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국내 대표 수학교육 전문가 박영훈 선생님의?‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 수학의 넓은 대지를 문명사적으로 종횡으로 누비며 수학의 본령에 다가가는 기획물이다. 요리책 레시피 수준의 학교수학, 창의성을 상실한 내비게이션 수학을 넘어 새로운 수학의 패러다임을 10권으로 구성된 야심찬 프로젝트 속에 담아낼 것이다.

일찍이 없었던 수학 교양서
수학은 짝짓기에서 탄생하였다

국내 대표 수학교육 전문가 박영훈 선생님의?‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 수학의 넓은 대지를 문명사적으로 종횡으로 누비며 수학의 본령에 다가가는 기획물이다. 요리책 레시피 수준의 학교수학, 창의성을 상실한 내비게이션 수학을 넘어 새로운 수학의 패러다임을 10권으로 구성된 야심찬 프로젝트 속에 담아낼 것이다.
우리는 12년 동안 학교에서 수학을 배운다. 그렇게 긴 시간 동안 엄청난 노력을 기울이건만 숱한 학생들이 수포자가 되고 만다. 어려운 문제를 척척 풀던 아이들이 어느 순간 좌절하게 되고, 수학을 잘해 대학 수학과에 진학한 학생들도 대부분 수포자의 길을 간다. 왜 그럴까? 문제풀이 요령만 죽어라 외웠기 때문이다.
저자는 길을 몰라도 목적지로 데려다주는 내비게이션을 닮았다 하여 이를 ‘네비게이션 수학’이라고 부른다. 수학은 교과서에 담겨 있는 공식이나 문제를 모아둔 것이 아니라 패턴을 발견하는 지적 활동이다. 시인 예이츠는 “교육은 양동이를 채우는 것이 아니라, 불을 지피는 일”이라고 말했다. 학생들이 스스로 사고할 수 있도록 이성의 불을 지펴주어야 하고, 머릿속에서 인류의 고귀한 지적 유산인 인지 지도가 개념화될 수 있어야 한다.
‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 초등학교에 갓 입학하며 배우는 아라비아 숫자와 간단한 곱셈구구에서부터 미적분과 확률에 이르는 수학의 궤적을 새로운 패러다임으로 되짚어가는 기획물이다. 수학 지식이 어떻게 만들어졌으며, 수학자가 어떤 패턴을 발견하여 그 지식을 창조했는지를 문명사적으로 풀어낸 장대한 이야기에 빠져들다 보면 저도 모르게 수학의 본질을 몸에 체득하게 될 것이다.
‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈의 첫 번째인 이 책은 우리가 태어나서 최초로 배우는 수학 기호인 수와 숫자에 관한 내용이다. 누구나 잘 알고 있는 쉬운 내용일 것 같지만 이 책을 통해 무심코 사용하던 수와 숫자의 위력에 새롭게 눈뜨리라고 확신한다. 인간의 수 감각은 동물에 비해 그리 뛰어난 것이 아니다. 그런데도 어떻게 이처럼 거대한 문명을 일굴 수 있었을까? 그 주춧돌의 하나가 바로 숫자이다. 숫자를 토대로 형성된 수 세기 능력이 인류를 문명사회로 이끈 드라마틱한 과정을 만나게 될 것이다. 더욱 극적인 것은 고도의 추상적 수 개념이 두 대상을 짝짓기하는 원시시대의 단순 행위에서 비롯되었을 뿐 아니라, 마침내 19세기에 인류가 무한을 헤아리게 된 원동력도 다름 아닌 이 짝짓기였다는 사실이다.


