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나비효과의 수수께끼 : 프랙탈 카오스와 친해지기

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  • 저 : 장톈룽
  • 역 : 한수희
  • 출판사 : 꾸벅
  • 발행 : 2017년 01월 02일
  • 쪽수 : 288
  • 제품구성 : 전1권
  • ISBN : 9788990636836
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책소개

경쾌하고 재미있는 언어, 친근하고 생동감 넘치는 그림 해설로 이론의 딱딱한 틀을 깨고 과학의 신비를 깨닫게하는 과학교양서!

이 책은 먼저 각종 프랙탈의 기초 지식과 특성을 소개한다. 프랙탈 드래건, 코흐의 눈송이 등 선형 반복법으로 생기는 프랙탈과 비선형 방법으로 생기는 만델브로트 집합, 줄리아 집합 등을 아우른다. 이런 사례들을 통해 상사성 및 프랙탈 차원의 소개하고, 카오스 현상의 발전 역사를 따라 푸앵카레의 삼체문제, 로렌츠의 나비효과 등 이야기와 흥미로운 뉴스거리를 펼쳐 신기한 카오스 이론의 세계로 독자를 안내한다. 더 나아가 간단한 혼동 시스템인 로지스틱 사상(Logistic map)에 대한 탐구를 통해 분기이론, 안정성, 파이겐바움 상수 등 개념을 자세히 소개한다.
후반 부분에서는 각 분야에서 프랙탈과 카오스의 응용과 전망, 플랙탈과 카오스의 관계, 프랙탈 및 카오스와 밀접한 관련을 맺고 발전해 온 비선형 과학에 대해 소개한다.
"고기를 잡아주기보다 고기 잡는 법을 가르쳐라"라는 말도 있듯이 과학교양 서적은 지식을 소개하는 것도 당연히 중요하지만, 과학연구의 방법을 전수하는 것은 더욱 중요한데, 이 책은 그러한 취지를 극명하게 드러낸다. 저자는 과학을 소개하는 한편, 과학가들이 중대한 발견을 내놓을 때의 사고 과정까지 심혈을 기울여 소개함으로써 독자를 함께 생각하는 자리로 안내하고, 선인들의 경험에서 얻은 심오한 깨달음으로 독자의 호기심과 창의력을 자극한다.
부담 없고 흥미로운 문체에 친숙하고 생동감 있는 그림을 더해 심오하고 난해한 과학이론을 쉽게 풀어내어 남녀노소 누구나 재미있게 읽고, 수학과 물리학의 무궁무진한 매력에 빠질 수 있도록 히는 문학성과 이론성을 겸비한 과학교양서다.

목차

서문 1 - 과학도 재미있을 수 있다
서문 2 - 신기하고 재미있는 카오스 이야기

프롤로그

1장 아름다운 프랙탈
1.1 흥미진진한 드래건 커브
1.2 간단한 프랙탈
1.3 비정수 차원은 어떻게 나왔을까?
1.4 다시 드래건 커브로
1.5 자연 속의 프랙탈
1.6 프랙탈의 아버지
1.7 악마의 집합체 - 만델브로 집합
1.8 줄리아 이야기

2장 신기한 카오스
2.1 라플라스의 악마
2.2 혼란에 빠진 로렌츠
2.3 이상한 끌개
2.4 나비효과
2.5 시대를 초월한 푸앵카레
2.6 삼체문제와 에피소드
2.7 생태계의 번식과 카오스
2.8 질서에서 카오스로
2.9 카오스의 '불안정성'

3장 잘난척쟁이 프랙탈 천사
3.1 프랙탈 음악
3.2 프랙탈 아트
3.3. 이미지 처리에 활용하는 프랙탈
3.4 인체의 프랙탈과 카오스

4장. 천사와 악마는 한 가족
4.1 만변의 불변
4.2. 악마의 집합체
4.3 카오스 게임으로 프랙탈 만들기
4.4. 카오스와 산시山西라면

5장. 카오스 악마의 활약
5.1 단진자도 카오스다
5.2 카오스 회로
5.3 주식시장의 바다에서 카오스 찾기
5.4 CDMA 통신 분야의 카오스 응용

6장. 1은 2를 낳고, 2는 3을 낳고, 3은 만물을 낳는다
6.1 3이 카오스를 낳는다
6.2 자기조직화 현상
6.3 솔리톤 이야기
6.4 생명 게임
6.5 목수 눈의 달

