② / 가우디 건축과 현수선 / 차바퀴가 그리는 사이클로이드 / 자연계에 나타나는 로그 나선 / 고속 도로의 클로소이드 / 진자가 그리는 리사주 곡선