잃어버린 수학을 찾아서

12년 동안 수학을 배운다. 그렇게 긴 시간과 많은 노력을 들여 고생했건만, 그 내용이 실제 수학이라는 학문의 본질과는 거리가 멀다는 사실을 깨닫게 된다면 정말 허탈할 것이다. 하지만 사실이다. 일반인에게는 잘 알려져 있지 않지만, 대학의 수학과에서도 적지 않은 수포자가 나온다. 그들은 고등학교 때까지 수학을 잘한다고 부러움을 사던 학생들이다. 학문으로서의 수학이 그전까지 배운 수학과 너무 달라서 끝내 좌절하고 만 것이다.
문제는 학교 수학에 있다. 학교에서 가르치고 배우는 수학 지식의 대부분은 2천년 이전의 것으로 고리타분 그 자체이다. 새로운 내용은 미적분과 확률 정도인데, 그마저도 3,4백 년 전의 것이다. 음악으로 치면 고대 바빌로니아의 음악이나 기껏 비발디나 헨델 시대의 바로크 음악에 머무는 셈이다. 모차르트나 베토벤의 음악조차 만나지 못하는 것과 진배없다.
반드시 새로운 것을 가르쳐야 한다고 주장하는 것은 아니다. 비발디의 〈사계〉나 헨델의 〈오라토리오〉가 여전히 고전이듯이, 유클리드의 기하학과 8,9세기 아랍에서 유래한 대수학은 오늘날에도 유용하다. 문제는 이들 옛날 수학의 대부분이 회계나 토지 측량 같은 실용적인 필요에 의해 탄생했다는 점이다. 그래서 ‘이렇게 저렇게 따라 하면 답을 구할 수 있다’는 마치 요리책에 담긴 레시피를 알려주는 수준에 불과하다.
냉정하게 말하면 오늘의 학교 수학은 여전히 요리책 수준에 머물러 있다. 그러니 사람들이 수학 학습을 요리 레시피를 익히는 것쯤으로 인식하는 것은 지극히 당연하다. ‘이 공식에 대입하여 이렇게 식을 조작하면 답이 나온다’는 기계적인 문제 풀이를 수학이라고 생각하는 것이다. 그 결과 많은 시간을 들여 수학을 공부했건만 정작 수학이 무엇인지는 알지 못한다. 분수 계산은 할 수 있어도 분수가 유리수와 어떻게 다른지, 삼각형의 세 가지 합동조건은 줄줄 암송해도 그 의미가 무엇인지는 모른다. 나는 이를 ‘내비게이션 수학’이라고 규정한다. 내비게이션의 지시대로 운전해 정확하게 목적지에 도착했건만, 정작 어떤 길을 따라 운전했는지 알지 못하는 것과 같다.
물론 수학은 문제를 해결하는 학문이다. 표준적인 풀이 방식의 습득은 필요하다. 적용할 공식이나 따라야 할 절차를 찾아보는 것도 필요하다. 하지만 거기에 그쳐서는 안된다. 실제 수학
문제는 숫자를 대입하면 되는 공식이나 풀이가 유사한 문제를 찾아서 해결할 수 없는 경우가 더 많다.
문제가 무엇인지를 생각하는 것, 그것이 답이다. 누군가가 분류해놓은 문제의 유형에 주목하기보다는, 문제가 말하는 것이 무엇인지를 제대로 파악하고 생각해야 한다. 수학 지식의 의미를 파고드는 ‘수학적 사고’야말로 수학의 본질이고 핵심이다. 이제는 내비게이션 수학에서 탈피해야 할 때다. 내비게이션이 지시하는 대로 따라가다가 무심코 지나쳤던 길이 어떤 길이었
는지 되돌아볼 수 있어야 한다. 도중에 왜 마을이 들어섰는지도 잠시 살피고, 전망 좋은 곳에 들러 멋진 경치를 감상하는 여유도 만끽하자.
‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 초등학교에 갓 입학하며 배우는 아라비아 숫자와 간단한 곱셈구구에서부터 미적분과 확률에 이르는 수학의 궤적을 새로운 패러다임으로 되짚어가는 야
심 찬 기획물이다. 수학의 넓은 대지를 문명사적으로 종횡으로 누비며 수학의 본령에 다가가는 이 같은 시도는 국내에서는 물론 처음이거니와 해외에서도 사례를 찾기 어려울 것이다. 이 시리즈가 더 나은 가르침을 주고 싶은 교사들과 교과서 너머의 지식에 목말라 하는 학생들, 그리고 삶의 여정 속에서 수학 지식의 유용함을 믿는 신실한 이들에게 귀한 자양분이 되었으면 좋겠다. 부디 비틀스의 음악에서 베토벤의 선율을 발견할 수 있기를!


