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수학을 잘 하는 것은 모든 학생과 학부모들의 바람이다.

그러나 왜 수학을 해야 하고 어떻게 해야 잘 하는지에 대한 답은 명확하게 인식되지 못하는 것 같다.
시대가 발전하여 소위 ‘공신’들이 나타나 자신의 생생한 경험담을 바탕으로 공부 방법론이 하나의 이론적 체계를 갖춰나가고 있는 듯하다. 공신의 강연에는 으레 구름 같은 청중이 모여들고 있다.
하지만 공신의 강연을 들어도, 공부 방법론에 대한 책을 읽어도 공부하는 태도나 성과는 크게 달라지지 않는다.
그 이유를 수학에 한정해서 말한다면 수학의 바람직한 공부 방법을 아무리 친절하게 설명해도 그것을 실제 공부하는 과정에 적용하는 능력이 부족하기 때문이다. 예를 들어 유리수의 정의를 알려줘도 0이 유리수인지 아닌지 판단을 하지 못하거나 유리수인 이유를 답하지 못하는 학생이 수두룩하다. 원칙을 실제 문제에 적용하는 능력도 부족하고(연역적 사고), 문제를 푸는 과정에서 새로운 원칙을 스스로 만드는 능력도 갖춰야 하는데(귀납적 사고) 전자를 잘 하는 학생도 많지 않다.
수학의 나침반은 저자의 수학에 대한 철저한 분석과 이해, 학창 시절의 경험을 실전적인 수학에 적용하였다. 학생 시절에는 답을 알지만 정확하게 그 배경을 이해하지 못한 것이 있었고 경우에 따라서는 암기에 의존해 푸는 문제도 있었음을 인정하지 않을 수 없다.
저자가 수학을 가르치면서 가장 먼저 한 일은 수학에 관한 공식과 개념을 논리적으로 분석하여 학생 시절에 미처 이해하지 못한 부분을 완벽하게 이해하는 일이었다. 그동안 사고의 발전 때문인지 사고의 시야가 넓어져서 인지 중고등 수학과정에서 해결해야 할 문제를 완벽하게 정복할 수 있었다.
저자는 계속해서 수학을 한 사람이 아니라서 오랫동안 수학을 떠나 있었는데 수십 년 전에 학생들에게 강의되던 내용과 현재의 수학 사이에 큰 발전이 없다는 사실을 알고 경악하였다. 심지어 수십 년 전의 오류가 여전히 계속되고 있다는 사실을 확인하고 기존 수학교육에 크게 실망하였다.
예를 들면 귀류법의 설명이 아직도 완전치 못하다는 것, 학생 시절에는 몰랐지만 당시에 존재하던 문제의 오류가 여전히 방치되어 있는 경우도 있었다.
가편차와 같이 쉽게 생각할 수 있는 용어조차 수학계에 존재하지 않는다는 사실이 놀라웠다.
결론적으로 학생들이 수학을 어려워하는 것은 학생들만의 책임이 아니라 교과서나 참고서를 쓰는 저자와 수학을 직접 강의하는 교사, 그리고 교육과정을 관리하는 교육부의 공동책임이라는 것을 알게 되었다.
수학의 나침반은 수학에 대한 철저한 분석에 그치지 않고 학생들도 수학에 대한 깊은 분석과 사고를 공유할 수 있도록 노력하였다. 문장으로 설명하는 내용을 정독한다면 혼자서는 갈 수 없는 험준한 산맥을 저자와 같이 등반할 수 있고 깊은 해저를 탐험하는 경험도 할 수 있다. 지식을 단순히 서술하는 것이 아니라 학생들에게 알기 쉽게 전달하려는 저자의 정성을 곳곳에서 느낄 수 있도록 하였다.

수학을 하는 목적은 논리적, 체계적 사고를 전개하는 능력을 갖추기 위함이다.
논리적 사고 능력은 문과 이과 불문하고 반드시 갖춰야 하는 것이다. 수학은 어떤 실용적인 목적을 가지고 있는 과목이 아니며 대학 입학을 위해 어쩔 수 없이 해야 하는 과목이 더욱 아니다.
하지만 현재 많은 학생과 교사들은 맹목적으로 문제풀이에 몰입하고 연산능력에 대한 과도한 관심이 당연시 되고 있다. 시중에 나온 문제집 대다수도 이런 상황에 편승하고 있다고 말해도 지나치지 않을 것이다.
수학의 나침반의 특징을 몇 가지로 요약하면 다음과 같다.

(1) 틀에 박힌 설명이 아니라 창의적인 설명으로 학생들이 주체적으로 수학을 이해하고 분석하는 습관을 가지게 한다. 예를 들어 함수의 기울기를 알려주기 위해 도로의 경사도를 나타내는 교통표지판과 컴퓨터의 방향키를 이용하여 설명한다.

(2) 새로운 용어가 제시되어 있다.
가평균을 이용하여 평균을 구하면 편리하다. 이 과정에서 편차라는 개념과 비슷한 개념인 가편차라는 용어를 사용하였다. 그래프를 설명하면서 그래프의 오른쪽 끝을 그래프의 머리라 이름 지었다. 이 방식은 1차 함수, 2차 함수, 3차 이상의 고차 함수, 지수, 로그함수에도 적용할 수 있다.

(3) 추상적인 공부 방법을 제시하는데 그치지 않고 바람직한 수학공부 비법이 체화되어 있는 설명을 읽다 보면 수학 개념을 체계적으로 체험하고 이해하게 된다.

