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스퀘어드 시리즈 제1권『네모 속의 수학』은 초·중·고등학교 12년 내내 무조건 외우며 시험용으로만 공부했던 수학에 대한 해북은 관점을 재고해보기를 권한다. 그동안 뭐가 뭔지 몰라 답답하기만 했던 수학이, ‘아하’ 하고 무릎을 치게 만드는 재미있는 공부로 뒤바뀔 것이다. 수학에 갓 관심을 갖기 시작한 중고생은 물론, 이른바 ‘수포자’ 학생과 문과 출신 성인 등에게 두루 권할 만한 책이다.

이새의 ‘스퀘어드’ 시리즈
부모에게는 ‘지식’이 되고, 자녀에게는 ‘학습’이 되는 책!

“이 작은 네모(squared) 안에 누구나 알아야 할 핵심 지식이 있다”

우리가 살아가는 세상의 세 가지 원리, 수학·물리학·심리학!
과학 공부는 이제 ‘생활의 공부’가 되어야 한다.

영국 퀀텀 북스(Quantum Books) 사에서 전문가들의 권위 있는 글과 다채로운 컬러 일러스트레이션, 인포그래픽 등을 함께 담아 기존의 복잡한 개념을 보다 명확하고 참신하게 설명한 ‘교양과학 시리즈’다. 이새출판사에서 ‘이새 스퀘어드 시리즈’로 단장해 수학·과학·심리학 세 권을 2016년 12월에 우선 선보인다.
손안에 들어가는 편리한 사이즈로, 한 권의 책을 10개의 장으로 나누고 각 장마다 다시 핵심 개념 10가지를 담았다. 초등학생부터 성인까지, 우리를 둘러싼 주변 세상을 더 과학적으로 또 합리적으로 이해하고 싶은 모든 이에게 재미있으면서도 꼼꼼한 개론을 제공한다. 본문 왼쪽에는 개념을 설명하는 텍스트가, 오른쪽에는 내용 이해를 돕는 삽화나 사진 혹은 인포그래픽이 곁들여진다.

우리가 알고 싶은 네모 속의 수학(이새 스퀘어드 시리즈 01)

피타고라스정리부터 나비효과까지, 일차방정식에서 연속체 개념까지…
그림과 함께 ‘제대로’ 이해하는 수학 절대개념 100가지!

초·중·고등학교 12년 내내 무조건 외우며 시험용으로만 공부했던 수학, 그러나 이새출판사의 신간 《우리가 알고 싶은 네모 속의 수학》은 수학에 대한 그런 해묵은 관점을 재고해보기를 권한다. 그동안 뭐가 뭔지 몰라 답답하기만 했던 수학이, ‘아하’ 하고 무릎을 치게 만드는 재미있는 공부로 뒤바뀔 것이다. 수학에 갓 관심을 갖기 시작한 중고생은 물론, 이른바 ‘수포자’ 학생과 문과 출신 성인 등에게 두루 권할 만한 책이다.

사실 우리 인간은 문명이 시작되면서부터 어떤 형태로든 수학을 사용해왔으며, 덕분에 지난 1,000년간 수학은 단순한 도구 그 이상으로 발전을 거듭해했다. 이제 수학은 가장 완벽한 과학의 언어로 통한다. 그러한 수학 언어는 우리의 디지털 세상에 동력을 제공하고 놀랍도록 리얼한 컴퓨터 게임과 영화 이미지들을 만들어낼 수 있게 해준다. 우리를 우주로 데려가기도 하고 복잡한 의료장비를 개발할 수 있게도 한다. 그 모든 작업을 할 때 우리는 수학에 의존한다. 그만큼 수학은 우리가 살고 있는 세상을 이해하고 설명하는 데 효과적이다. 시각적이건 물리적이건 또는 단지 머릿속에 있는 것이건 간에 어떤 모양과 패턴을 조사하거나 설명하려 할 때마다 우리는 종종 자기도 모르게 수학적 아이디어를 적용한다.

이 책은 수학이 담고 있는 바로 그러한 다채로운 지식 가운데 핵심만 100가지를 가려 뽑아 설명한다. 핵심 지식으로서 필수적인 지식에다, 최신 연구 성과까지 반영한 것들이다. 어떤 면에서는 유용하고 또 어떤 면에서는 재미있거나 아름답거나, 그냥 ‘신기한’ 어떤 것들을 담고 있다. 수학의 기본 개체(basic objects), 곧 수와 도형으로부터 놀라운 기하학, 더 높은 단계의 논리와 무한대의 공간으로 독자를 데려가는 책이다. 이 책의 열 개 장(章)은 각각 다시 ‘재미나게’ 쪼개진 열 가지 수학 개념을 소개한다. 첫 번째 주제는 소화하기 쉬운 것, 이를테면 단순한 삼각형처럼 친숙한 것이다. 하지만 각 장마다 뒤로 갈수록 수학적 지식의 범위를 넘나드는 중요한 결과나 사건으로서 깊이 음미해보아야 할 정보까지 담아낸다. 여기에는 중요한 미해결 문제가 포함되어 있으며, 그중 몇몇은 지난 수세기 동안 수학자들을 헷갈리게 만들 정도로 난해한 문제들이다. 그러나 독자가 원하기만 한다면, 이 모든 수학적 지식을 이 책에서 터득해나갈 수 있다.