책머리에

0, 1, 2, 3, 4, … 아라비아 숫자는 우리가 태어나서 최초로 배우는 수학 기호이다. 숫자는 어떻게 탄생하였을까? 수와 숫자는 어떤 차이가 있을까? 이 책은 이런 질문에 답을 구하는 내용이다.
짝짓기라는 단순한 행위가 수 개념을 낳고, 마침내 아라비아 숫자의 탄생으로 이어졌다. 더욱 놀라운 것은 19세기에 인류가 무한을 헤아리게 된 원동력도 다름 아닌 이 짝짓기였다는 사실이다.
인간의 수 감각은 동물의 수 감각과 비교할 때 그리 뛰어나지 않다. 그런데도 거대한 도약을 통해 빛나는 문명을 일굴 수 있었던 것은 무엇 때문일까? 그 주춧돌의 하나가 바로 숫자였다. 숫자를 토대로 형성된 수 세기 능력이 인류를 문명사회로 이끈 드라마틱한 과정을 이 책에서 만나게 될 것이다.
이어지는 내용은 아라비아 숫자의 정치학이다. 우리가 일상적으로 아라비아 숫자를 사용하게 되기까지 동서양의 얽히고설킨 역사를 문명사적으로 반추해본다. 누구나 재미 있게 술술 읽을 수 있는 내용이다.
하지만 자연수에 대한 내용은 힘겨운 도전을 각오해야 할 것 같다. 특히 수학적 기호로 이루어진 페아노 공리는 매우 건조하고 딱딱하다. 쉽게 풀이하려 노력하였지만 넘기 어려운 장벽으로 느끼는 사람이 꽤 될 것이다. 설령 내용을 완벽히 이해하지 못하였다 하더라도 실망할 것은 없다. 수학이라는 학문의 실체를 실감하는 것만으로도 가치가 있기 때문이다.
고등학생이라면 ‘수학적 귀납법’에 중점을 둘 것을 권하고 싶다. 교과서나 참고서에서는 찾아보기 어려운 설명이 사고의 폭을 확장시켜줄 것이다. 그리하여 귀납이라는 이름에도 불구하고 연역적 추론의 한 형태라는 점을 파악할 수 있다면, 고등학교 수학의 진면목을 이해하는 데
큰 도움이 될 것이다.
마지막 에필로그는 형식에 걸맞지 않게 길이가 무척 길다. 수학사상 가장 위대한 발견의 하나인 칸토르의 무한 개념이 원시인들이 사용한 짝짓기에서 비롯되었다는 것은 얼마나 흥미로운가. 수학의 독창성이 무엇인지 감상할 수 있는 기회가 되었으면 좋겠다.
아무쪼록 이 책을 통해 그동안 무심코 사용하던 수와 숫자의 위력에 새롭게 눈뜨는 계기가 되길 기대한다.

프롤로그 : 우주에도 숫자가 있을까

1. 숫자의 탄생
숫자의 힘
모든 것은 짝짓기에서 비롯되었다
일대일 대응 속에 깃든 숫자의 원형
수 감각과 수 세기는 다르다
까마귀와 다르지 않은 인간의 수 감각

2. 숫자에서 시작된 문명
아라비아 숫자, 최초의 수학 기호
문명의 충돌 : 아라비아 숫자와 한자 숫자
두 개의 수 언어를 배워야 하는 우리 아이들
아리비아 숫자의 정치학
숫자라고 모두 같을까
순서수, 연산의 기초

3. 자연수는 정말 자연스러운가
0은 왜 자연수가 아닐까
자연수만의 독특한 성질
페아노의 공리
1 +1은 왜 2인가
생물학적 유전을 연상시키는 수학적 귀납법
무한을 헤아리는 수학적 귀납법

에필로그 : 무한의 세계를 탐구하는 도구, 짝짓기

“단일 파장 신호입니다. 이를 2진법으로 가정하고 10진법으로 전화시켜봅시다. 어떤 순서죠? 그냥 암산으로 해봅시다. 2, 3, 5, 7, 11, … 59, 61, 71 … 모두 소수가 아닌가요? 1과 자기 자신 이외에는 어떤 수로도 나누어지지 않는 수들의 나열. 자연적인 천체물리 현상에서는 이런 식의 소수들이 나타날 리 없어요. 수학만이 진정한 우주의 공통 언어라는 것을 명심하세요.” -19쪽

인류가 수 개념과 숫자를 사용하게 된 것은 실제 삶에서 제기되는 문제를 해결하기 위한, 즉 필요성을 충족시키기 위한 것이었다. 아이디어를 처음 제시한 사람이 누구인지는 모른다. 그 옛날 원시시대의 어느 양떼지기일 수도, 동물을 잡아오던 사냥꾼일 수도, 이웃 부족과의 싸움을 이끌던 족장일 수도 있다. 그가 누구이든 어떤 대상의 개수를 세어 수량을 파악할 도구가 필요했다. 차츰 수 개념이 발달하고 마침내 숫자가 발명되었다. 그 첫걸음은 ‘일대일 대응’이라는 원리의 발견이었다. -133쪽

‘일대일 대응’을 적용한 개수 세기는 우리 삶을 둘러싼 일상적 대상을 뛰어넘어 무한히 확장되었다. 수학자라는 호칭을 가진 일군의 몽상가들이 무한의 개수를 세어보려는 엉뚱한 발상과 시도를 감행하였던 것이다. 무한은 끝이 없는 상태이다. 대상의 실체도 뚜렷하지 않고, 그 끝도 알 수 없다. 그런데 무한의 개수를 세다니! ‘무한의 개수’라는 용어 자체가 온당하기나 한 것일까? -134쪽