(4) 아무 생각 없이 받아들이는 수학용어를 분석하면 의외의 소득을 얻는 경우가 많다. 용어가 어떤 이유로 만들어졌는지 설명함으로써 학생들이 개념을 친근하고 깊이 이해할 수 있도록 하였다.

(5) 문제 유형에 최적화된 풀이법을 제시하고 풀이법이 나오게 된 과정을 상세히 설명하고 있다. 예를 들어 많은 학생들이 어려워하는 시계 바늘의 각도 문제를 단 하나의 식으로 해결하게 하고 그 근거를 자세히 설명하였다. 이 풀이법은 수학의 나침반의 독창적인 내용이다. 같은 문제라고 해도 설명방법에 따라 학생들이 느끼는 체감 난이도가 달라지게 마련이다.

(6) 다른 책을 보지 말고 수학의 나침반만 보라는 것이 아니라, 다른 책을 보기 전에 수학의 나침반을 이용하여 다른 문제집을 완전히 해부하는 길을 제시하고자 한다. 저자가 공부하던 때와 달라진 게 있다면 참신하고 다양한 문제집이 많이 출간된다는 사실이다. 좋은 문제집이 너무나 많다. 하지만 이런 문제집을 정복하는 방법을 제대로 제시하는 책이 없다. 수학의 나침반을 미리 공부한다면 좋은 문제집에 있는 많은 문제들을 완전히 내 것으로 만드는 성과를 이룰 수 있을 것이다.

(7) 날이 갈수록 교육과정과 무관하게 수학참고서의 문제들이 심화 경쟁을 벌이고 있고 학생들은 이 추세를 따라가기에 바쁘다.
그렇다고 중학 수학문제를 풀기 위해 고등학교 참고서를 들춰볼 수는 없는 노릇이다. 수학의 나침반은 교육과정을 벗어나지만 학생들이 알아야 하는 내용을 중학생의 눈높이에 맞춰 설명하였다.
문제집의 심화 추세가 계속된다면 수학의 나침반은 개정 작업을 통해서 교육과정을 벗어나는 내용들을 계속 추가할 예정이다. 따라서 수학능력이 부족한 고등학생이 기초를 다지는 용도로 볼 경우에도 많은 도움을 받을 것이다.
수학을 공부하는 과정은 논리적 체계를 세워가는 과정이다. 거대한 건물을 만들어가는 과정이라 할 수 있다.
이 과정에서 필수적인 논리수단이 빠져 있다면 학생들이 자연스러운 논리 전개에 어려움을 느끼는 경우가 발생한다. 골목골목 마다 막다른 골목에 다다르는 경험을 할 수 있다. 막다른 골목을 뚫고 나갈 수 있는 힘을 기르기 위해, 교육과정에 없지만 논리적 사고 전개에 필수적인 내용은 알고 있어야 한다.
정치적, 시대적 이유로 필수적인 내용들이 교육 과정에서 생략되는 현실이 안타깝다. 양심적인 수학교육자의 입장에서 수학적 논리 전개에 필수적인 내용은 학생들이 부담감 없이 이해할 수 있도록 친절하고 알기 쉽게 설명하였다.

제1장 유리수

I. 유리수와 소수
1. 유리수의 정의
2. 분수를 보고 유리수인지 순환소수인지 판별하는 방법

II. 유리수와 순환소수
1. 순환소수
2. 순환소수를 분수로 나타내는 방법
3. 순환소수의 대소관계

제2장 근삿값

I. 근삿값과 오차
1. 참값과 측정값, 근삿값
2. 오차
3. 오차의 한계
4. 참값의 범위

II. 근삿값의 표현
1. 유효숫자
2. 유효숫자를 이용하여 근삿값을 나타내는 방법

III. 근삿값의 계산
1. 근삿값의 덧셈과 뺄셈
2. 근삿값의 덧셈, 뺄셈과 오차의 한계
3. 근삿값의 곱셈과 나눗셈

제3장 식의 계산

I. 단항식의 계산
1. 지수법칙
2. 단항식의 곱셈과 나눗셈

II. 다항식의 계산
1. 다항식의 덧셈과 뺄셈
2. 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈
3. 다항식과 다항식의 곱셈
4. 다항식의 곱셈공식
5. 곱셈공식의 활용
6. 등식의 변형

제4장 방정식

I. 연립방정식
1. 미지수가 2개인 일차방정식
2. 부정방정식
3. 연립방정식

II. 연립방정식의 풀이
1. 연립방정식의 풀이
2. 여러 가지 형태의 연립방정식
3. 연립방정식의 활용

제5장 부등식

I. 부등식과 그 해
II. 부등식의 성질
III. 일차부등식의 풀이
1. 일차부등식
2. 일차부등식의 풀이
3. 절대부등식

IV. 연립부등식의 풀이

1. 연립부등식
2. 연립부등식의 풀이

V. 일차부등식의 활용
1. 부등식의 활용문제를 푸는 방법

VI. 연립부등식의 활용
1. 연립부등식의 활용문제를 푸는 방법
2. 연립부등식의 활용에 관한 문제 유형

제6장 함수

I. 일차함수와 그 그래프
1. 일차함수
2. 일차함수의 그래프
3. 일차함수의 그래프 그리기
4. 일차함수의 식 구하기

II. 일차함수의 활용
1. 일차함수와 일차방정식의 관계
2. 일차방정식 을 그래프로 그렸을 때 나타나는 세 유형
3. 이원일차연립방정식과 일차함수의 그래프
4. 일차함수의 활용