들어가며

1장. 수
1.1 수의 선 1.2 위치수체계 1.3 거듭제곱 1 .4 과학적 표기법 1.5 소수 1.6 거대소수 1.7 암호방식 1.8 유리수와 무리수 1.9 복소수 1.10 미해결 소수 문제

2장. 도형
2.1 삼각형 2.2 다각형 2.3 원 2.4 삼각법 2.5 단측 도형 2.6 기하학의 유클리드 공리 2.7 쌍곡기하학 2.8 위상기하학 2.9 고차원 2.10 푸앵카레 추측

3장. 방정식
3.1 변수와 상수 3.2 데카르트 좌표 3.3 이차방정식 3.4 삼차방정식 3.5 오차방정식 3.6 다항식 3 .7 멱함수 법칙 3.8 복리와 e 3.9 오일러의 등식 3.10 페르마의 마지막 정리

4장. 극한
4.1 피보나치와 φ(파이) 4.2 극한 4.3 극한의 정의 4.4 변화율과 미적분 4.5 기하급수 4.6 무한합과 수렴 4.7 기이한 무한합들 4.8 제논의 역설 4.9 연분수 4.10 미적분은 누가 만들었나?

5장. 확률
5.1 대칭과 빈도 5.2 무작위성과 정규성 5.3 확률의 법칙 5.4 베이즈의 정리 5.5 대수의 법칙 5.6 정규분포 5.7 무작위 대조 실험 5.8 유의수준 5.9 상대위험도 5.10 검사의 오류

6장. 곡선
6.1 현수선 6.2 타원 6.3 쌍곡선 6.4 접선 6.5 접촉원 6.6 표면 곡률 6.7 타원곡선 6.8 극소곡면 6.9 자이로이드 6.10 일반상대성이론

7장. 패턴과 대칭
7.1 변화에 대한 저항으로서의 대칭 7.2 강체운동 7.3 프리즈 패턴 7.4 벽지 패턴 7.5 타일링 7.6 비주기 타일링 7.7 대칭 해(解) 7.8 뇌터 정리 7.9 그룹이론 7.10 유한단순그룹

8장. 변화
8.1 재귀관계 8.2 끌개 8.3 주기성 8.4 나비효과 8.5 카오스 8.6 날씨 예측 8.7 망델브로 집합 8.8 삼체 문제 8.9 미분 방정식 8.10 나비에스토크스 방정식

9장. 논리
9.1 논리 규칙 9.2 공리체계 9.3 페아노 공리 9.4 진리표 9.5 불 대수 9.6 귀납적 증명 9.7 모순에 의한 증명 9.8 컴퓨터 증명 9.9 괴델의 불완전성 정리 9.10 어떤 공리들?

10장. 무한대
10.1 잠재적 무한과 실재적 무한 10.2 자연에서의 무한대 10.3 프랙털 10.4 집합원의 개수 10.5 가산 무한대 10.6 유리수와 무한대 10.7 비가산 무한대 10.8 실수와 무한대 10.9 칸토어의 낙원 10.10 연속체 가설

용어 설명
찾아보기

보통 종이띠 한 장은 앞면과 뒷면 두 개의 면을 가지고 있다. 그런데 뫼비우스의 띠(M?bius strip)는 몇 개의 면을 가지고 있을까? 뫼비우스의 띠를 만든 후 중심을 따라 펜으로 선을 그려보자. 처음 시작한 점에 닿을 때까지 계속 그려보라.
종이띠를 비틀지 않고 양쪽 끝을 연결해놓으면 띠의 바깥쪽 고리나 안쪽 고리 중 단지 한 고리만을 그릴 수 있을 것이다. 하지만 뫼비우스의 띠를 가지고는 어떤 두 점도 선으로 이을 수 있다. 두 개의 점이 원래 종이띠의 각각 반대 면에 있더라도 마찬가지다. 따라서 뫼비우스의 띠는 바깥쪽 면이나 안쪽 면이 따로 없다. 곧 한 면만 가지고 있다.
_ 46쪽, [2.5 단측 도형]에서