프롤로그 : 우주에도 숫자가 있을까

어느 날 갑자기 이 세상에서 음악이 사라져버린다면? 엉뚱한 가정이지만, 아마도 우리의 삶은 적막하고 무미건조하기 그지없을 것이다. 지루하고 따분한 나머지 우울증 환자들이 속출할지 모른다. 애초부터 음악을 몰랐다면 그냥 그러려니 하고 살아갈 수 있겠지만, 즐기던 음악을 더 이상 듣지 못하는 세상은 정말 끔찍할 것이다.
음악이 없는 영화를 상상하면 좀 더 실감이 날까? 물론 〈위대한 침묵〉처럼 자연의 소리 외에는 어떤 소리도 들을 수 없는 영화도 있다. 알프스 산맥 깊은 계곡에 자리한 카르투지오 수도원의 일상을 담은 다큐멘터리 영화다. 메마르고 삭막해진 영혼을 울리는 감동적인 영화이지만, 감상을 위해서는 무척이나 큰 인내심을 필요로 한다. 세 시간 가까운 상영 시간 동안 한 번 이상 꾸벅 졸지 않는 사람이 과연 몇이나 될까? 음악이 없기 때문이다.
그렇다고 모든 영화가 〈겨울왕국〉의 ‘렛잇고’Let it go나 〈첨밀밀〉의 ‘첨밀밀’처럼 반드시 주제가가 있어야 한다는 말은 아니다. 몇몇 장면에서 영상과 함께 흐르는 짤막한 배경음악이면 충분하다. 사실 영화의 배경음악은 잔잔히 흐르는 강물 위를 둥실 떠내려가는 자그마한 나뭇잎과 같이 존재감을 잘 드러내지 않는다. 흥미진진한 영화 속 이야기에 쏙 빨려 들어가 음악이 있었는지조차 의식하지 못하는 경우도 많다. 그럼에도 음악은 영화의 감동과 깊이를 더해준다. 가상의 세계를 그린 영화에서도 그러하니, 우리의 실제 삶에 음악이 없다는 것은 도무지 상상할 수조차 없다.

이번에는 숫자가 없는 삶을 상상해보자. 어느 날 갑자기 이 세상에서 숫자가 사라진다면, 그래서 더 이상 숫자를 사용할 수 없게 된다면 어떻게 될까? 음악하고는 비교가 되지 않을 것이다. 아마도 지금 우리가 서 있는 곳에서 한 발자국도 나아갈 수 없을지 모른다. 지갑 속의 지폐와 동전은 종잇조각, 쇳조각으로 변해버린다. 지금이 몇 시인지 가늠하는 것은 물론이거니와, 현재 어디에 있는지조차 알기 쉽지 않다. 우리의 존재 자체가 숫자로부터 벗어날 수 없게끔 숫자의 세계에 꽁꽁 묶여 있다. 단지 제대로 의식하지 못하고 있을 뿐이다.
주위를 둘러보라. 만일 숫자가 없다면 살고 있는 아파트가 몇 동 몇 호인지 혹은 몇 번지가 내 집인지 어찌 알 수 있는가. 아파트나 고층건물의 건축은 아예 불가능하다. 버스며 열차도 속도를 맞출 수 없어 큰 혼란에 빠질 것이다. 아니 버스나 열차가 아예 있을 리 없다.
숫자의 쓰임새에 대하여 너무 거창하게 생각하지 말자. 거울에 비친 우리의 모습을 바라보는 것으로 충분하다. 여러분이 걸친 바바리코트는 과연 숫자와 무관할까? 사이즈가 얼마인지, 폴리에스터와 면이 어떤 비율로 혼합되었는지, 가격은 얼마인지 바바리코트 하나에도 숫자가 가득 들어 있다. 손에 들고 있는 핸드백이며 시력이 떨어져 얼마 전에 새로 맞춘 안경, 신고 있는 구두... 이 모든 것들은 숫자가 없었다면 수중에 들어올 수조차 없었을 것이다.
복잡한 도시생활에서 벗어나고 싶어 깊은 산속에 들어가 사는 사람은 어떨까? 현대 문명과는 담을 쌓고 지낼 수 있을지 모르겠다. 하지만 숫자로부터 도피할 수는 없다. 중천에 떠 있는 해를 바라보면 저도 모르게 몇 시쯤인지 가늠하게 되고, 자급자족하기 위해 밭을 갈거나 하다못해