참고문헌
수학 놀이에서 현실 세계로

본문중에서

'못이 모자라면 편자가 풀리고 편자가 풀리면 군마가 넘어진다. 군마가 넘어지면 기사가 떨어지고 기사가 떨어지면 전쟁에 실패하며 전쟁에 실패하면 국가가 망한다'는 영어 속담이 있다.
소동파는 시에서 '용광사의 대나무 두 장대를 찍어 영북으로 가지고 돌아가 만인에게 보여주고 대나무 사이의 한 방울 조계수가 강서의 십팔 탄을 일으키네斫得龍光竹兩竿, 持歸嶺北萬人看, 竹間一滴曹溪水, 漲起江西十八灘'라고 했다.
'작은 실수가 큰 잘못을 초래한다'는 성어도 있다.
이 말들을 현대 과학에서 유행하는 말로 정리하면 '나비효과'다.
'나비효과'가 무엇인가? 이 단어를 처음 사용한 사람은 1960년대에 비선형 작용을 연구하던 미국 기상학자 에드워드 로렌츠다. 원래는 일기예보의 초기 조건에 대한 민감성을 뜻한다. 초기값에서 아주 작은 편차가 엄청난 결과의 차이를 가져온다는 의미다.
일례로 1998년에 태평양에서 발생한 '엘니뇨' 현상을 기상학자들은 대기의 운동이 초래한 '나비효과'라고 말했다. 이를 테면 미국 뉴욕의 나비 한 마리가 날갯짓을 하면 대기 중에 연쇄 사건들을 일으킬 수 있고, 향후 어느 날 중국 상하이에서 폭풍우가 나타날 수 있다.
비유가 조금 지나칠는지도 모르겠다. 하지만 어쨌건 결과가 초기값에 굉장히 민감할 수 있다는 핵심은 정확히 짚었다. 그래서 요즘 여러 업계에서 나비효과를 즐겨 사용한다.
보잘것 없는 작은 변화가 큰 재난을 빚을 수 있다. 유명인의 사소한 사건은 한 사람이 열 사람에게, 열 사람이 백 사람에게 전하면서 완전 딴판인 큰 뉴스거리로 변할 수 있고, 혹자는 이 역시도 '나비효과'에 비유한다.
주식시장에서 컴퓨터를 통해 빠른 속도로 진행하는 프로그램 매매는 온라인 피드백과 조정을 통해 때로는 아주 사소한 나쁜 소식을 전하고 확대함으로써 재난 수준으로 주가를 하락시키고 '블랙 먼데이', '블랙 프라이데이' 등 하루짜리 재앙을 초래한다. 더 심한 경우도 있다. 소규모의 경제적 혼란은 확대되어 거대한 금융 위기로 번질 수 있다. 이때 증권 가에서는 이를 '나비효과'라고 한다.
히틀러가 어린 시절에 큰 병에 걸려 요절했다면 1933년에 2차 세계대전이 일어났겠느냐며 조금 뜬금 없는 비유로 사회 현상 중의 '나비효과'를 설명하는 사람도 있다. 답을 내놓기 어려운 문제지만, 분명한 건 적어도 전쟁이 진행되는 과정은 많이 달랐을 것이다.
'나비효과'라는 말은 많은 문인들과 작가들의 놀라운 상상력을 자극해 SF 소설이나 영화에 이용되기도 한다.
이 원시적인 과학 용어에는 대체 어떤 과학의 신비가 숨어있는 것일까? 나비효과와 관계가 있는 학문 분야는 어떤 것들이 있을까? 그 과학 분야의 영역, 현황과 미래는 어떨까? 어떤 인물들이 활약했을까? 그들은 왜 이렇게 이상한 용어를 만들었을까? 나비효과와 관련된 과학적 사고와 개념이 우리의 일상생활과 정말 관계가 있을까? 그 개념들은 현재 비약적으로 발전하고 있는 첨단 기술에서 어떤 모습으로, 어떻게 응용될까?
꼬리에 꼬리를 무는 이 문제들에서 출발해 스토리텔링의 형식으로 가볍고 즐겁게, 과학기술 분야에서 가장 아름답고 가장 신기한 곳으로 여러분을 안내하려고 한다. 그리고 다채로운 수학과 물리의 세계 중에서도 특히 아름다운 걸작으로 꼽히는 나비효과의 신비, 프랙탈과 카오스 이론을 선보이고자 한다.
이 책을 나의 가족인 남편 장추, 아들 장강, 딸 장이와 장쉬안에게 바친다.
장톈룽
(/ 프롤로그 중에서)