프랑스의 수학자 르네 데카르트(Rene Descartes, 1596∼1650)는 어느 날 벽 위의 파리를 바라보며 침대에 누워 있었다(이야기는 그렇게 흘러간다). 그는 그 파리의 위치를 어떻게 하면 가장 잘 설명할 수 있을까 고민하다가 오늘날 데카르트 좌표라 불리는 것을 창안했다.
평면 위의 한 점(예를 들면 벽 위에 있는 파리의 위치)을 구체화하려면 가장 먼저 교차하는 두 개의 수직선을 그리고 그 교차점을 ‘0’이라 한다. 이후 각 점은 두 개의 좌표로 결정되는데, 첫 번째 좌표는 ‘0’으로부터의 수평거리, 두 번째 좌표는 ‘0’으로부터의 수직거리다. 통상 첫 번째 좌표는 x-좌표, 두 번째 좌표는 y-좌표라 부른다.
그러면 대수적 방정식의 좌표는 어떻게 나타낼까? 수식 y=2x를 가정해보자. 그리고 이 수식을 만족시키는 좌표 (x, y)의 모든 점을 찾아보라. 다시 말해, (x, 2x)의 형태를 가진 좌표의 점을 찾아보자. 점 (1, 2)와 (2, 4)가 해당되듯이 점 (0, 0)도 여기에 부합한다. 조금 더 생각해보면 이 수식을 만족시키는 점은 모두 (0, 0), (1, 2), (2, 4)를 연결하는 직선 위에 있다. 사실 그 방정식이 이 직선을 정한다.
_ 64쪽, [3.2 데카르트 좌표]에서

우리는 삶의 모든 곳에서 변화율을 경험한다. 속도는 거리의 변화율이고, 가속은 속도의 변화율을 설명하며, 힘은 물체에 대한 작용의 변화율이다. 그리고 모든 변화율은 시간 단위로 측정된다.
변화율을 측정하는 것은 시간을 어떤 단위로 나누는 것을 포함한다. 예를 들어 당신이 사다리를 오르는 데 걸리는 총시간이 하나의 시간 단위가 될 수 있다. 이때 당신이 사다리를 오른 거리에 대한 변화율은 단순히 그 시간 단위당 올라간 거리다. 또 그 거리를 사다리의 각 계단 단위로 나누어 시간 단위를 더 잘게 나눌 수도 있다. 그러면 당신이 지나간 거리에서의 변화율은 ‘새로운 시간 단위당 사다리의 가로대 사이의 길이’다. 만약 각 계단을 오르는 데 같은 양의 시간이 결렸다면 그 변화율은 일정할 것이다. 하지만 피곤해져서 더 천천히 오르게 되었다면 계속 앞으로 나아가더라도 지나간 거리에서의 변화율은 감소할 것이다.
미적분은 어느 순간에서든 변화율을 계산할 수 있을 때까지 시간단위가 극소량(infinitesimal)이 되어 아주 작아질 수 있도록 하면서 어느 수량의 변화율을 계산하는 과정이다.
_ 92쪽, [4.4 변화율과 미적분]에서

어떤 방이 사람과 의자로 가득 찼다고 상상해보자. 만약 모든 사람이 각각 한 개의 의자에 앉아 있고 남는 의자가 하나도 없다면 의자의 수가 사람의 수만큼 많은 것이다.
이 같은 아이디어를 수학자들은 개체들의 무한집합들에 적용한다. 예를 들어 의자들의 무한집합과 사람들의 무한집합. 한 집합의 각 개체를 다른 집합의 각 개체와 짝을 맞추는 방법이 있다면, 그래서 각 집합에 남아 있는 개체가 없다면, 그 두 집합은 크기 또는 집합원의 개수(cardinality)가 같다고 말한다. 그런데 이것은 말은 되지만 이상한 결과로 이어질 수 있다. 짝수 집합의 짝수를 자연수 집합의 자연수와 아래와 같이 정확히 짝지을 수 있다는 것에 주목하자. 2는 첫 번째 짝수이므로 1과 짝이 될 수 있다, 4는 두 번째 짝수이므로 2와 짝이 될 수 있다, 6은 세 번째 짝수이므로 3과 짝이 될 수 있다, 이렇게 계속된다. 위의 아이디어에 따르면 이것은 짝수의 집합이 모든 양의 자연수 집합과 집합원의 개수가 같다는 것을 의미한다. 비록 우리 생각으로는 짝수의 개수가 자연수의 절반에 그쳐야 할 것 같지만 말이다! 이상한 결과지만, 수학자들은 이를 받아들였다.
_ 236쪽, [10.4 집합원의 개수]에서