1.2 간단한 프랙탈

"승우 대단하다!" 민수가 말했다. "봐봐, 네가 말한 대로 수학에 정말 비정수 차원이란 게 있다면......"
정작 승우는 실망한 척하며 농담을 했다. "에이, 내가 백 년이나 늦게 태어난 게 아쉽네. 아니면 내가 비정수 차원을 제일 먼저 제기한 사람이었을 건데......"
원래 비정수 차원인 기하학 도형은 1890년에 이탈리아의 수학자인 페아노G. Peano가 제기했다. 당시에 페아노는 기괴한 곡선을 만들었다.
[그림 1.2.1]의 방법으로 만든 도형이었다. 이 방법을 써서 마지막에 접근하는 한계곡선은 정사각형 안의 모든 점을 통해 정사각형 전체를 채울 수 있어야 했다. 이 말은 그 곡선이 결국에는 전체 정사각형이라는 것이며, 면적이 있어야 한다는 뜻이다! 이 결론은 당시의 수학계에 충격을 안겨 주었다. 1년 후에 대수학자인 데이비드 힐버트David Hilbert도 동
일한 성질의 곡선을 만들었다. 이 곡선의 독특한 성질에 수학계는 불안에 떨었다. 이런 식으로 간다면 곡선과 평면을 어떻게 분간해야 할까? 이 특이한 기하학 도형 앞에서 당시의 고전 기하학은 무력했고 어떻게 대처해야 할지 알 수 없었다.
1.1에서 소개한 드래건 커브를 비롯해 이 기괴한 곡선들은 프랙탈의 특수한 예다. 다양한 반복법으로 각양각색의 여러 프랙탈들을 만들 수가 있다. 페아노 이후에 과학자들이 프랙탈을 연구하면서 '프랙탈 기하학'이라는 기하학의 새로운 갈래가 생겼다.
프랙탈fractal은 유클리드 기하학의 원소와 다른 기하학 도형이다. 1.1에서 예로 든 드래건 커브처럼 간단한 프랙탈 도형은 반복법을 통해 쉽게 만들어진다. 드래건 커브 외에 더 간단해 보이는 프랙탈 곡선도 많다. [그림 1.2.2]의 코흐 곡선이 그 예다.

코흐Niels von Koc h, 1870-1924는 스위스의 명문 귀족 가정에서 태어난 스위스의 수학자이다. 코흐의 할아버지는 스위스의 사법관을 지냈고 아버지는 스위스 황실 근위 기병단의 중령이었다. 당시 스위스의 귀족 계층에서는 수학과 철학을 연구하는 것이 유행했다. 현재 세계적으로 잘 알려져 있는 노벨상은 바로 스위스 황실 과학원에서 특별히 꾸린 선정위원회가 심사와 수여를 담당한다. 1887년에 17세였던 코흐는 스톡홀름대학교에 합격했고 유명한 함수론 전문가인 미타그레플러Gosta Mittag-Leffler를 스승으로 모셨다. 당시 스톡홀름대학교는 아직 학위 수여 인가를 받지 못한 상태여서, 그 후 코흐는 다시 웁살라대학교에서 공부했고 이곳에서 문학학사와 철학박사 학위를 받은 후에 스톡홀름 황실 공학
원에 수학 교수로 임용되었다.
54년이라는 짧은 생애 동안 코흐는 정수론number theory에 관한 여러 편의 논문을 썼다. 그중에서 가장 뛰어난 연구 성과는 1901년에 증명한 정리로, 리만의 가설이 소수 정리보다 더 강력한 조건을 지닌 형식임을 설명했다. 그러나 세상에서 가장 널리 알려져 있는 코흐의 이 성과, 즉 논문에서 자신의 이름을 붙여 코흐 곡선이라고 소개한 것은 별로 대단할 것이 없는 개념이다.
코흐는 1904년에 '기본 기하학 법으로 만든, 접선이 없는 연속 곡선에 관하여'라는 논문에서 코흐 곡선을 만드는 방법을 설명했다.

[그림 1.2.2]처럼 코흐 곡선을 만드는 방법은 다음과 같다. 직선 중간에 한 변의 길이가 3분의 1인 등변삼각형의 양변을 만들어 원래 직선 중간의 3분의 1을 대신하면 (a)가 된다. 이 방법을 (a)의 각 선분에 반복하면 (b)가 되고 (b)의 각 구간에 이 방법을 반복한다. 이렇게 계속 무한 반복하여 생기는 한계곡선이 바로 코흐 곡선이다. 코흐 곡선은 유클리드 기하학의 매끄러운 곡선과는 엄연히 다르다. 코흐 곡선은 곳곳이 뾰족한 점이고 접선이 없으며, 길이가 무한한 기하학 도형이다.
코흐 곡선은 길이가 무한하다. 이 점은 쉽게 증명할 수 있다. 코흐 곡선을 만드는 과정에서 매번 반복과 변환을 할 때마다 곡선의 총 길이가 원래 길이의 3분의 4배가 되기 때문이다. 다시 말해서 1보다 큰 인수를 곱한 것이다. 예를 들어 처음에 직선의 길이가 1이라고 가정하면 [그림 1.2.2] (a)에서 접힌 선의 총 길이는 4 / 3이다. (b) 그림에서 접힌선의 총 길이는 (4 / 3) × (4 / 3)이고 (c) 그림에서 접힌 선의 총 길이는 (4 / 3) × (4 / 3) × (4 / 3)이다. 이런 식으로 해나가면, 변화의 차원이 무한대로 가면 곡선의 길이도 무한대로 간다.
코흐의 눈송이Koch Snowflake는 등변삼각형의 세 변으로 코흐 곡선을 만들어서 구성된다. [그림 1.2.3]

정우가 [그림 1.2.3]을 가리키며 말했다. "봐봐. 이 코흐 곡선은 모든 부분이 연속적이서 미분을 할 수가......" 말이 끝나기도 전에 승우가 끼어들었다. 승우는 [그림 1.2.3] (b)의 직선을 가리키며 말했다.
"연속적인 것은 맞는데, 난 아무리 봐도 모든 부분을 미분할 수 없는지는 모르겠는데? 이 평평한 삼각형변 위의 직선 부분은 다 미분이 가능한 거 아니야?"
정우는 승우가 혼란스러워 하는 것을 알아채고 웃으며 설명했다.
"좋은 질문이야! 이건 아주 중요한 개념이거든. 우리는 반복법으로 프랙탈을 만들었지만 만드는 과정의 이 그림들은 프랙탈이 아니야. 마지막에 이 무한대로 반복한 최후의 한계 도형만 프랙탈이라고 하지!"
민수가 말했다. "맞아. 그래서 실제로 프랙탈은 무한대라는 한계를 향하기 때문에 그릴 수가 없어."
승우도 이해가 갔다. "그렇군. 까먹지 말자! 그림을 보면서 상상을 해야만......"
본론으로 돌아와서 코흐 곡선들은 연속적이지만 모든 점에서 미분이 불가능한 곡선이고, 곡선들의 길이가 무한대다. 따라서 코흐 곡선 세개로 구성된 코흐의 눈송이도 전체 둘레가 무한대여야 한다. 그러나 그림에서 볼 수 있듯이 코흐의 눈송이는 면적에 한계가 있는 것이 맞다.
전체 눈송이 도형이 유한한 범위 내로 한정되기 때문이다. 예를 들어 코흐의 눈송이의 면적은 [그림 1.2.3] (a) 중 정삼각형의 면적보다 크고 [그림 1.2.3] (d) 중 빨간색 원의 면적인 π 보다 작아야 한다.

초등 수학을 이용하면 [그림 1.2.3]에서 무한 반복 후 코흐의 눈송이 도형의 면적을 쉽게 구할 수 있다.
A0 을 초기 삼각형의 면적이라고 하고 A 을 차 반복을 통해 도형의 면적이라고 하면 아래의 반복 공식을 어렵지 않게 얻을 수 있다.
(/ 본문 중에서)

저자소개

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쓰촨 청두출신. 미국 텍사스주 오스틴칼리지 이론물리학 박사. 현재 미국 시카고에 거주하고 있으며 블랙홀 방사, 파인만의 경로 적분, 펨토초 레이저, 고주파와 마이크로웨이브의 EDA 통합 회로 소프트웨어 등을 연구한 바 있다. 전공 논문 30여 편을 발표했고, 2008년에는 과학교양 소설 [신 아라비아나이트]를, 2010년에는 미스터리 소설 [미국 세입자]를 출간했다. 2012년부터 과학망(www.sciencenet.cn)에 과학교양에 관한 글을 올리고 있으며, 깊이 있지만 쉽게 이해되고 흥미진진한 문체와 과학적인 진지함을 잃지 않는 문체로 독자들의 사랑을 받고 있다.

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이화여대 중어중문학과를 졸업하고 같은 대학 통역번역대학원에서 번역학석사(한중 전공) 학위를 취득했다. 현재 번역집단 실크로드에서 중국어 전문 번역가로 활동하고 있다. 옮긴 책으로 《수학의 아름다움》 《왕과 서정시》 《블랙테크》 《대륙의 큰언니 등영초》 《완다 : 아시아 최고 부자의 경영 강의》 등이 있다.

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